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2023-08-17 05:12:05 +08:00
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![汉诺塔问题示例](hanota_problem.assets/hanota_example.png)
<p align="center"> Fig. 汉诺塔问题示例 </p>
<p align="center"> 图:汉诺塔问题示例 </p>
**我们将规模为 $i$ 的汉诺塔问题记做 $f(i)$** 。例如 $f(3)$ 代表将 $3$ 个圆盘从 `A` 移动至 `C` 的汉诺塔问题。
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=== "<2>"
![hanota_f1_step2](hanota_problem.assets/hanota_f1_step2.png)
<p align="center"> 图:规模为 1 问题的解 </p>
对于问题 $f(2)$ ,即当有两个圆盘时,**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上,因此需要借助 `B` 来完成移动**,包括三步:
1. 先将上面的小圆盘从 `A` 移至 `B`
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=== "<4>"
![hanota_f2_step4](hanota_problem.assets/hanota_f2_step4.png)
<p align="center"> 图:规模为 2 问题的解 </p>
### 子问题分解
对于问题 $f(3)$ ,即当有三个圆盘时,情况变得稍微复杂了一些。由于已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解,因此可从分治角度思考,**将 `A` 顶部的两个圆盘看做一个整体**,执行以下步骤:
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=== "<4>"
![hanota_f3_step4](hanota_problem.assets/hanota_f3_step4.png)
<p align="center"> 图:规模为 3 问题的解 </p>
本质上看,**我们将问题 $f(3)$ 划分为两个子问题 $f(2)$ 和子问题 $f(1)$** 。按顺序解决这三个子问题之后,原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的,而且解是可以合并的。
至此,我们可总结出汉诺塔问题的分治策略:将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ 。子问题的解决顺序为:
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![汉诺塔问题的分治策略](hanota_problem.assets/hanota_divide_and_conquer.png)
<p align="center"> Fig. 汉诺塔问题的分治策略 </p>
<p align="center"> 图:汉诺塔问题的分治策略 </p>
### 代码实现
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![汉诺塔问题的递归树](hanota_problem.assets/hanota_recursive_tree.png)
<p align="center"> Fig. 汉诺塔问题的递归树 </p>
<p align="center"> 图:汉诺塔问题的递归树 </p>
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