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chapter_heap/build_heap/index.html

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 <h2 id="823">8.2.3. &nbsp; 复杂度分析<a class="headerlink" href="#823" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>为什么第二种建堆方法的时间复杂度是 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ？我们来展开推算一下。</p>
 <ul>
-<li>完全二叉树中，设节点总数为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，则叶节点数量为 <span class="arithmatex">\((n + 1) / 2\)</span> ，其中 <span class="arithmatex">\(/\)</span> 为向下整除。因此，在排除叶节点后，需要堆化的节点数量为 <span class="arithmatex">\((n - 1)/2\)</span> ，复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ；</li>
-<li>在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> ；</li>
+<li>完全二叉树中，设节点总数为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，则叶节点数量为 <span class="arithmatex">\((n + 1) / 2\)</span> ，其中 <span class="arithmatex">\(/\)</span> 为向下整除。因此，在排除叶节点后，需要堆化的节点数量为 <span class="arithmatex">\((n - 1)/2\)</span> ，复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。</li>
+<li>在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 。</li>
 </ul>
 <p>将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> 。<strong>然而，这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的特性</strong>。</p>
 <p>接下来我们来进行更为详细的计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）节点数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，树高度为 <span class="arithmatex">\(h\)</span> 。上文提到，<strong>节点堆化最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”</strong>。</p>

chapter_heap/heap/index.html

@@ -3458,8 +3458,8 @@
 <h1 id="81">8.1. &nbsp; 堆<a class="headerlink" href="#81" title="Permanent link">&para;</a></h1>
 <p>「堆 Heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，可分为两种类型：</p>
 <ul>
-<li>「大顶堆 Max Heap」，任意节点的值 <span class="arithmatex">\(\geq\)</span> 其子节点的值；</li>
-<li>「小顶堆 Min Heap」，任意节点的值 <span class="arithmatex">\(\leq\)</span> 其子节点的值；</li>
+<li>「大顶堆 Max Heap」，任意节点的值 <span class="arithmatex">\(\geq\)</span> 其子节点的值。</li>
+<li>「小顶堆 Min Heap」，任意节点的值 <span class="arithmatex">\(\leq\)</span> 其子节点的值。</li>
 </ul>
 <p><img alt="小顶堆与大顶堆" src="../heap.assets/min_heap_and_max_heap.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 小顶堆与大顶堆 </p>
@@ -4359,9 +4359,9 @@
 <h3 id="_4">堆顶元素出堆<a class="headerlink" href="#_4" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采取以下操作步骤：</p>
 <ol>
-<li>交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）；</li>
-<li>交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）；</li>
-<li>从根节点开始，<strong>从顶至底执行堆化</strong>；</li>
+<li>交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）。</li>
+<li>交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）。</li>
+<li>从根节点开始，<strong>从顶至底执行堆化</strong>。</li>
 </ol>
 <p>顾名思义，<strong>从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反</strong>，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换；然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无需交换的节点时结束。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="6:10"><input checked="checked" id="__tabbed_6_1" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_2" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_3" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_4" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_5" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_6" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_7" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_8" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_9" name="__tabbed_6" type="radio" /><input id="__tabbed_6_10" name="__tabbed_6" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_6_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_6_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_6_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_6_4">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_6_5">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_6_6">&lt;6&gt;</label><label for="__tabbed_6_7">&lt;7&gt;</label><label for="__tabbed_6_8">&lt;8&gt;</label><label for="__tabbed_6_9">&lt;9&gt;</label><label for="__tabbed_6_10">&lt;10&gt;</label></div>

chapter_heap/top_k/index.html

@@ -3412,10 +3412,10 @@
 <h2 id="833">8.3.3. &nbsp; 方法三：堆<a class="headerlink" href="#833" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <p>我们可以基于堆更加高效地解决 Top-K 问题，流程如下：</p>
 <ol>
-<li>初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小；</li>
-<li>先将数组的前 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 个元素依次入堆；</li>
-<li>从第 <span class="arithmatex">\(k + 1\)</span> 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆；</li>
-<li>遍历完成后，堆中保存的就是最大的 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 个元素；</li>
+<li>初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。</li>
+<li>先将数组的前 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 个元素依次入堆。</li>
+<li>从第 <span class="arithmatex">\(k + 1\)</span> 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。</li>
+<li>遍历完成后，堆中保存的就是最大的 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 个元素。</li>
 </ol>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:9"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_1_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_1_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_1_4">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_1_5">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_1_6">&lt;6&gt;</label><label for="__tabbed_1_7">&lt;7&gt;</label><label for="__tabbed_1_8">&lt;8&gt;</label><label for="__tabbed_1_9">&lt;9&gt;</label></div>
 <div class="tabbed-content">