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synced 2026-08-13 12:20:57 +00:00
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krahets
@@ -12,11 +12,11 @@ comments: true
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先分析一个简单案例。给定一个完美二叉树，我们将所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。
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根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：**若节点的索引为 $i$ ，则该节点的左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$** 。下图展示了各个节点索引之间的映射关系。
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根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：**若节点的索引为 $i$ ，则该节点的左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$** 。图 7-12 展示了各个节点索引之间的映射关系。
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<p align="center"> 图：完美二叉树的数组表示 </p>
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<p align="center"> 图 7-12 完美二叉树的数组表示 </p>
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**映射公式的角色相当于链表中的指针**。给定数组中的任意一个节点，我们都可以通过映射公式来访问它的左（右）子节点。
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@@ -24,13 +24,13 @@ comments: true
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完美二叉树是一个特例，在二叉树的中间层通常存在许多 $\text{None}$ 。由于层序遍历序列并不包含这些 $\text{None}$ ，因此我们无法仅凭该序列来推测 $\text{None}$ 的数量和分布位置。**这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列**。
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如下图所示，给定一个非完美二叉树，上述的数组表示方法已经失效。
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如图 7-13 所示，给定一个非完美二叉树，上述的数组表示方法已经失效。
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<p align="center"> 图：层序遍历序列对应多种二叉树可能性 </p>
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<p align="center"> 图 7-13 层序遍历序列对应多种二叉树可能性 </p>
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为了解决此问题，**我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 $\text{None}$** 。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。
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为了解决此问题，**我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 $\text{None}$** 。如图 7-14 所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。
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=== "Java"
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@@ -126,15 +126,15 @@ comments: true
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<p align="center"> 图：任意类型二叉树的数组表示 </p>
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<p align="center"> 图 7-14 任意类型二叉树的数组表示 </p>
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值得说明的是，**完全二叉树非常适合使用数组来表示**。回顾完全二叉树的定义，$\text{None}$ 只出现在最底层且靠右的位置，**因此所有 $\text{None}$ 一定出现在层序遍历序列的末尾**。
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这意味着使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 $\text{None}$ ，非常方便。下图给出了一个例子。
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这意味着使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 $\text{None}$ ，非常方便。图 7-15 给出了一个例子。
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<p align="center"> 图：完全二叉树的数组表示 </p>
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<p align="center"> 图 7-15 完全二叉树的数组表示 </p>
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如下代码给出了数组表示下的二叉树的简单实现，包括以下操作：
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+20
-20
@@ -6,17 +6,17 @@ comments: true
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在二叉搜索树章节中，我们提到了在多次插入和删除操作后，二叉搜索树可能退化为链表。这种情况下，所有操作的时间复杂度将从 $O(\log n)$ 恶化为 $O(n)$。
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如下图所示，经过两次删除节点操作，这个二叉搜索树便会退化为链表。
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如图 7-24 所示，经过两次删除节点操作，这个二叉搜索树便会退化为链表。
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<p align="center"> 图：AVL 树在删除节点后发生退化 </p>
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<p align="center"> 图 7-24 AVL 树在删除节点后发生退化 </p>
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再例如，在下图的完美二叉树中插入两个节点后，树将严重向左倾斜，查找操作的时间复杂度也随之恶化。
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再例如，在图 7-25 的完美二叉树中插入两个节点后，树将严重向左倾斜，查找操作的时间复杂度也随之恶化。
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<p align="center"> 图：AVL 树在插入节点后发生退化 </p>
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<p align="center"> 图 7-25 AVL 树在插入节点后发生退化 </p>
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G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。论文中详细描述了一系列操作，确保在持续添加和删除节点后，AVL 树不会退化，从而使得各种操作的时间复杂度保持在 $O(\log n)$ 级别。换句话说，在需要频繁进行增删查改操作的场景中，AVL 树能始终保持高效的数据操作性能，具有很好的应用价值。
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@@ -588,7 +588,7 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
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### 1. 右旋
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如下图所示，节点下方为平衡因子。从底至顶看，二叉树中首个失衡节点是“节点 3”。我们关注以该失衡节点为根节点的子树，将该节点记为 `node` ，其左子节点记为 `child` ，执行“右旋”操作。完成右旋后，子树已经恢复平衡，并且仍然保持二叉搜索树的特性。
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如图 7-26 所示，节点下方为平衡因子。从底至顶看，二叉树中首个失衡节点是“节点 3”。我们关注以该失衡节点为根节点的子树，将该节点记为 `node` ，其左子节点记为 `child` ，执行“右旋”操作。完成右旋后，子树已经恢复平衡，并且仍然保持二叉搜索树的特性。
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=== "<1>"
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@@ -602,13 +602,13 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
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=== "<4>"
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<p align="center"> 图：右旋操作步骤 </p>
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<p align="center"> 图 7-26 右旋操作步骤 </p>
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如下图所示，当节点 `child` 有右子节点（记为 `grandChild` ）时，需要在右旋中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子节点。
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如图 7-27 所示，当节点 `child` 有右子节点（记为 `grandChild` ）时，需要在右旋中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子节点。
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<p align="center"> 图：有 grandChild 的右旋操作 </p>
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<p align="center"> 图 7-27 有 grandChild 的右旋操作 </p>
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“向右旋转”是一种形象化的说法，实际上需要通过修改节点指针来实现，代码如下所示。
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@@ -835,17 +835,17 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
