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build
This commit is contained in:
krahets
@@ -11,22 +11,22 @@ status: new
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<p align="center"> 图：分数背包问题的示例数据 </p>
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<p align="center"> 图 15-3 分数背包问题的示例数据 </p>
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分数背包和 0-1 背包整体上非常相似，状态包含当前物品 $i$ 和容量 $c$ ，目标是求不超过背包容量下的最大价值。
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不同点在于，本题允许只选择物品的一部分。如下图所示，**我们可以对物品任意地进行切分，并按照重量比例来计算物品价值**。
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不同点在于，本题允许只选择物品的一部分。如图 15-4 所示，**我们可以对物品任意地进行切分，并按照重量比例来计算物品价值**。
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1. 对于物品 $i$ ，它在单位重量下的价值为 $val[i-1] / wgt[i-1]$ ，简称为单位价值。
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2. 假设放入一部分物品 $i$ ，重量为 $w$ ，则背包增加的价值为 $w \times val[i-1] / wgt[i-1]$ 。
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<p align="center"> 图：物品在单位重量下的价值 </p>
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<p align="center"> 图 15-4 物品在单位重量下的价值 </p>
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### 1. 贪心策略确定
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最大化背包内物品总价值，**本质上是要最大化单位重量下的物品价值**。由此便可推出下图所示的贪心策略：
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最大化背包内物品总价值，**本质上是要最大化单位重量下的物品价值**。由此便可推出图 15-5 所示的贪心策略：
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1. 将物品按照单位价值从高到低进行排序。
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2. 遍历所有物品，**每轮贪心地选择单位价值最高的物品**。
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@@ -34,7 +34,7 @@ status: new
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<p align="center"> 图：分数背包的贪心策略 </p>
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<p align="center"> 图 15-5 分数背包的贪心策略 </p>
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### 2. 代码实现
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@@ -365,8 +365,8 @@ status: new
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对于该解中的其他物品，我们也可以构建出上述矛盾。总而言之，**单位价值更大的物品总是更优选择**，这说明贪心策略是有效的。
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如下图所示，如果将物品重量和物品单位价值分别看作一个 2D 图表的横轴和纵轴，则分数背包问题可被转化为“求在有限横轴区间下的最大围成面积”。这个类比可以帮助我们从几何角度理解贪心策略的有效性。
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如图 15-6 所示，如果将物品重量和物品单位价值分别看作一个 2D 图表的横轴和纵轴，则分数背包问题可被转化为“求在有限横轴区间下的最大围成面积”。这个类比可以帮助我们从几何角度理解贪心策略的有效性。
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<p align="center"> 图：分数背包问题的几何表示 </p>
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<p align="center"> 图 15-6 分数背包问题的几何表示 </p>
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@@ -18,11 +18,11 @@ status: new
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给定 $n$ 种硬币，第 $i$ 种硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ，目标金额为 $amt$ ，每种硬币可以重复选取，问能够凑出目标金额的最少硬币个数。如果无法凑出目标金额则返回 $-1$ 。
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本题的贪心策略如下图所示。给定目标金额，**我们贪心地选择不大于且最接近它的硬币**，不断循环该步骤，直至凑出目标金额为止。
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本题的贪心策略如图 15-1 所示。给定目标金额，**我们贪心地选择不大于且最接近它的硬币**，不断循环该步骤，直至凑出目标金额为止。
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<p align="center"> 图：零钱兑换的贪心策略 </p>
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<p align="center"> 图 15-1 零钱兑换的贪心策略 </p>
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实现代码如下所示。你可能会不由地发出感叹：So Clean ！贪心算法仅用十行代码就解决了零钱兑换问题。
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@@ -225,7 +225,7 @@ status: new
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**贪心算法不仅操作直接、实现简单，而且通常效率也很高**。在以上代码中，记硬币最小面值为 $\min(coins)$ ，则贪心选择最多循环 $amt / \min(coins)$ 次，时间复杂度为 $O(amt / \min(coins))$ 。这比动态规划解法的时间复杂度 $O(n \times amt)$ 提升了一个数量级。
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然而，**对于某些硬币面值组合，贪心算法并不能找到最优解**。下图给出了两个示例。
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然而，**对于某些硬币面值组合，贪心算法并不能找到最优解**。图 15-2 给出了两个示例。
