xinyin025/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2026-07-22 19:36:06 +00:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

deploy

Browse Source
This commit is contained in:
krahets
2023-08-20 13:37:20 +08:00
parent 88e0b11361
commit 96fded547b
35 changed files with 777 additions and 716 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files
chapter_backtracking/n_queens_problem/index.html
+15 -15
View File
@@ -2649,22 +2649,22 @@
<ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_1" class="md-nav__link">
逐行放置策略
<a href="#1" class="md-nav__link">
1. &nbsp; 逐行放置策略
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_2" class="md-nav__link">
列与对角线剪枝
<a href="#2" class="md-nav__link">
2. &nbsp; 列与对角线剪枝
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_3" class="md-nav__link">
代码实现
<a href="#3" class="md-nav__link">
3. &nbsp; 代码实现
</a>
</li>
@@ -3382,22 +3382,22 @@
<ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_1" class="md-nav__link">
逐行放置策略
<a href="#1" class="md-nav__link">
1. &nbsp; 逐行放置策略
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_2" class="md-nav__link">
列与对角线剪枝
<a href="#2" class="md-nav__link">
2. &nbsp; 列与对角线剪枝
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_3" class="md-nav__link">
代码实现
<a href="#3" class="md-nav__link">
3. &nbsp; 代码实现
</a>
</li>
@@ -3438,7 +3438,7 @@
<p><img alt="n 皇后问题的约束条件" src="../n_queens_problem.assets/n_queens_constraints.png" /></p>
<p align="center"> 图：n 皇后问题的约束条件 </p>
<h3 id="_1">逐行放置策略<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="1">1. &nbsp; 逐行放置策略<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>皇后的数量和棋盘的行数都为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，因此我们容易得到一个推论：<strong>棋盘每行都允许且只允许放置一个皇后</strong>。</p>
<p>也就是说，我们可以采取逐行放置策略：从第一行开始，在每行放置一个皇后，直至最后一行结束。</p>
<p>如下图所示，为 <span class="arithmatex">\(4\)</span> 皇后问题的逐行放置过程。受画幅限制，下图仅展开了第一行的其中一个搜索分支，并且将不满足列约束和对角线约束的方案都进行了剪枝。</p>
@@ -3446,7 +3446,7 @@
<p align="center"> 图：逐行放置策略 </p>
<p>本质上看，<strong>逐行放置策略起到了剪枝的作用</strong>，它避免了同一行出现多个皇后的所有搜索分支。</p>
<h3 id="_2">列与对角线剪枝<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="2">2. &nbsp; 列与对角线剪枝<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>为了满足列约束，我们可以利用一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的布尔型数组 <code>cols</code> 记录每一列是否有皇后。在每次决定放置前，我们通过 <code>cols</code> 将已有皇后的列进行剪枝，并在回溯中动态更新 <code>cols</code> 的状态。</p>
<p>那么，如何处理对角线约束呢？设棋盘中某个格子的行列索引为 <span class="arithmatex">\((row, col)\)</span> ，选定矩阵中的某条主对角线，我们发现该对角线上所有格子的行索引减列索引都相等，<strong>即对角线上所有格子的 <span class="arithmatex">\(row - col\)</span> 为恒定值</strong>。</p>
<p>也就是说，如果两个格子满足 <span class="arithmatex">\(row_1 - col_1 = row_2 - col_2\)</span> ，则它们一定处在同一条主对角线上。利用该规律，我们可以借助一个数组 <code>diag1</code> 来记录每条主对角线上是否有皇后。</p>
@@ -3454,7 +3454,7 @@
<p><img alt="处理列约束和对角线约束" src="../n_queens_problem.assets/n_queens_cols_diagonals.png" /></p>
<p align="center"> 图：处理列约束和对角线约束 </p>
<h3 id="_3">代码实现<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="3">3. &nbsp; 代码实现<a class="headerlink" href="#3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>请注意，<span class="arithmatex">\(n\)</span> 维方阵中 <span class="arithmatex">\(row - col\)</span> 的范围是 <span class="arithmatex">\([-n + 1, n - 1]\)</span> ，<span class="arithmatex">\(row + col\)</span> 的范围是 <span class="arithmatex">\([0, 2n - 2]\)</span> ，所以主对角线和次对角线的数量都为 <span class="arithmatex">\(2n - 1\)</span> ，即数组 <code>diag1</code> 和 <code>diag2</code> 的长度都为 <span class="arithmatex">\(2n - 1\)</span> 。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:12"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_12" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JS</label><label for="__tabbed_1_6">TS</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label><label for="__tabbed_1_12">Rust</label></div>
<div class="tabbed-content">
chapter_backtracking/permutations_problem/index.html
