xinyin025/hello-algo
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2023-08-20 13:37:20 +08:00
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commit 96fded547b
35 changed files with 777 additions and 716 deletions
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chapter_tree/avl_tree/index.html
+50 -50
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@@ -1469,15 +1469,15 @@
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节点高度
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节点平衡因子
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右旋
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1. &nbsp; 右旋
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左旋
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2. &nbsp; 左旋
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先左旋后右旋
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3. &nbsp; 先左旋后右旋
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先右旋后左旋
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旋转的选择
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5. &nbsp; 旋转的选择
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插入节点
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1. &nbsp; 插入节点
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删除节点
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查找节点
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节点高度
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1. &nbsp; 节点高度
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节点平衡因子
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2. &nbsp; 节点平衡因子
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右旋
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左旋
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2. &nbsp; 左旋
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先左旋后右旋
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3. &nbsp; 先左旋后右旋
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先右旋后左旋
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4. &nbsp; 先右旋后左旋
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旋转的选择
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5. &nbsp; 旋转的选择
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</li>
@@ -3560,22 +3560,22 @@
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<a href="#_8" class="md-nav__link">
插入节点
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1. &nbsp; 插入节点
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</li>
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删除节点
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2. &nbsp; 删除节点
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<a href="#_10" class="md-nav__link">
查找节点
<a href="#3_1" class="md-nav__link">
3. &nbsp; 查找节点
</a>
</li>
@@ -3628,7 +3628,7 @@
<p>G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。论文中详细描述了一系列操作，确保在持续添加和删除节点后，AVL 树不会退化，从而使得各种操作的时间复杂度保持在 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 级别。换句话说，在需要频繁进行增删查改操作的场景中，AVL 树能始终保持高效的数据操作性能，具有很好的应用价值。</p>
<h2 id="751-avl">7.5.1 &nbsp; AVL 树常见术语<a class="headerlink" href="#751-avl" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>「AVL 树」既是二叉搜索树也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉树的所有性质，因此也被称为「平衡二叉搜索树」。</p>
<h3 id="_1">节点高度<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="1">1. &nbsp; 节点高度<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>在操作 AVL 树时，我们需要获取节点的高度，因此需要为 AVL 树的节点类添加 <code>height</code> 变量。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:12"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_11" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_12" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JS</label><label for="__tabbed_1_6">TS</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label><label for="__tabbed_1_11">Dart</label><label for="__tabbed_1_12">Rust</label></div>
<div class="tabbed-content">
@@ -3979,7 +3979,7 @@
</div>
</div>
</div>
<h3 id="_2">节点平衡因子<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="2">2. &nbsp; 节点平衡因子<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>节点的「平衡因子 Balance Factor」定义为节点左子树的高度减去右子树的高度，同时规定空节点的平衡因子为 0 。我们同样将获取节点平衡因子的功能封装成函数，方便后续使用。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:12"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_5" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_6" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_7" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_8" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_9" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_10" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_11" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_12" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1">Java</label><label for="__tabbed_3_2">C++</label><label for="__tabbed_3_3">Python</label><label for="__tabbed_3_4">Go</label><label for="__tabbed_3_5">JS</label><label for="__tabbed_3_6">TS</label><label for="__tabbed_3_7">C</label><label for="__tabbed_3_8">C#</label><label for="__tabbed_3_9">Swift</label><label for="__tabbed_3_10">Zig</label><label for="__tabbed_3_11">Dart</label><label for="__tabbed_3_12">Rust</label></div>
<div class="tabbed-content">
@@ -4122,7 +4122,7 @@
<h2 id="752-avl">7.5.2 &nbsp; AVL 树旋转<a class="headerlink" href="#752-avl" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉树的中序遍历序列的前提下，使失衡节点重新恢复平衡。换句话说，<strong>旋转操作既能保持树的「二叉搜索树」属性，也能使树重新变为「平衡二叉树」</strong>。</p>
<p>我们将平衡因子绝对值 <span class="arithmatex">\(&gt; 1\)</span> 的节点称为「失衡节点」。根据节点失衡情况的不同，旋转操作分为四种：右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。下面我们将详细介绍这些旋转操作。</p>
