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2023-08-22 13:50:12 +08:00
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@@ -15,7 +15,7 @@ status: new
![二分查找插入点示例数据](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_example.png)
<p align="center"> 图二分查找插入点示例数据 </p>
<p align="center"> 图 10-4 &nbsp; 二分查找插入点示例数据 </p>
如果想要复用上节的二分查找代码,则需要回答以下两个问题。
@@ -196,18 +196,18 @@ status: new
假设数组中存在多个 `target` ,则普通二分查找只能返回其中一个 `target` 的索引,**而无法确定该元素的左边和右边还有多少 `target`**。
题目要求将目标元素插入到最左边,**所以我们需要查找数组中最左一个 `target` 的索引**。初步考虑通过图所示的步骤实现。
题目要求将目标元素插入到最左边,**所以我们需要查找数组中最左一个 `target` 的索引**。初步考虑通过图 10-5 所示的步骤实现。
1. 执行二分查找,得到任意一个 `target` 的索引,记为 $k$ 。
2. 从索引 $k$ 开始,向左进行线性遍历,当找到最左边的 `target` 时返回。
![线性查找重复元素的插入点](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_naive.png)
<p align="center"> 图线性查找重复元素的插入点 </p>
<p align="center"> 图 10-5 &nbsp; 线性查找重复元素的插入点 </p>
此方法虽然可用,但其包含线性查找,因此时间复杂度为 $O(n)$ 。当数组中存在很多重复的 `target` 时,该方法效率很低。
现考虑拓展二分查找代码。如图所示,整体流程保持不变,每轮先计算中点索引 $m$ ,再判断 `target` 和 `nums[m]` 大小关系:
现考虑拓展二分查找代码。如图 10-6 所示,整体流程保持不变,每轮先计算中点索引 $m$ ,再判断 `target` 和 `nums[m]` 大小关系:
1. 当 `nums[m] < target` 或 `nums[m] > target` 时,说明还没有找到 `target` ,因此采用普通二分查找的缩小区间操作,**从而使指针 $i$ 和 $j$ 向 `target` 靠近**。
2. 当 `nums[m] == target` 时,说明小于 `target` 的元素在区间 $[i, m - 1]$ 中,因此采用 $j = m - 1$ 来缩小区间,**从而使指针 $j$ 向小于 `target` 的元素靠近**。
@@ -238,7 +238,7 @@ status: new
=== "<8>"
![binary_search_insertion_step8](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step8.png)
<p align="center"> 图二分查找重复元素的插入点的步骤 </p>
<p align="center"> 图 10-6 &nbsp; 二分查找重复元素的插入点的步骤 </p>
观察以下代码,判断分支 `nums[m] > target` 和 `nums[m] == target` 的操作相同,因此两者可以合并。