+25 -25
View File
@@ -2617,15 +2617,15 @@
<ul class="md-nav__list">
<li class="md-nav__item">
<a href="#_1" class="md-nav__link">
重复选择剪枝
<a href="#1" class="md-nav__link">
1. &nbsp; 重复选择剪枝
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_2" class="md-nav__link">
代码实现
<a href="#2" class="md-nav__link">
2. &nbsp; 代码实现
</a>
</li>
@@ -2644,22 +2644,22 @@
<ul class="md-nav__list">
<li class="md-nav__item">
<a href="#_3" class="md-nav__link">
相等元素剪枝
<a href="#1_1" class="md-nav__link">
1. &nbsp; 相等元素剪枝
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_4" class="md-nav__link">
代码实现
<a href="#2_1" class="md-nav__link">
2. &nbsp; 代码实现
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_5" class="md-nav__link">
两种剪枝对比
<a href="#3" class="md-nav__link">
3. &nbsp; 两种剪枝对比
</a>
</li>
@@ -3430,15 +3430,15 @@
<ul class="md-nav__list">
<li class="md-nav__item">
<a href="#_1" class="md-nav__link">
重复选择剪枝
<a href="#1" class="md-nav__link">
1. &nbsp; 重复选择剪枝
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_2" class="md-nav__link">
代码实现
<a href="#2" class="md-nav__link">
2. &nbsp; 代码实现
</a>
</li>
@@ -3457,22 +3457,22 @@
<ul class="md-nav__list">
<li class="md-nav__item">
<a href="#_3" class="md-nav__link">
相等元素剪枝
<a href="#1_1" class="md-nav__link">
1. &nbsp; 相等元素剪枝
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_4" class="md-nav__link">
代码实现
<a href="#2_1" class="md-nav__link">
2. &nbsp; 代码实现
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_5" class="md-nav__link">
两种剪枝对比
<a href="#3" class="md-nav__link">
3. &nbsp; 两种剪枝对比
</a>
</li>
@@ -3545,7 +3545,7 @@
<p><img alt="全排列的递归树" src="../permutations_problem.assets/permutations_i.png" /></p>
<p align="center"> 图：全排列的递归树 </p>
<h3 id="_1">重复选择剪枝<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="1">1. &nbsp; 重复选择剪枝<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>为了实现每个元素只被选择一次，我们考虑引入一个布尔型数组 <code>selected</code> ，其中 <code>selected[i]</code> 表示 <code>choices[i]</code> 是否已被选择。剪枝的实现原理为：</p>
<ul>
<li>在做出选择 <code>choice[i]</code> 后，我们就将 <code>selected[i]</code> 赋值为 <span class="arithmatex">\(\text{True}\)</span> ，代表它已被选择。</li>
@@ -3556,7 +3556,7 @@
<p align="center"> 图：全排列剪枝示例 </p>
<p>观察上图发现，该剪枝操作将搜索空间大小从 <span class="arithmatex">\(O(n^n)\)</span> 降低至 <span class="arithmatex">\(O(n!)\)</span> 。</p>
<h3 id="_2">代码实现<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="2">2. &nbsp; 代码实现<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短代码行数，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将他们展开在 <code>backtrack()</code> 函数中。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:12"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_12" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JS</label><label for="__tabbed_1_6">TS</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label><label for="__tabbed_1_12">Rust</label></div>
<div class="tabbed-content">
@@ -3967,14 +3967,14 @@
<p align="center"> 图：重复排列 </p>
<p>那么如何去除重复的排列呢？最直接地，考虑借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，<strong>因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝</strong>，这样可以进一步提升算法效率。</p>
<h3 id="_3">相等元素剪枝<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="1_1">1. &nbsp; 相等元素剪枝<a class="headerlink" href="#1_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>观察发现，在第一轮中，选择 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 或选择 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 是等价的，在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝掉。</p>
<p>同理，在第一轮选择 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 后，第二轮选择中的 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 也会产生重复分支，因此也应将第二轮的 <span class="arithmatex">\(\hat{1}\)</span> 剪枝。</p>
<p>本质上看，<strong>我们的目标是在某一轮选择中，保证多个相等的元素仅被选择一次</strong>。</p>
<p><img alt="重复排列剪枝" src="../permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png" /></p>
<p align="center"> 图：重复排列剪枝 </p>
