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krahets
@@ -3480,8 +3480,8 @@
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<p>如下代码给出了数组表示下的二叉树的简单实现，包括以下操作：</p>
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<ul>
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<li>给定某节点，获取它的值、左（右）子节点、父节点；</li>
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<li>获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历序列；</li>
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<li>给定某节点，获取它的值、左（右）子节点、父节点。</li>
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<li>获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历序列。</li>
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</ul>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:11"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label><label for="__tabbed_2_11">Dart</label></div>
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<div class="tabbed-content">
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@@ -3957,15 +3957,15 @@
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<h2 id="733">7.3.3. 优势与局限性<a class="headerlink" href="#733" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>二叉树的数组表示的优点包括：</p>
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<ul>
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<li>数组存储在连续的内存空间中，对缓存友好，访问与遍历速度较快；</li>
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<li>不需要存储指针，比较节省空间；</li>
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<li>允许随机访问节点；</li>
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<li>数组存储在连续的内存空间中，对缓存友好，访问与遍历速度较快。</li>
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<li>不需要存储指针，比较节省空间。</li>
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<li>允许随机访问节点。</li>
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</ul>
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<p>然而，数组表示也具有一些局限性：</p>
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<ul>
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<li>数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树；</li>
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<li>增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低；</li>
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<li>当二叉树中存在大量 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低；</li>
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<li>数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。</li>
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<li>增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低。</li>
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<li>当二叉树中存在大量 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。</li>
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</ul>
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@@ -5615,8 +5615,8 @@
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<p>AVL 树的节点查找操作与二叉搜索树一致，在此不再赘述。</p>
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<h2 id="754-avl">7.5.4. AVL 树典型应用<a class="headerlink" href="#754-avl" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<ul>
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<li>组织和存储大型数据，适用于高频查找、低频增删的场景；</li>
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<li>用于构建数据库中的索引系统；</li>
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<li>组织和存储大型数据，适用于高频查找、低频增删的场景。</li>
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<li>用于构建数据库中的索引系统。</li>
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</ul>
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<div class="admonition question">
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<p class="admonition-title">为什么红黑树比 AVL 树更受欢迎？</p>
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@@ -3458,8 +3458,8 @@
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<h1 id="74">7.4. 二叉搜索树<a class="headerlink" href="#74" title="Permanent link">¶</a></h1>
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<p>「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：</p>
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<ol>
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<li>对于根节点，左子树中所有节点的值 <span class="arithmatex">\(<\)</span> 根节点的值 <span class="arithmatex">\(<\)</span> 右子树中所有节点的值；</li>
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<li>任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 <code>1.</code> ；</li>
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<li>对于根节点，左子树中所有节点的值 <span class="arithmatex">\(<\)</span> 根节点的值 <span class="arithmatex">\(<\)</span> 右子树中所有节点的值。</li>
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<li>任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 <code>1.</code> 。</li>
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</ol>
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<p><img alt="二叉搜索树" src="../binary_search_tree.assets/binary_search_tree.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 二叉搜索树 </p>
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@@ -3468,9 +3468,9 @@
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<h3 id="_1">查找节点<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>给定目标节点值 <code>num</code> ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个节点 <code>cur</code> ，从二叉树的根节点 <code>root</code> 出发，循环比较节点值 <code>cur.val</code> 和 <code>num</code> 之间的大小关系</p>
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<ul>
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<li>若 <code>cur.val < num</code> ，说明目标节点在 <code>cur</code> 的右子树中，因此执行 <code>cur = cur.right</code> ；</li>
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<li>若 <code>cur.val > num</code> ，说明目标节点在 <code>cur</code> 的左子树中，因此执行 <code>cur = cur.left</code> ；</li>
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<li>若 <code>cur.val = num</code> ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点；</li>
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<li>若 <code>cur.val < num</code> ，说明目标节点在 <code>cur</code> 的右子树中，因此执行 <code>cur = cur.right</code> 。</li>
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<li>若 <code>cur.val > num</code> ，说明目标节点在 <code>cur</code> 的左子树中，因此执行 <code>cur = cur.left</code> 。</li>
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<li>若 <code>cur.val = num</code> ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。</li>
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</ul>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:4"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1"><1></label><label for="__tabbed_1_2"><2></label><label for="__tabbed_1_3"><3></label><label for="__tabbed_1_4"><4></label></div>
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<div class="tabbed-content">