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- **正例 $coins = [1, 5, 10, 20, 50, 100]$**：在该硬币组合下，给定任意 $amt$ ，贪心算法都可以找出最优解。
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- **反例 $coins = [1, 20, 50]$**：假设 $amt = 60$ ，贪心算法只能找到 $50 + 1 \times 10$ 的兑换组合，共计 $11$ 枚硬币，但动态规划可以找到最优解 $20 + 20 + 20$ ，仅需 $3$ 枚硬币。
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@@ -233,7 +233,7 @@ status: new
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<p align="center"> 图：贪心无法找出最优解的示例 </p>
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<p align="center"> 图 15-2 贪心无法找出最优解的示例 </p>
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也就是说，对于零钱兑换问题，贪心算法无法保证找到全局最优解，并且有可能找到非常差的解。它更适合用动态规划解决。
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@@ -15,7 +15,7 @@ status: new
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<p align="center"> 图：最大容量问题的示例数据 </p>
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<p align="center"> 图 15-7 最大容量问题的示例数据 </p>
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容器由任意两个隔板围成，**因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 $[i, j]$** 。
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@@ -29,30 +29,30 @@ $$
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### 1. 贪心策略确定
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这道题还有更高效率的解法。如下图所示，现选取一个状态 $[i, j]$ ，其满足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ ，即 $i$ 为短板、 $j$ 为长板。
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这道题还有更高效率的解法。如图 15-8 所示，现选取一个状态 $[i, j]$ ，其满足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ ，即 $i$ 为短板、 $j$ 为长板。
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<p align="center"> 图：初始状态 </p>
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<p align="center"> 图 15-8 初始状态 </p>
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如下图所示，**若此时将长板 $j$ 向短板 $i$ 靠近，则容量一定变小**。这是因为在移动长板 $j$ 后：
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如图 15-9 所示，**若此时将长板 $j$ 向短板 $i$ 靠近，则容量一定变小**。这是因为在移动长板 $j$ 后：
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- 宽度 $j-i$ 肯定变小。
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- 高度由短板决定，因此高度只可能不变（ $i$ 仍为短板）或变小（移动后的 $j$ 成为短板）。
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<p align="center"> 图：向内移动长板后的状态 </p>
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<p align="center"> 图 15-9 向内移动长板后的状态 </p>
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反向思考，**我们只有向内收缩短板 $i$ ，才有可能使容量变大**。因为虽然宽度一定变小，**但高度可能会变大**（移动后的短板 $i$ 可能会变长）。例如在下图中，移动短板后面积变大。
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反向思考，**我们只有向内收缩短板 $i$ ，才有可能使容量变大**。因为虽然宽度一定变小，**但高度可能会变大**（移动后的短板 $i$ 可能会变长）。例如在图 15-10 中，移动短板后面积变大。
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<p align="center"> 图：向内移动短板后的状态 </p>
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<p align="center"> 图 15-10 向内移动短板后的状态 </p>
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由此便可推出本题的贪心策略：初始化两指针分裂容器两端，每轮向内收缩短板对应的指针，直至两指针相遇。
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下图展示了贪心策略的执行过程。
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图 15-11 展示了贪心策略的执行过程。
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1. 初始状态下，指针 $i$ , $j$ 分列与数组两端。
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2. 计算当前状态的容量 $cap[i, j]$ ，并更新最大容量。
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@@ -86,7 +86,7 @@ $$
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=== "<9>"
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<p align="center"> 图：最大容量问题的贪心过程 </p>
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<p align="center"> 图 15-11 最大容量问题的贪心过程 </p>
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### 2. 代码实现
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@@ -301,7 +301,7 @@ $$