<h3 id="_4">代码实现<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="2_1">2. &nbsp; 代码实现<a class="headerlink" href="#2_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 <code>duplicated</code> ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:12"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_12" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JS</label><label for="__tabbed_2_6">TS</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label><label for="__tabbed_2_11">Dart</label><label for="__tabbed_2_12">Rust</label></div>
<div class="tabbed-content">
@@ -4354,7 +4354,7 @@
</div>
<p>假设元素两两之间互不相同，则 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个元素共有 <span class="arithmatex">\(n!\)</span> 种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的列表，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间。因此，<strong>时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n!n)\)</span></strong> 。</p>
<p>最大递归深度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 栈帧空间。<code>selected</code> 使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 空间。同一时刻最多共有 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个 <code>duplicated</code> ，使用 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> 空间。<strong>因此空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span></strong> 。</p>
<h3 id="_5">两种剪枝对比<a class="headerlink" href="#_5" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="3">3. &nbsp; 两种剪枝对比<a class="headerlink" href="#3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>请注意，虽然 <code>selected</code> 和 <code>duplicated</code> 都用作剪枝，但两者的目标不同：</p>
<ul>
<li><strong>重复选择剪枝</strong>：整个搜索过程中只有一个 <code>selected</code> 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在 <code>state</code> 中重复出现。</li>
chapter_backtracking/subset_sum_problem/index.html
+25 -25
View File
@@ -2637,22 +2637,22 @@
<ul class="md-nav__list">
<li class="md-nav__item">
<a href="#_1" class="md-nav__link">
参考全排列解法
<a href="#1" class="md-nav__link">
1. &nbsp; 参考全排列解法
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_2" class="md-nav__link">
重复子集剪枝
<a href="#2" class="md-nav__link">
2. &nbsp; 重复子集剪枝
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_3" class="md-nav__link">
代码实现
<a href="#3" class="md-nav__link">
3. &nbsp; 代码实现
</a>
</li>
@@ -2671,15 +2671,15 @@
<ul class="md-nav__list">
<li class="md-nav__item">
<a href="#_4" class="md-nav__link">
相等元素剪枝
<a href="#1_1" class="md-nav__link">
1. &nbsp; 相等元素剪枝
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_5" class="md-nav__link">
代码实现
<a href="#2_1" class="md-nav__link">
2. &nbsp; 代码实现
</a>
</li>
@@ -3430,22 +3430,22 @@
<ul class="md-nav__list">
<li class="md-nav__item">
<a href="#_1" class="md-nav__link">
参考全排列解法
<a href="#1" class="md-nav__link">
1. &nbsp; 参考全排列解法
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_2" class="md-nav__link">
重复子集剪枝
<a href="#2" class="md-nav__link">
2. &nbsp; 重复子集剪枝
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_3" class="md-nav__link">
代码实现
<a href="#3" class="md-nav__link">
3. &nbsp; 代码实现
</a>
</li>
@@ -3464,15 +3464,15 @@
<ul class="md-nav__list">
<li class="md-nav__item">
<a href="#_4" class="md-nav__link">
相等元素剪枝
<a href="#1_1" class="md-nav__link">
1. &nbsp; 相等元素剪枝
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a href="#_5" class="md-nav__link">
代码实现
<a href="#2_1" class="md-nav__link">
2. &nbsp; 代码实现
</a>
</li>
@@ -3516,7 +3516,7 @@
<li>输入集合中的元素可以被无限次重复选取。</li>
<li>子集是不区分元素顺序的，比如 <span class="arithmatex">\(\{4, 5\}\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(\{5, 4\}\)</span> 是同一个子集。</li>
</ul>
<h3 id="_1">参考全排列解法<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="1">1. &nbsp; 参考全排列解法<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>类似于全排列问题，我们可以把子集的生成过程想象成一系列选择的结果，并在选择过程中实时更新“元素和”，当元素和等于 <code>target</code> 时，就将子集记录至结果列表。</p>
