xinyin025/hello-algo
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2023-08-22 13:50:12 +08:00
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commit 92a0853ab8
64 changed files with 478 additions and 479 deletions
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chapter_searching/binary_search.md
+5 -5
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@@ -12,9 +12,9 @@ comments: true
![二分查找示例数据](binary_search.assets/binary_search_example.png)
<p align="center"> 图：二分查找示例数据 </p>
<p align="center"> 图 10-1 &nbsp; 二分查找示例数据 </p>
如下图所示，我们先初始化指针 $i = 0$ 和 $j = n - 1$ ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 $[0, n - 1]$ 。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。
如图 10-2 所示，我们先初始化指针 $i = 0$ 和 $j = n - 1$ ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 $[0, n - 1]$ 。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。
接下来，循环执行以下两个步骤：
@@ -47,7 +47,7 @@ comments: true
=== "<7>"
![binary_search_step7](binary_search.assets/binary_search_step7.png)
<p align="center"> 图：binary_search_step1 </p>
<p align="center"> 图 10-2 &nbsp; binary_search_step1 </p>
值得注意的是，由于 $i$ 和 $j$ 都是 `int` 类型，**因此 $i + j$ 可能会超出 `int` 类型的取值范围**。为了避免大数越界，我们通常采用公式 $m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor$ 来计算中点。
@@ -623,13 +623,13 @@ comments: true
}
```
如下图所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。
如图 10-3 所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。
由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间，因此指针 $i$ 和 $j$ 缩小区间操作也是对称的。这样更不容易出错，**因此一般建议采用“双闭区间”的写法**。
![两种区间定义](binary_search.assets/binary_search_ranges.png)
<p align="center"> 图：两种区间定义 </p>
<p align="center"> 图 10-3 &nbsp; 两种区间定义 </p>
## 10.1.2 &nbsp; 优点与局限性
chapter_searching/binary_search_edge.md
+4 -4
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@@ -160,11 +160,11 @@ status: new
实际上，我们可以利用查找最左元素的函数来查找最右元素，具体方法为：**将查找最右一个 `target` 转化为查找最左一个 `target + 1`**。
如下图所示，查找完成后，指针 $i$ 指向最左一个 `target + 1`（如果存在），而 $j$ 指向最右一个 `target` ，**因此返回 $j$ 即可**。
如图 10-7 所示，查找完成后，指针 $i$ 指向最左一个 `target + 1`（如果存在），而 $j$ 指向最右一个 `target` ，**因此返回 $j$ 即可**。
![将查找右边界转化为查找左边界](binary_search_edge.assets/binary_search_right_edge_by_left_edge.png)
<p align="center"> 图：将查找右边界转化为查找左边界 </p>
<p align="center"> 图 10-7 &nbsp; 将查找右边界转化为查找左边界 </p>
请注意，返回的插入点是 $i$ ，因此需要将其减 $1$ ，从而获得 $j$ 。
@@ -314,14 +314,14 @@ status: new
我们知道，当数组不包含 `target` 时，最后 $i$ , $j$ 会分别指向首个大于、小于 `target` 的元素。
根据上述结论，我们可以构造一个数组中不存在的元素，用于查找左右边界，如下图所示。
根据上述结论，我们可以构造一个数组中不存在的元素，用于查找左右边界，如图 10-8 所示。
- 查找最左一个 `target` ：可以转化为查找 `target - 0.5` ，并返回指针 $i$ 。
- 查找最右一个 `target` ：可以转化为查找 `target + 0.5` ，并返回指针 $j$ 。
![将查找边界转化为查找元素](binary_search_edge.assets/binary_search_edge_by_element.png)
<p align="center"> 图：将查找边界转化为查找元素 </p>
<p align="center"> 图 10-8 &nbsp; 将查找边界转化为查找元素 </p>
代码在此省略，值得注意的有：
chapter_searching/binary_search_insertion.md
+5 -5
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@@ -15,7 +15,7 @@ status: new
![二分查找插入点示例数据](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_example.png)
<p align="center"> 图：二分查找插入点示例数据 </p>
<p align="center"> 图 10-4 &nbsp; 二分查找插入点示例数据 </p>
如果想要复用上节的二分查找代码，则需要回答以下两个问题。
