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2023-08-22 13:50:12 +08:00
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@@ -4,14 +4,14 @@ comments: true
# 7.4   二叉搜索树
如下图所示，「二叉搜索树 binary search tree」满足以下条件：
如图 7-16 所示，「二叉搜索树 binary search tree」满足以下条件：
1. 对于根节点，左子树中所有节点的值 $<$ 根节点的值 $<$ 右子树中所有节点的值。
2. 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 `1.` 。
![二叉搜索树](binary_search_tree.assets/binary_search_tree.png)
<p align="center"> 图：二叉搜索树 </p>
<p align="center"> 图 7-16 &nbsp; 二叉搜索树 </p>
## 7.4.1 &nbsp; 二叉搜索树的操作
@@ -19,7 +19,7 @@ comments: true
### 1. &nbsp; 查找节点
给定目标节点值 `num` ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。如下图所示，我们声明一个节点 `cur` ，从二叉树的根节点 `root` 出发，循环比较节点值 `cur.val` 和 `num` 之间的大小关系：
给定目标节点值 `num` ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。如图 7-17 所示，我们声明一个节点 `cur` ，从二叉树的根节点 `root` 出发，循环比较节点值 `cur.val` 和 `num` 之间的大小关系：
- 若 `cur.val < num` ，说明目标节点在 `cur` 的右子树中，因此执行 `cur = cur.right` 。
- 若 `cur.val > num` ，说明目标节点在 `cur` 的左子树中，因此执行 `cur = cur.left` 。
@@ -37,7 +37,7 @@ comments: true
=== "<4>"
![bst_search_step4](binary_search_tree.assets/bst_search_step4.png)
<p align="center"> 图：二叉搜索树查找节点示例 </p>
<p align="center"> 图 7-17 &nbsp; 二叉搜索树查找节点示例 </p>
二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 $O(\log n)$ 时间。
@@ -321,14 +321,14 @@ comments: true
### 2. &nbsp; 插入节点
给定一个待插入元素 `num` ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如下图所示。
给定一个待插入元素 `num` ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如图 7-18 所示。
1. **查找插入位置**：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 `num` 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 $\text{None}$ ）时跳出循环。
2. **在该位置插入节点**：初始化节点 `num` ，将该节点置于 $\text{None}$ 的位置。
![在二叉搜索树中插入节点](binary_search_tree.assets/bst_insert.png)
<p align="center"> 图：在二叉搜索树中插入节点 </p>
<p align="center"> 图 7-18 &nbsp; 在二叉搜索树中插入节点 </p>
在代码实现中，需要注意以下两点：
@@ -733,21 +733,21 @@ comments: true
与插入节点类似，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除节点。接下来，根据待删除节点的子节点数量，删除操作需分为三种情况：
如下图所示，当待删除节点的度为 $0$ 时，表示待删除节点是叶节点，可以直接删除。
如图 7-19 所示，当待删除节点的度为 $0$ 时，表示待删除节点是叶节点，可以直接删除。
![在二叉搜索树中删除节点（度为 0）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case1.png)
<p align="center"> 图：在二叉搜索树中删除节点（度为 0） </p>
<p align="center"> 图 7-19 &nbsp; 在二叉搜索树中删除节点（度为 0） </p>
如下图所示，当待删除节点的度为 $1$ 时，将待删除节点替换为其子节点即可。
如图 7-20 所示，当待删除节点的度为 $1$ 时，将待删除节点替换为其子节点即可。
![在二叉搜索树中删除节点（度为 1）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case2.png)
<p align="center"> 图：在二叉搜索树中删除节点（度为 1） </p>
<p align="center"> 图 7-20 &nbsp; 在二叉搜索树中删除节点（度为 1） </p>
当待删除节点的度为 $2$ 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左 $<$ 根 $<$ 右”的性质，**因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点**。
假设我们选择右子树的最小节点（即中序遍历的下一个节点），则删除操作如下图所示。
假设我们选择右子树的最小节点（即中序遍历的下一个节点），则删除操作如图 7-21 所示。
1. 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 `tmp` 。
2. 将 `tmp` 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 `tmp` 。
@@ -764,7 +764,7 @@ comments: true
=== "<4>"
![bst_remove_case3_step4](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step4.png)
<p align="center"> 图：二叉搜索树删除节点示例 </p>
<p align="center"> 图 7-21 &nbsp; 二叉搜索树删除节点示例 </p>
删除节点操作同样使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除节点需要 $O(\log n)$ 时间，获取中序遍历后继节点需要 $O(\log n)$ 时间。
@@ -1477,7 +1477,7 @@ comments: true
### 4. &nbsp; 中序遍历性质
如下图所示，二叉树的中序遍历遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 $<$ 根节点 $<$ 右子节点”的大小关系。
如图 7-22 所示，二叉树的中序遍历遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 $<$ 根节点 $<$ 右子节点”的大小关系。
这意味着在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：**二叉搜索树的中序遍历序列是升序的**。
@@ -1485,15 +1485,15 @@ comments: true
![二叉搜索树的中序遍历序列](binary_search_tree.assets/bst_inorder_traversal.png)
<p align="center"> 图：二叉搜索树的中序遍历序列 </p>
<p align="center"> 图 7-22 &nbsp; 二叉搜索树的中序遍历序列 </p>
## 7.4.2 &nbsp; 二叉搜索树的效率
给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。
观察下表，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能表现。只有在高频添加、低频查找删除的数据适用场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。
观察表 7-2 ，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能表现。只有在高频添加、低频查找删除的数据适用场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。
<p align="center"> 表：数组与搜索树的效率对比 </p>
<p align="center"> 表 7-2 &nbsp; 数组与搜索树的效率对比 </p>
<div class="center-table" markdown>
@@ -1507,11 +1507,11 @@ comments: true
在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意节点。
然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为下图所示的链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 $O(n)$ 。
然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为图 7-23 所示的链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 $O(n)$ 。
![二叉搜索树的平衡与退化](binary_search_tree.assets/bst_degradation.png)
<p align="center"> 图：二叉搜索树的平衡与退化 </p>
<p align="center"> 图 7-23 &nbsp; 二叉搜索树的平衡与退化 </p>
## 7.4.3 &nbsp; 二叉搜索树常见应用