<p>而与全排列问题不同的是，<strong>本题集合中的元素可以被无限次选取</strong>，因此无需借助 <code>selected</code> 布尔列表来记录元素是否已被选择。我们可以对全排列代码进行小幅修改，初步得到解题代码。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:12"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_12" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JS</label><label for="__tabbed_1_6">TS</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label><label for="__tabbed_1_12">Rust</label></div>
@@ -3920,7 +3920,7 @@
<li>当数组元素较多，尤其是当 <code>target</code> 较大时，搜索过程会产生大量的重复子集。</li>
<li>比较子集（数组）的异同非常耗时，需要先排序数组，再比较数组中每个元素的异同。</li>
</ul>
<h3 id="_2">重复子集剪枝<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="2">2. &nbsp; 重复子集剪枝<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p><strong>我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重</strong>。观察下图，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，具体来看：</p>
<ol>
<li>第一轮和第二轮分别选择 <span class="arithmatex">\(3\)</span> , <span class="arithmatex">\(4\)</span> ，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 <span class="arithmatex">\([3, 4, \cdots]\)</span> 。</li>
@@ -3936,7 +3936,7 @@
<p align="center"> 图：不同选择顺序导致的重复子集 </p>
<p>总结来看，给定输入数组 <span class="arithmatex">\([x_1, x_2, \cdots, x_n]\)</span> ，设搜索过程中的选择序列为 <span class="arithmatex">\([x_{i_1}, x_{i_2}, \cdots , x_{i_m}]\)</span> ，则该选择序列需要满足 <span class="arithmatex">\(i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_m\)</span> ，<strong>不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝</strong>。</p>
<h3 id="_3">代码实现<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="3">3. &nbsp; 代码实现<a class="headerlink" href="#3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>为实现该剪枝，我们初始化变量 <code>start</code> ，用于指示遍历起点。<strong>当做出选择 <span class="arithmatex">\(x_{i}\)</span> 后，设定下一轮从索引 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 开始遍历</strong>。这样做就可以让选择序列满足 <span class="arithmatex">\(i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_m\)</span> ，从而保证子集唯一。</p>
<p>除此之外，我们还对代码进行了两项优化：</p>
<ul>
@@ -4376,10 +4376,10 @@
<p><img alt="相等元素导致的重复子集" src="../subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii_repeat.png" /></p>
<p align="center"> 图：相等元素导致的重复子集 </p>
<h3 id="_4">相等元素剪枝<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="1_1">1. &nbsp; 相等元素剪枝<a class="headerlink" href="#1_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>为解决此问题，<strong>我们需要限制相等元素在每一轮中只被选择一次</strong>。实现方式比较巧妙：由于数组是已排序的，因此相等元素都是相邻的。这意味着在某轮选择中，若当前元素与其左边元素相等，则说明它已经被选择过，因此直接跳过当前元素。</p>
<p>与此同时，<strong>本题规定中的每个数组元素只能被选择一次</strong>。幸运的是，我们也可以利用变量 <code>start</code> 来满足该约束：当做出选择 <span class="arithmatex">\(x_{i}\)</span> 后，设定下一轮从索引 <span class="arithmatex">\(i + 1\)</span> 开始向后遍历。这样即能去除重复子集，也能避免重复选择元素。</p>
<h3 id="_5">代码实现<a class="headerlink" href="#_5" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="2_1">2. &nbsp; 代码实现<a class="headerlink" href="#2_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:12"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_5" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_6" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_7" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_8" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_9" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_10" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_11" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_12" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1">Java</label><label for="__tabbed_3_2">C++</label><label for="__tabbed_3_3">Python</label><label for="__tabbed_3_4">Go</label><label for="__tabbed_3_5">JS</label><label for="__tabbed_3_6">TS</label><label for="__tabbed_3_7">C</label><label for="__tabbed_3_8">C#</label><label for="__tabbed_3_9">Swift</label><label for="__tabbed_3_10">Zig</label><label for="__tabbed_3_11">Dart</label><label for="__tabbed_3_12">Rust</label></div>
<div class="tabbed-content">
<div class="tabbed-block">