@@ -196,18 +196,18 @@ status: new
假设数组中存在多个 `target` ，则普通二分查找只能返回其中一个 `target` 的索引，**而无法确定该元素的左边和右边还有多少 `target`**。
题目要求将目标元素插入到最左边，**所以我们需要查找数组中最左一个 `target` 的索引**。初步考虑通过下图所示的步骤实现。
题目要求将目标元素插入到最左边，**所以我们需要查找数组中最左一个 `target` 的索引**。初步考虑通过图 10-5 所示的步骤实现。
1. 执行二分查找，得到任意一个 `target` 的索引，记为 $k$ 。
2. 从索引 $k$ 开始，向左进行线性遍历，当找到最左边的 `target` 时返回。
![线性查找重复元素的插入点](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_naive.png)
<p align="center"> 图：线性查找重复元素的插入点 </p>
<p align="center"> 图 10-5 &nbsp; 线性查找重复元素的插入点 </p>
此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 $O(n)$ 。当数组中存在很多重复的 `target` 时，该方法效率很低。
现考虑拓展二分查找代码。如下图所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 $m$ ，再判断 `target` 和 `nums[m]` 大小关系：
现考虑拓展二分查找代码。如图 10-6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 $m$ ，再判断 `target` 和 `nums[m]` 大小关系：
1. 当 `nums[m] < target` 或 `nums[m] > target` 时，说明还没有找到 `target` ，因此采用普通二分查找的缩小区间操作，**从而使指针 $i$ 和 $j$ 向 `target` 靠近**。
2. 当 `nums[m] == target` 时，说明小于 `target` 的元素在区间 $[i, m - 1]$ 中，因此采用 $j = m - 1$ 来缩小区间，**从而使指针 $j$ 向小于 `target` 的元素靠近**。
@@ -238,7 +238,7 @@ status: new
=== "<8>"
![binary_search_insertion_step8](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step8.png)
<p align="center"> 图：二分查找重复元素的插入点的步骤 </p>
<p align="center"> 图 10-6 &nbsp; 二分查找重复元素的插入点的步骤 </p>
观察以下代码，判断分支 `nums[m] > target` 和 `nums[m] == target` 的操作相同，因此两者可以合并。
chapter_searching/replace_linear_by_hashing.md
+4 -4
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@@ -12,11 +12,11 @@ comments: true
## 10.4.1 &nbsp; 线性查找：以时间换空间
考虑直接遍历所有可能的组合。如下图所示，我们开启一个两层循环，在每轮中判断两个整数的和是否为 `target` ，若是则返回它们的索引。
考虑直接遍历所有可能的组合。如图 10-9 所示，我们开启一个两层循环，在每轮中判断两个整数的和是否为 `target` ，若是则返回它们的索引。
![线性查找求解两数之和](replace_linear_by_hashing.assets/two_sum_brute_force.png)
<p align="center"> 图：线性查找求解两数之和 </p>
<p align="center"> 图 10-9 &nbsp; 线性查找求解两数之和 </p>
=== "Java"
@@ -231,7 +231,7 @@ comments: true
## 10.4.2 &nbsp; 哈希查找：以空间换时间
考虑借助一个哈希表，键值对分别为数组元素和元素索引。循环遍历数组，每轮执行下图所示的步骤。
考虑借助一个哈希表，键值对分别为数组元素和元素索引。循环遍历数组，每轮执行图 10-10 所示的步骤。
1. 判断数字 `target - nums[i]` 是否在哈希表中，若是则直接返回这两个元素的索引。
2. 将键值对 `nums[i]` 和索引 `i` 添加进哈希表。
@@ -245,7 +245,7 @@ comments: true
=== "<3>"
![two_sum_hashtable_step3](replace_linear_by_hashing.assets/two_sum_hashtable_step3.png)
<p align="center"> 图：辅助哈希表求解两数之和 </p>
<p align="center"> 图 10-10 &nbsp; 辅助哈希表求解两数之和 </p>
实现代码如下所示，仅需单层循环即可。
chapter_searching/searching_algorithm_revisited.md
+5 -5
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@@ -42,15 +42,15 @@ comments: true
## 10.5.3 &nbsp; 搜索方法选取
给定大小为 $n$ 的一组数据，我们可以使用线性搜索、二分查找、树查找、哈希查找等多种方法在该数据中搜索目标元素。各个方法的工作原理如下图所示。
给定大小为 $n$ 的一组数据，我们可以使用线性搜索、二分查找、树查找、哈希查找等多种方法在该数据中搜索目标元素。各个方法的工作原理如图 10-11 所示。
![多种搜索策略](searching_algorithm_revisited.assets/searching_algorithms.png)
<p align="center"> 图：多种搜索策略 </p>
<p align="center"> 图 10-11 &nbsp; 多种搜索策略 </p>
上述几种方法的操作效率与特性如下表所示。
上述几种方法的操作效率与特性如表 10-1 所示。
<p align="center"> 表：查找算法效率对比 </p>
<p align="center"> 表 10-1 &nbsp; 查找算法效率对比 </p>
<div class="center-table" markdown>
@@ -65,7 +65,7 @@ comments: true
</div>
除了以上表格内容，搜索算法的选择还取决于数据体量、搜索性能要求、数据查询与更新频率等。
搜索算法的选择还取决于数据体量、搜索性能要求、数据查询与更新频率等。
**线性搜索**