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This commit is contained in:
krahets
@@ -206,9 +206,9 @@ comments: true
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<p align="center"> 图：完美二叉树的各层节点数量 </p>
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<p align="center"> 图 8-5 完美二叉树的各层节点数量 </p>
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如上图所示，**节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”**。因此，我们可以将各层的“节点数量 $\times$ 节点高度”求和，**从而得到所有节点的堆化迭代次数的总和**。
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如图 8-5 所示，**节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”**。因此，我们可以将各层的“节点数量 $\times$ 节点高度”求和，**从而得到所有节点的堆化迭代次数的总和**。
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$$
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T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1
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+15
-15
@@ -4,14 +4,14 @@ comments: true
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# 8.1 堆
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「堆 heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为下图所示的两种类型：
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「堆 heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为图 8-1 所示的两种类型：
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- 「大顶堆 max heap」：任意节点的值 $\geq$ 其子节点的值。
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- 「小顶堆 min heap」：任意节点的值 $\leq$ 其子节点的值。
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<p align="center"> 图：小顶堆与大顶堆 </p>
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<p align="center"> 图 8-1 小顶堆与大顶堆 </p>
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堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性：
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@@ -25,9 +25,9 @@ comments: true
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实际上，**堆通常用作实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小顺序出队的优先队列**。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一使用“堆“来命名。
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堆的常用操作见下表，方法名需要根据编程语言来确定。
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堆的常用操作见表 8-1 ，方法名需要根据编程语言来确定。
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<p align="center"> 表：堆的操作效率 </p>
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<p align="center"> 表 8-1 堆的操作效率 </p>
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<div class="center-table" markdown>
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@@ -68,11 +68,11 @@ comments: true
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/* 堆顶元素出堆 */
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// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
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peek = heap.poll(); // 5
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peek = heap.poll(); // 4
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peek = heap.poll(); // 3
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peek = heap.poll(); // 2
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peek = heap.poll(); // 1
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peek = maxHeap.poll(); // 5
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peek = maxHeap.poll(); // 4
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peek = maxHeap.poll(); // 3
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peek = maxHeap.poll(); // 2
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peek = maxHeap.poll(); // 1
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/* 获取堆大小 */
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int size = maxHeap.size();
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@@ -331,11 +331,11 @@ comments: true
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当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。**节点指针通过索引映射公式来实现**。
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如下图所示，给定索引 $i$ ，其左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$ ，父节点索引为 $(i - 1) / 2$（向下取整）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。
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如图 8-2 所示，给定索引 $i$ ，其左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$ ，父节点索引为 $(i - 1) / 2$（向下取整）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。
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<p align="center"> 图：堆的表示与存储 </p>
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<p align="center"> 图 8-2 堆的表示与存储 </p>
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我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用。
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@@ -681,7 +681,7 @@ comments: true
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给定元素 `val` ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏。因此，**需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点**，这个操作被称为「堆化 heapify」。
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考虑从入堆节点开始，**从底至顶执行堆化**。如下图所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。
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考虑从入堆节点开始，**从底至顶执行堆化**。如图 8-3 所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。
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=== "<1>"
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@@ -710,7 +710,7 @@ comments: true
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=== "<9>"
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<p align="center"> 图：元素入堆步骤 </p>
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<p align="center"> 图 8-3 元素入堆步骤 </p>
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设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
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@@ -1058,7 +1058,7 @@ comments: true
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2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）。
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3. 从根节点开始，**从顶至底执行堆化**。
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如下图所示，**“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反**，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。
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如图 8-4 所示，**“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反**，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。
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=== "<1>"
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@@ -1090,7 +1090,7 @@ comments: true
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=== "<10>"
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<p align="center"> 图：堆顶元素出堆步骤 </p>
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<p align="center"> 图 8-4 堆顶元素出堆步骤 </p>
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与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 $O(\log n)$ 。
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@@ -12,13 +12,13 @@ comments: true
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## 8.3.1 方法一：遍历选择
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我们可以进行下图所示的 $k$ 轮遍历，分别在每轮中提取第 $1$ , $2$ , $\dots$ , $k$ 大的元素，时间复杂度为 $O(nk)$ 。
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我们可以进行图 8-6 所示的 $k$ 轮遍历，分别在每轮中提取第 $1$ , $2$ , $\dots$ , $k$ 大的元素，时间复杂度为 $O(nk)$ 。
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此方法只适用于 $k \ll n$ 的情况，因为当 $k$ 与 $n$ 比较接近时，其时间复杂度趋向于 $O(n^2)$ ，非常耗时。
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<p align="center"> 图：遍历寻找最大的 k 个元素 </p>
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<p align="center"> 图 8-6 遍历寻找最大的 k 个元素 </p>
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!!! tip
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@@ -26,17 +26,17 @@ comments: true
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## 8.3.2 方法二：排序
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如下图所示，我们可以先对数组 `nums` 进行排序，再返回最右边的 $k$ 个元素，时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
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如图 8-7 所示，我们可以先对数组 `nums` 进行排序，再返回最右边的 $k$ 个元素，时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
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显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需要找出最大的 $k$ 个元素即可，而不需要排序其他元素。
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<p align="center"> 图：排序寻找最大的 k 个元素 </p>
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<p align="center"> 图 8-7 排序寻找最大的 k 个元素 </p>
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## 8.3.3 方法三：堆
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我们可以基于堆更加高效地解决 Top-K 问题，流程如下图所示。
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我们可以基于堆更加高效地解决 Top-K 问题，流程如图 8-8 所示。
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1. 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。
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2. 先将数组的前 $k$ 个元素依次入堆。
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@@ -70,7 +70,7 @@ comments: true
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=== "<9>"
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<p align="center"> 图：基于堆寻找最大的 k 个元素 </p>
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<p align="center"> 图 8-8 基于堆寻找最大的 k 个元素 </p>
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总共执行了 $n$ 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 $k$ ，因此时间复杂度为 $O(n \log k)$ 。该方法的效率很高，当 $k$ 较小时，时间复杂度趋向 $O(n)$ ；当 $k$ 较大时，时间复杂度不会超过 $O(n \log n)$ 。
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