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之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。
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比如在状态 $cap[i, j]$ 下，$i$ 为短板、$j$ 为长板。若贪心地将短板 $i$ 向内移动一格，会导致下图所示的状态被“跳过”。**这意味着之后无法验证这些状态的容量大小**。
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比如在状态 $cap[i, j]$ 下，$i$ 为短板、$j$ 为长板。若贪心地将短板 $i$ 向内移动一格，会导致图 15-12 所示的状态被“跳过”。**这意味着之后无法验证这些状态的容量大小**。
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$$
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cap[i, i+1], cap[i, i+2], \dots, cap[i, j-2], cap[i, j-1]
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@@ -309,7 +309,7 @@ $$
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<p align="center"> 图：移动短板导致被跳过的状态 </p>
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<p align="center"> 图 15-12 移动短板导致被跳过的状态 </p>
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观察发现，**这些被跳过的状态实际上就是将长板 $j$ 向内移动的所有状态**。而在第二步中，我们已经证明内移长板一定会导致容量变小。也就是说，被跳过的状态都不可能是最优解，**跳过它们不会导致错过最优解**。
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@@ -11,7 +11,7 @@ status: new
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<p align="center"> 图：最大切分乘积的问题定义 </p>
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<p align="center"> 图 15-13 最大切分乘积的问题定义 </p>
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假设我们将 $n$ 切分为 $m$ 个整数因子，其中第 $i$ 个因子记为 $n_i$ ，即
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@@ -39,23 +39,23 @@ n & \geq 4
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\end{aligned}
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$$
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如下图所示，当 $n \geq 4$ 时，切分出一个 $2$ 后乘积会变大，**这说明大于等于 $4$ 的整数都应该被切分**。
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如图 15-14 所示，当 $n \geq 4$ 时，切分出一个 $2$ 后乘积会变大，**这说明大于等于 $4$ 的整数都应该被切分**。
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**贪心策略一**：如果切分方案中包含 $\geq 4$ 的因子，那么它就应该被继续切分。最终的切分方案只应出现 $1$ , $2$ , $3$ 这三种因子。
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<p align="center"> 图：切分导致乘积变大 </p>
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<p align="center"> 图 15-14 切分导致乘积变大 </p>
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接下来思考哪个因子是最优的。在 $1$ , $2$ , $3$ 这三个因子中，显然 $1$ 是最差的，因为 $1 \times (n-1) < n$ 恒成立，即切分出 $1$ 反而会导致乘积减小。
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如下图所示，当 $n = 6$ 时，有 $3 \times 3 > 2 \times 2 \times 2$ 。**这意味着切分出 $3$ 比切分出 $2$ 更优**。
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如图 15-15 所示，当 $n = 6$ 时，有 $3 \times 3 > 2 \times 2 \times 2$ 。**这意味着切分出 $3$ 比切分出 $2$ 更优**。
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**贪心策略二**：在切分方案中，最多只应存在两个 $2$ 。因为三个 $2$ 总是可以被替换为两个 $3$ ，从而获得更大乘积。
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<p align="center"> 图：最优切分因子 </p>
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<p align="center"> 图 15-15 最优切分因子 </p>
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总结以上，可推出贪心策略：
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@@ -66,7 +66,7 @@ $$
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### 2. 代码实现
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如下图所示，我们无须通过循环来切分整数，而可以利用向下整除运算得到 $3$ 的个数 $a$ ，用取模运算得到余数 $b$ ，此时有：
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如图 15-16 所示，我们无须通过循环来切分整数，而可以利用向下整除运算得到 $3$ 的个数 $a$ ，用取模运算得到余数 $b$ ，此时有：
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$$
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n = 3 a + b
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@@ -276,7 +276,7 @@ $$
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<p align="center"> 图：最大切分乘积的计算方法 </p>
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<p align="center"> 图 15-16 最大切分乘积的计算方法 </p>
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**时间复杂度取决于编程语言的幂运算的实现方法**。以 Python 为例，常用的幂计算函数有：
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