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### 2. 左旋
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相应的，如果考虑上述失衡二叉树的“镜像”，则需要执行下图所示的“左旋”操作。
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相应的，如果考虑上述失衡二叉树的“镜像”，则需要执行图 7-28 所示的“左旋”操作。
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<p align="center"> 图：左旋操作 </p>
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<p align="center"> 图 7-28 左旋操作 </p>
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同理，如下图所示，当节点 `child` 有左子节点（记为 `grandChild` ）时，需要在左旋中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的右子节点。
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同理，如图 7-29 所示，当节点 `child` 有左子节点（记为 `grandChild` ）时，需要在左旋中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的右子节点。
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<p align="center"> 图：有 grandChild 的左旋操作 </p>
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<p align="center"> 图 7-29 有 grandChild 的左旋操作 </p>
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可以观察到，**右旋和左旋操作在逻辑上是镜像对称的，它们分别解决的两种失衡情况也是对称的**。基于对称性，我们只需将右旋的实现代码中的所有的 `left` 替换为 `right` ，将所有的 `right` 替换为 `left` ，即可得到左旋的实现代码。
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@@ -1072,31 +1072,31 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
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### 3. 先左旋后右旋
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对于下图中的失衡节点 3 ，仅使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡。此时需要先对 `child` 执行“左旋”，再对 `node` 执行“右旋”。
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对于图 7-30 中的失衡节点 3 ，仅使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡。此时需要先对 `child` 执行“左旋”，再对 `node` 执行“右旋”。
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<p align="center"> 图：先左旋后右旋 </p>
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<p align="center"> 图 7-30 先左旋后右旋 </p>
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### 4. 先右旋后左旋
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如下图所示，对于上述失衡二叉树的镜像情况，需要先对 `child` 执行“右旋”，然后对 `node` 执行“左旋”。
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如图 7-31 所示，对于上述失衡二叉树的镜像情况，需要先对 `child` 执行“右旋”，然后对 `node` 执行“左旋”。
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<p align="center"> 图：先右旋后左旋 </p>
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<p align="center"> 图 7-31 先右旋后左旋 </p>
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### 5. 旋转的选择
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下图展示的四种失衡情况与上述案例逐个对应，分别需要采用右旋、左旋、先右后左、先左后右的旋转操作。
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图 7-32 展示的四种失衡情况与上述案例逐个对应，分别需要采用右旋、左旋、先右后左、先左后右的旋转操作。
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<p align="center"> 图：AVL 树的四种旋转情况 </p>
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<p align="center"> 图 7-32 AVL 树的四种旋转情况 </p>
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如下表所示，我们通过判断失衡节点的平衡因子以及较高一侧子节点的平衡因子的正负号，来确定失衡节点属于上图中的哪种情况。
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如下表所示，我们通过判断失衡节点的平衡因子以及较高一侧子节点的平衡因子的正负号，来确定失衡节点属于图 7-32 中的哪种情况。
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<p align="center"> 表：四种旋转情况的选择条件 </p>
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<p align="center"> 表 7-3 四种旋转情况的选择条件 </p>
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<div class="center-table" markdown>
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@@ -4,14 +4,14 @@ comments: true
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# 7.4 二叉搜索树
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如下图所示，「二叉搜索树 binary search tree」满足以下条件：
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如图 7-16 所示，「二叉搜索树 binary search tree」满足以下条件：
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1. 对于根节点，左子树中所有节点的值 $<$ 根节点的值 $<$ 右子树中所有节点的值。
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2. 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 `1.` 。
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<p align="center"> 图：二叉搜索树 </p>
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<p align="center"> 图 7-16 二叉搜索树 </p>
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## 7.4.1 二叉搜索树的操作
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@@ -19,7 +19,7 @@ comments: true
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### 1. 查找节点
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给定目标节点值 `num` ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。如下图所示，我们声明一个节点 `cur` ，从二叉树的根节点 `root` 出发，循环比较节点值 `cur.val` 和 `num` 之间的大小关系：
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给定目标节点值 `num` ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。如图 7-17 所示，我们声明一个节点 `cur` ，从二叉树的根节点 `root` 出发，循环比较节点值 `cur.val` 和 `num` 之间的大小关系：
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- 若 `cur.val < num` ，说明目标节点在 `cur` 的右子树中，因此执行 `cur = cur.right` 。
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- 若 `cur.val > num` ，说明目标节点在 `cur` 的左子树中，因此执行 `cur = cur.left` 。
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@@ -37,7 +37,7 @@ comments: true
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=== "<4>"
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<p align="center"> 图：二叉搜索树查找节点示例 </p>
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<p align="center"> 图 7-17 二叉搜索树查找节点示例 </p>
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二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 $O(\log n)$ 时间。
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@@ -321,14 +321,14 @@ comments: true
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### 2. 插入节点
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给定一个待插入元素 `num` ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如下图所示。
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给定一个待插入元素 `num` ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如图 7-18 所示。
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1. **查找插入位置**：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 `num` 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 $\text{None}$ ）时跳出循环。
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2. **在该位置插入节点**：初始化节点 `num` ，将该节点置于 $\text{None}$ 的位置。
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<p align="center"> 图：在二叉搜索树中插入节点 </p>