<h3 id="_3">右旋<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="1_1">1. &nbsp; 右旋<a class="headerlink" href="#1_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>如下图所示，节点下方为平衡因子。从底至顶看，二叉树中首个失衡节点是“节点 3”。我们关注以该失衡节点为根节点的子树，将该节点记为 <code>node</code> ，其左子节点记为 <code>child</code> ，执行「右旋」操作。完成右旋后，子树已经恢复平衡，并且仍然保持二叉搜索树的特性。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="4:4"><input checked="checked" id="__tabbed_4_1" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_2" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_3" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_4" name="__tabbed_4" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_4_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_4_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_4_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_4_4">&lt;4&gt;</label></div>
<div class="tabbed-content">
@@ -4348,7 +4348,7 @@
</div>
</div>
</div>
<h3 id="_4">左旋<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="2_1">2. &nbsp; 左旋<a class="headerlink" href="#2_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>相应的，如果考虑上述失衡二叉树的“镜像”，则需要执行「左旋」操作。</p>
<p><img alt="左旋操作" src="../avl_tree.assets/avltree_left_rotate.png" /></p>
<p align="center"> 图：左旋操作 </p>
@@ -4559,17 +4559,17 @@
</div>
</div>
</div>
<h3 id="_5">先左旋后右旋<a class="headerlink" href="#_5" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="3">3. &nbsp; 先左旋后右旋<a class="headerlink" href="#3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>对于下图中的失衡节点 3，仅使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡。此时需要先左旋后右旋，即先对 <code>child</code> 执行「左旋」，再对 <code>node</code> 执行「右旋」。</p>
<p><img alt="先左旋后右旋" src="../avl_tree.assets/avltree_left_right_rotate.png" /></p>
<p align="center"> 图：先左旋后右旋 </p>
<h3 id="_6">先右旋后左旋<a class="headerlink" href="#_6" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="4">4. &nbsp; 先右旋后左旋<a class="headerlink" href="#4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>同理，对于上述失衡二叉树的镜像情况，需要先右旋后左旋，即先对 <code>child</code> 执行「右旋」，然后对 <code>node</code> 执行「左旋」。</p>
<p><img alt="先右旋后左旋" src="../avl_tree.assets/avltree_right_left_rotate.png" /></p>
<p align="center"> 图：先右旋后左旋 </p>
<h3 id="_7">旋转的选择<a class="headerlink" href="#_7" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="5">5. &nbsp; 旋转的选择<a class="headerlink" href="#5" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>下图展示的四种失衡情况与上述案例逐个对应，分别需要采用右旋、左旋、先右后左、先左后右的旋转操作。</p>
<p><img alt="AVL 树的四种旋转情况" src="../avl_tree.assets/avltree_rotation_cases.png" /></p>
<p align="center"> 图：AVL 树的四种旋转情况 </p>
@@ -5001,7 +5001,7 @@
</div>
</div>
<h2 id="753-avl">7.5.3 &nbsp; AVL 树常用操作<a class="headerlink" href="#753-avl" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<h3 id="_8">插入节点<a class="headerlink" href="#_8" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="1_2">1. &nbsp; 插入节点<a class="headerlink" href="#1_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>「AVL 树」的节点插入操作与「二叉搜索树」在主体上类似。唯一的区别在于，在 AVL 树中插入节点后，从该节点到根节点的路径上可能会出现一系列失衡节点。因此，<strong>我们需要从这个节点开始，自底向上执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡</strong>。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="8:12"><input checked="checked" id="__tabbed_8_1" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_2" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_3" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_4" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_5" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_6" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_7" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_8" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_9" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_10" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_11" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_12" name="__tabbed_8" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_8_1">Java</label><label for="__tabbed_8_2">C++</label><label for="__tabbed_8_3">Python</label><label for="__tabbed_8_4">Go</label><label for="__tabbed_8_5">JS</label><label for="__tabbed_8_6">TS</label><label for="__tabbed_8_7">C</label><label for="__tabbed_8_8">C#</label><label for="__tabbed_8_9">Swift</label><label for="__tabbed_8_10">Zig</label><label for="__tabbed_8_11">Dart</label><label for="__tabbed_8_12">Rust</label></div>
<div class="tabbed-content">
@@ -5331,7 +5331,7 @@
</div>
</div>
</div>
<h3 id="_9">删除节点<a class="headerlink" href="#_9" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="2_2">2. &nbsp; 删除节点<a class="headerlink" href="#2_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>类似地，在二叉搜索树的删除节点方法的基础上，需要从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="9:12"><input checked="checked" id="__tabbed_9_1" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_2" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_3" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_4" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_5" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_6" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_7" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_8" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_9" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_10" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_11" name="__tabbed_9" type="radio" /><input id="__tabbed_9_12" name="__tabbed_9" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_9_1">Java</label><label for="__tabbed_9_2">C++</label><label for="__tabbed_9_3">Python</label><label for="__tabbed_9_4">Go</label><label for="__tabbed_9_5">JS</label><label for="__tabbed_9_6">TS</label><label for="__tabbed_9_7">C</label><label for="__tabbed_9_8">C#</label><label for="__tabbed_9_9">Swift</label><label for="__tabbed_9_10">Zig</label><label for="__tabbed_9_11">Dart</label><label for="__tabbed_9_12">Rust</label></div>
<div class="tabbed-content">
@@ -5868,7 +5868,7 @@
</div>
</div>
</div>
<h3 id="_10">查找节点<a class="headerlink" href="#_10" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<h3 id="3_1">3. &nbsp; 查找节点<a class="headerlink" href="#3_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>AVL 树的节点查找操作与二叉搜索树一致，在此不再赘述。</p>
<h2 id="754-avl">7.5.4 &nbsp; AVL 树典型应用<a class="headerlink" href="#754-avl" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<ul>