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@@ -3393,9 +3393,9 @@
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<h2 id="1181">11.8.1. 算法流程<a class="headerlink" href="#1181" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>考虑一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的数组，元素是范围 <span class="arithmatex">\([0, 1)\)</span> 的浮点数。桶排序的流程如下：</p>
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<ol>
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<li>初始化 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 个桶，将 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个元素分配到 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 个桶中；</li>
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<li>对每个桶分别执行排序（本文采用编程语言的内置排序函数）；</li>
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<li>按照桶的从小到大的顺序，合并结果；</li>
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<li>初始化 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 个桶，将 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个元素分配到 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 个桶中。</li>
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<li>对每个桶分别执行排序（本文采用编程语言的内置排序函数）。</li>
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<li>按照桶的从小到大的顺序，合并结果。</li>
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</ol>
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<p><img alt="桶排序算法流程" src="../bucket_sort.assets/bucket_sort_overview.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 桶排序算法流程 </p>
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@@ -3406,7 +3406,7 @@
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<h2 id="1191">11.9.1. 简单实现<a class="headerlink" href="#1191" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>先来看一个简单的例子。给定一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的数组 <code>nums</code> ，其中的元素都是“非负整数”。计数排序的整体流程如下：</p>
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<ol>
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<li>遍历数组，找出数组中的最大数字，记为 <span class="arithmatex">\(m\)</span> ，然后创建一个长度为 <span class="arithmatex">\(m + 1\)</span> 的辅助数组 <code>counter</code> ；</li>
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<li>遍历数组，找出数组中的最大数字，记为 <span class="arithmatex">\(m\)</span> ，然后创建一个长度为 <span class="arithmatex">\(m + 1\)</span> 的辅助数组 <code>counter</code> 。</li>
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<li><strong>借助 <code>counter</code> 统计 <code>nums</code> 中各数字的出现次数</strong>，其中 <code>counter[num]</code> 对应数字 <code>num</code> 的出现次数。统计方法很简单，只需遍历 <code>nums</code>（设当前数字为 <code>num</code>），每轮将 <code>counter[num]</code> 增加 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 即可。</li>
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<li><strong>由于 <code>counter</code> 的各个索引天然有序，因此相当于所有数字已经被排序好了</strong>。接下来，我们遍历 <code>counter</code> ，根据各数字的出现次数，将它们按从小到大的顺序填入 <code>nums</code> 即可。</li>
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</ol>
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@@ -3681,8 +3681,8 @@
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\]</div>
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<p><strong>前缀和具有明确的意义，<code>prefix[num] - 1</code> 代表元素 <code>num</code> 在结果数组 <code>res</code> 中最后一次出现的索引</strong>。这个信息非常关键，因为它告诉我们各个元素应该出现在结果数组的哪个位置。接下来，我们倒序遍历原数组 <code>nums</code> 的每个元素 <code>num</code> ，在每轮迭代中执行：</p>
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<ol>
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<li>将 <code>num</code> 填入数组 <code>res</code> 的索引 <code>prefix[num] - 1</code> 处；</li>
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<li>令前缀和 <code>prefix[num]</code> 减小 <span class="arithmatex">\(1\)</span> ，从而得到下次放置 <code>num</code> 的索引；</li>
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<li>将 <code>num</code> 填入数组 <code>res</code> 的索引 <code>prefix[num] - 1</code> 处。</li>
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<li>令前缀和 <code>prefix[num]</code> 减小 <span class="arithmatex">\(1\)</span> ，从而得到下次放置 <code>num</code> 的索引。</li>
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</ol>
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<p>遍历完成后，数组 <code>res</code> 中就是排序好的结果，最后使用 <code>res</code> 覆盖原数组 <code>nums</code> 即可。</p>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:8"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1"><1></label><label for="__tabbed_2_2"><2></label><label for="__tabbed_2_3"><3></label><label for="__tabbed_2_4"><4></label><label for="__tabbed_2_5"><5></label><label for="__tabbed_2_6"><6></label><label for="__tabbed_2_7"><7></label><label for="__tabbed_2_8"><8></label></div>
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@@ -3390,17 +3390,17 @@
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<h1 id="116">11.6. 归并排序<a class="headerlink" href="#116" title="Permanent link">¶</a></h1>
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<p>「归并排序 Merge Sort」基于分治思想实现排序，包含“划分”和“合并”两个阶段：</p>
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<ol>
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<li><strong>划分阶段</strong>：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题；</li>
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<li><strong>合并阶段</strong>：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束；</li>
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<li><strong>划分阶段</strong>：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。</li>
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<li><strong>合并阶段</strong>：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束。</li>
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</ol>
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<p><img alt="归并排序的划分与合并阶段" src="../merge_sort.assets/merge_sort_overview.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 归并排序的划分与合并阶段 </p>
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<h2 id="1161">11.6.1. 算法流程<a class="headerlink" href="#1161" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切为两个子数组，直至长度为 1 ；</p>
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<p>“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切为两个子数组：</p>
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<ol>
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<li>计算数组中点 <code>mid</code> ，递归划分左子数组（区间 <code>[left, mid]</code> ）和右子数组（区间 <code>[mid + 1, right]</code> ）；</li>
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<li>递归执行步骤 <code>1.</code> ，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分；</li>