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<p align="center"> 图 7-18 在二叉搜索树中插入节点 </p>
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在代码实现中，需要注意以下两点：
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@@ -733,21 +733,21 @@ comments: true
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与插入节点类似，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除节点。接下来，根据待删除节点的子节点数量，删除操作需分为三种情况：
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如下图所示，当待删除节点的度为 $0$ 时，表示待删除节点是叶节点，可以直接删除。
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如图 7-19 所示，当待删除节点的度为 $0$ 时，表示待删除节点是叶节点，可以直接删除。
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<p align="center"> 图：在二叉搜索树中删除节点（度为 0） </p>
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<p align="center"> 图 7-19 在二叉搜索树中删除节点（度为 0） </p>
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如下图所示，当待删除节点的度为 $1$ 时，将待删除节点替换为其子节点即可。
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如图 7-20 所示，当待删除节点的度为 $1$ 时，将待删除节点替换为其子节点即可。
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<p align="center"> 图：在二叉搜索树中删除节点（度为 1） </p>
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<p align="center"> 图 7-20 在二叉搜索树中删除节点（度为 1） </p>
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当待删除节点的度为 $2$ 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左 $<$ 根 $<$ 右”的性质，**因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点**。
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假设我们选择右子树的最小节点（即中序遍历的下一个节点），则删除操作如下图所示。
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假设我们选择右子树的最小节点（即中序遍历的下一个节点），则删除操作如图 7-21 所示。
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1. 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 `tmp` 。
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2. 将 `tmp` 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 `tmp` 。
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@@ -764,7 +764,7 @@ comments: true
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=== "<4>"
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<p align="center"> 图：二叉搜索树删除节点示例 </p>
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<p align="center"> 图 7-21 二叉搜索树删除节点示例 </p>
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删除节点操作同样使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除节点需要 $O(\log n)$ 时间，获取中序遍历后继节点需要 $O(\log n)$ 时间。
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@@ -1477,7 +1477,7 @@ comments: true
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### 4. 中序遍历性质
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如下图所示，二叉树的中序遍历遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 $<$ 根节点 $<$ 右子节点”的大小关系。
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如图 7-22 所示，二叉树的中序遍历遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 $<$ 根节点 $<$ 右子节点”的大小关系。
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这意味着在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：**二叉搜索树的中序遍历序列是升序的**。
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@@ -1485,15 +1485,15 @@ comments: true
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<p align="center"> 图：二叉搜索树的中序遍历序列 </p>
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<p align="center"> 图 7-22 二叉搜索树的中序遍历序列 </p>
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## 7.4.2 二叉搜索树的效率
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给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。
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观察下表，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能表现。只有在高频添加、低频查找删除的数据适用场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。
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观察表 7-2 ，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能表现。只有在高频添加、低频查找删除的数据适用场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。
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<p align="center"> 表：数组与搜索树的效率对比 </p>
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<p align="center"> 表 7-2 数组与搜索树的效率对比 </p>
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<div class="center-table" markdown>
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@@ -1507,11 +1507,11 @@ comments: true
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在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意节点。
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然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为下图所示的链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 $O(n)$ 。
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然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为图 7-23 所示的链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 $O(n)$ 。
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<p align="center"> 图：二叉搜索树的平衡与退化 </p>
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<p align="center"> 图 7-23 二叉搜索树的平衡与退化 </p>
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## 7.4.3 二叉搜索树常见应用
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+16
-16
@@ -167,15 +167,15 @@ comments: true
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每个节点都有两个引用（指针），分别指向「左子节点 left-child node」和「右子节点 right-child node」，该节点被称为这两个子节点的「父节点 parent node」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树 left subtree」，同理可得「右子树 right subtree」。
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**在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树**。如下图所示，如果将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。
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**在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树**。如图 7-1 所示，如果将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。
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<p align="center"> 图：父节点、子节点、子树 </p>
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<p align="center"> 图 7-1 父节点、子节点、子树 </p>
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## 7.1.1 二叉树常见术语
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二叉树的常用术语如下图所示。
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二叉树的常用术语如图 7-2 所示。
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- 「根节点 root node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
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- 「叶节点 leaf node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向 $\text{None}$ 。