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@@ -3708,8 +3708,8 @@
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<h3 id="_2">插入节点<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>给定一个待插入元素 <code>num</code> ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作分为两步：</p>
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<ol>
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<li><strong>查找插入位置</strong>：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 <code>num</code> 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> ）时跳出循环；</li>
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<li><strong>在该位置插入节点</strong>：初始化节点 <code>num</code> ，将该节点置于 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 的位置；</li>
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<li><strong>查找插入位置</strong>：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 <code>num</code> 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> ）时跳出循环。</li>
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<li><strong>在该位置插入节点</strong>：初始化节点 <code>num</code> ，将该节点置于 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 的位置。</li>
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</ol>
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<p>二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。</p>
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<p><img alt="在二叉搜索树中插入节点" src="../binary_search_tree.assets/bst_insert.png" /></p>
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@@ -4041,8 +4041,8 @@
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<p>当待删除节点的度为 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左 <span class="arithmatex">\(<\)</span> 根 <span class="arithmatex">\(<\)</span> 右”的性质，因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点。假设我们选择右子树的最小节点（或者称为中序遍历的下个节点），则删除操作为：</p>
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<ol>
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<li>找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 <code>tmp</code> ；</li>
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<li>将 <code>tmp</code> 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 <code>tmp</code> ；</li>
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<li>找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 <code>tmp</code> 。</li>
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<li>将 <code>tmp</code> 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 <code>tmp</code> 。</li>
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</ol>
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<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="4:4"><input checked="checked" id="__tabbed_4_1" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_2" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_3" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_4" name="__tabbed_4" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_4_1"><1></label><label for="__tabbed_4_2"><2></label><label for="__tabbed_4_3"><3></label><label for="__tabbed_4_4"><4></label></div>
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<div class="tabbed-content">
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@@ -3614,14 +3614,14 @@
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<h2 id="711">7.1.1. 二叉树常见术语<a class="headerlink" href="#711" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>二叉树涉及的术语较多，建议尽量理解并记住。</p>
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<ul>
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<li>「根节点 Root Node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点；</li>
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<li>「叶节点 Leaf Node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> ；</li>
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<li>节点的「层 Level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 ；</li>
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<li>节点的「度 Degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 ；</li>
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<li>「边 Edge」：连接两个节点的线段，即节点指针；</li>
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<li>二叉树的「高度」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量；</li>
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<li>节点的「深度 Depth」 ：从根节点到该节点所经过的边的数量；</li>
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<li>节点的「高度 Height」：从最远叶节点到该节点所经过的边的数量；</li>
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<li>「根节点 Root Node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。</li>
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<li>「叶节点 Leaf Node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向 <span class="arithmatex">\(\text{None}\)</span> 。</li>
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<li>节点的「层 Level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。</li>
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<li>节点的「度 Degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 。</li>
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<li>「边 Edge」：连接两个节点的线段，即节点指针。</li>
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<li>二叉树的「高度」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。</li>
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<li>节点的「深度 Depth」 ：从根节点到该节点所经过的边的数量。</li>
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<li>节点的「高度 Height」：从最远叶节点到该节点所经过的边的数量。</li>
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</ul>
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<p><img alt="二叉树的常用术语" src="../binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 二叉树的常用术语 </p>
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@@ -3930,8 +3930,8 @@
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<h2 id="714">7.1.4. 二叉树的退化<a class="headerlink" href="#714" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>当二叉树的每层节点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为「链表」。</p>
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<ul>
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<li>完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势；</li>
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<li>链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ；</li>
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<li>完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势。</li>
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<li>链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。</li>
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</ul>
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<p><img alt="二叉树的最佳与最差结构" src="../binary_tree.assets/binary_tree_best_worst_cases.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 二叉树的最佳与最差结构 </p>
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