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<li>计算数组中点 <code>mid</code> ，递归划分左子数组（区间 <code>[left, mid]</code> ）和右子数组（区间 <code>[mid + 1, right]</code> ）。</li>
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<li>递归执行步骤 <code>1.</code> ，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分。</li>
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</ol>
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<p>“合并阶段”从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是，从长度为 1 的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。</p>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:10"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1"><1></label><label for="__tabbed_1_2"><2></label><label for="__tabbed_1_3"><3></label><label for="__tabbed_1_4"><4></label><label for="__tabbed_1_5"><5></label><label for="__tabbed_1_6"><6></label><label for="__tabbed_1_7"><7></label><label for="__tabbed_1_8"><8></label><label for="__tabbed_1_9"><9></label><label for="__tabbed_1_10"><10></label></div>
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@@ -3952,7 +3952,7 @@
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<p>归并排序在排序链表时具有显著优势，空间复杂度可以优化至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> ，原因如下：</p>
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<ul>
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<li>由于链表仅需改变指针就可实现节点的增删操作，因此合并阶段（将两个短有序链表合并为一个长有序链表）无需创建辅助链表。</li>
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<li>通过使用“迭代划分”替代“递归划分”，可省去递归使用的栈帧空间；</li>
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<li>通过使用“迭代划分”替代“递归划分”，可省去递归使用的栈帧空间。</li>
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</ul>
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<p>具体实现细节比较复杂，有兴趣的同学可以查阅相关资料进行学习。</p>
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@@ -3419,9 +3419,9 @@
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<p>「快速排序 Quick Sort」是一种基于分治思想的排序算法，运行高效，应用广泛。</p>
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<p>快速排序的核心操作是「哨兵划分」，其目标是：选择数组中的某个元素作为“基准数”，将所有小于基准数的元素移到其左侧，而大于基准数的元素移到其右侧。具体来说，哨兵划分的流程为：</p>
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<ol>
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<li>选取数组最左端元素作为基准数，初始化两个指针 <code>i</code> 和 <code>j</code> 分别指向数组的两端；</li>
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<li>设置一个循环，在每轮中使用 <code>i</code>（<code>j</code>）分别寻找第一个比基准数大（小）的元素，然后交换这两个元素；</li>
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<li>循环执行步骤 <code>2.</code> ，直到 <code>i</code> 和 <code>j</code> 相遇时停止，最后将基准数交换至两个子数组的分界线；</li>
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<li>选取数组最左端元素作为基准数，初始化两个指针 <code>i</code> 和 <code>j</code> 分别指向数组的两端。</li>
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<li>设置一个循环，在每轮中使用 <code>i</code>（<code>j</code>）分别寻找第一个比基准数大（小）的元素，然后交换这两个元素。</li>
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<li>循环执行步骤 <code>2.</code> ，直到 <code>i</code> 和 <code>j</code> 相遇时停止，最后将基准数交换至两个子数组的分界线。</li>
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</ol>
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<p>哨兵划分完成后，原数组被划分成三部分：左子数组、基准数、右子数组，且满足“左子数组任意元素 <span class="arithmatex">\(\leq\)</span> 基准数 <span class="arithmatex">\(\leq\)</span> 右子数组任意元素”。因此，我们接下来只需对这两个子数组进行排序。</p>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:9"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1"><1></label><label for="__tabbed_1_2"><2></label><label for="__tabbed_1_3"><3></label><label for="__tabbed_1_4"><4></label><label for="__tabbed_1_5"><5></label><label for="__tabbed_1_6"><6></label><label for="__tabbed_1_7"><7></label><label for="__tabbed_1_8"><8></label><label for="__tabbed_1_9"><9></label></div>
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@@ -3735,9 +3735,9 @@
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</div>
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<h2 id="1151">11.5.1. 算法流程<a class="headerlink" href="#1151" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<ol>
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<li>首先，对原数组执行一次「哨兵划分」，得到未排序的左子数组和右子数组；</li>
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<li>然后，对左子数组和右子数组分别递归执行「哨兵划分」；</li>
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<li>持续递归，直至子数组长度为 1 时终止，从而完成整个数组的排序；</li>
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<li>首先，对原数组执行一次「哨兵划分」，得到未排序的左子数组和右子数组。</li>
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<li>然后，对左子数组和右子数组分别递归执行「哨兵划分」。</li>
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<li>持续递归，直至子数组长度为 1 时终止，从而完成整个数组的排序。</li>
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</ol>
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<p><img alt="快速排序流程" src="../quick_sort.assets/quick_sort_overview.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 快速排序流程 </p>
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@@ -3379,9 +3379,9 @@
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<h2 id="11101">11.10.1. 算法流程<a class="headerlink" href="#11101" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>以学号数据为例，假设数字的最低位是第 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 位，最高位是第 <span class="arithmatex">\(8\)</span> 位，基数排序的步骤如下：</p>
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<li>初始化位数 <span class="arithmatex">\(k = 1\)</span> ；</li>
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<li>对学号的第 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 位执行「计数排序」。完成后，数据会根据第 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 位从小到大排序；</li>
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<li>将 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 增加 <span class="arithmatex">\(1\)</span> ，然后返回步骤 <code>2.</code> 继续迭代，直到所有位都排序完成后结束；</li>
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<li>初始化位数 <span class="arithmatex">\(k = 1\)</span> 。</li>
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<li>对学号的第 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 位执行「计数排序」。完成后，数据会根据第 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 位从小到大排序。</li>
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<li>将 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 增加 <span class="arithmatex">\(1\)</span> ，然后返回步骤 <code>2.</code> 继续迭代，直到所有位都排序完成后结束。</li>
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</ol>
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<p><img alt="基数排序算法流程" src="../radix_sort.assets/radix_sort_overview.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 基数排序算法流程 </p>
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