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@@ -188,7 +188,7 @@ comments: true
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<p align="center"> 图：二叉树的常用术语 </p>
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<p align="center"> 图 7-2 二叉树的常用术语 </p>
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!!! tip "高度与深度的定义"
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@@ -382,11 +382,11 @@ comments: true
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### 2. 插入与删除节点
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与链表类似，在二叉树中插入与删除节点可以通过修改指针来实现。下图给出了一个示例。
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与链表类似，在二叉树中插入与删除节点可以通过修改指针来实现。图 7-3 给出了一个示例。
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<p align="center"> 图：在二叉树中插入与删除节点 </p>
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<p align="center"> 图 7-3 在二叉树中插入与删除节点 </p>
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=== "Java"
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@@ -534,31 +534,31 @@ comments: true
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<p align="center"> 图：完美二叉树 </p>
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<p align="center"> 图 7-4 完美二叉树 </p>
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### 2. 完全二叉树
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如下图所示，「完全二叉树 complete binary tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
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如图 7-5 所示，「完全二叉树 complete binary tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
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<p align="center"> 图：完全二叉树 </p>
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<p align="center"> 图 7-5 完全二叉树 </p>
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### 3. 完满二叉树
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如下图所示，「完满二叉树 full binary tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
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如图 7-6 所示，「完满二叉树 full binary tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
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<p align="center"> 图：完满二叉树 </p>
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<p align="center"> 图 7-6 完满二叉树 </p>
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### 4. 平衡二叉树
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如下图所示，「平衡二叉树 balanced binary tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
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如图 7-7 所示，「平衡二叉树 balanced binary tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
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<p align="center"> 图：平衡二叉树 </p>
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<p align="center"> 图 7-7 平衡二叉树 </p>
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## 7.1.4 二叉树的退化
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@@ -569,11 +569,11 @@ comments: true
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<p align="center"> 图：二叉树的最佳与最差结构 </p>
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<p align="center"> 图 7-8 二叉树的最佳与最差结构 </p>
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如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大或极小值。
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如表 7-1 所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大或极小值。
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<p align="center"> 表：二叉树的最佳与最差情况 </p>
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<p align="center"> 表 7-1 二叉树的最佳与最差情况 </p>
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<div class="center-table" markdown>
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## 7.2.1 层序遍历
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如下图所示，「层序遍历 level-order traversal」从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。
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如图 7-9 所示，「层序遍历 level-order traversal」从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。
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层序遍历本质上属于「广度优先遍历 breadth-first traversal」，它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。
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<p align="center"> 图：二叉树的层序遍历 </p>
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<p align="center"> 图 7-9 二叉树的层序遍历 </p>
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广度优先遍历通常借助“队列”来实现。队列遵循“先进先出”的规则，而广度优先遍历则遵循“逐层推进”的规则，两者背后的思想是一致的。
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相应地，前序、中序和后序遍历都属于「深度优先遍历 depth-first traversal」，它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。
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下图展示了对二叉树进行深度优先遍历的工作原理。**深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈**，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。
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图 7-10 展示了对二叉树进行深度优先遍历的工作原理。**深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈**，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。
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<p align="center"> 图：二叉搜索树的前、中、后序遍历 </p>
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<p align="center"> 图 7-10 二叉搜索树的前、中、后序遍历 </p>
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=== "Java"
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@@ -755,7 +755,7 @@ comments: true
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我们也可以不使用递归，仅基于迭代实现前、中、后序遍历，有兴趣的同学可以自行实现。
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下图展示了前序遍历二叉树的递归过程，其可分为“递”和“归”两个逆向的部分：
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图 7-11 展示了前序遍历二叉树的递归过程，其可分为“递”和“归”两个逆向的部分：
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1. “递”表示开启新方法，程序在此过程中访问下一个节点。
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2. “归”表示函数返回，代表当前节点已经访问完毕。
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@@ -793,4 +793,4 @@ comments: true
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=== "<11>"
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<p align="center"> 图：前序遍历的递归过程 </p>
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<p align="center"> 图 7-11 前序遍历的递归过程 </p>
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