xinyin025/hello-algo
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2023-08-17 05:12:05 +08:00
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commit 97c532b228
67 changed files with 1481 additions and 1066 deletions
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chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md
+4 -4
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@@ -13,7 +13,7 @@ status: new
![分数背包问题的示例数据](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_example.png)
<p align="center"> Fig. 分数背包问题的示例数据 </p>
<p align="center"> 图：分数背包问题的示例数据 </p>
本题和 0-1 背包整体上非常相似，状态包含当前物品 $i$ 和容量 $c$ ，目标是求不超过背包容量下的最大价值。
@@ -24,7 +24,7 @@ status: new
![物品在单位重量下的价值](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_unit_value.png)
<p align="center"> Fig. 物品在单位重量下的价值 </p>
<p align="center"> 图：物品在单位重量下的价值 </p>
### 贪心策略确定
@@ -36,7 +36,7 @@ status: new
![分数背包的贪心策略](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_greedy_strategy.png)
<p align="center"> Fig. 分数背包的贪心策略 </p>
<p align="center"> 图：分数背包的贪心策略 </p>
### 代码实现
@@ -373,4 +373,4 @@ status: new
![分数背包问题的几何表示](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_area_chart.png)
<p align="center"> Fig. 分数背包问题的几何表示 </p>
<p align="center"> 图：分数背包问题的几何表示 </p>
chapter_greedy/greedy_algorithm.md
+2 -2
View File
@@ -22,7 +22,7 @@ status: new
![零钱兑换的贪心策略](greedy_algorithm.assets/coin_change_greedy_strategy.png)
<p align="center"> Fig. 零钱兑换的贪心策略 </p>
<p align="center"> 图：零钱兑换的贪心策略 </p>
实现代码如下所示。你可能会不由地发出感叹：So Clean ！贪心算法仅用十行代码就解决了零钱兑换问题。
@@ -233,7 +233,7 @@ status: new
![贪心无法找出最优解的示例](greedy_algorithm.assets/coin_change_greedy_vs_dp.png)
<p align="center"> Fig. 贪心无法找出最优解的示例 </p>
<p align="center"> 图：贪心无法找出最优解的示例 </p>
也就是说，对于零钱兑换问题，贪心算法无法保证找到全局最优解，并且有可能找到非常差的解。它更适合用动态规划解决。
chapter_greedy/max_capacity_problem.md
+7 -5
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@@ -15,7 +15,7 @@ status: new
![最大容量问题的示例数据](max_capacity_problem.assets/max_capacity_example.png)
<p align="center"> Fig. 最大容量问题的示例数据 </p>
<p align="center"> 图：最大容量问题的示例数据 </p>
容器由任意两个隔板围成，**因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 $[i, j]$** 。
@@ -33,7 +33,7 @@ $$
![初始状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_initial_state.png)
<p align="center"> Fig. 初始状态 </p>
<p align="center"> 图：初始状态 </p>
我们发现，**如果此时将长板 $j$ 向短板 $i$ 靠近，则容量一定变小**。这是因为在移动长板 $j$ 后：
@@ -42,13 +42,13 @@ $$
![向内移动长板后的状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_moving_long_board.png)
<p align="center"> Fig. 向内移动长板后的状态 </p>
<p align="center"> 图：向内移动长板后的状态 </p>
反向思考，**我们只有向内收缩短板 $i$ ，才有可能使容量变大**。因为虽然宽度一定变小，**但高度可能会变大**（移动后的短板 $i$ 可能会变长）。
![向内移动长板后的状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_moving_short_board.png)
<p align="center"> Fig. 向内移动长板后的状态 </p>
<p align="center"> 图：向内移动长板后的状态 </p>
由此便可推出本题的贪心策略：
@@ -84,6 +84,8 @@ $$
=== "<9>"
![max_capacity_greedy_step9](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step9.png)
<p align="center"> 图：最大容量问题的贪心过程 </p>
### 代码实现
代码循环最多 $n$ 轮，**因此时间复杂度为 $O(n)$** 。
@@ -305,7 +307,7 @@ $$
![移动短板导致被跳过的状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_skipped_states.png)
<p align="center"> Fig. 移动短板导致被跳过的状态 </p>
<p align="center"> 图：移动短板导致被跳过的状态 </p>
观察发现，**这些被跳过的状态实际上就是将长板 $j$ 向内移动的所有状态**。而在第二步中，我们已经证明内移长板一定会导致容量变小。也就是说，被跳过的状态都不可能是最优解，**跳过它们不会导致错过最优解**。
chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md
+4 -4
View File
@@ -11,7 +11,7 @@ status: new
![最大切分乘积的问题定义](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_definition.png)
<p align="center"> Fig. 最大切分乘积的问题定义 </p>
<p align="center"> 图：最大切分乘积的问题定义 </p>
假设我们将 $n$ 切分为 $m$ 个整数因子，其中第 $i$ 个因子记为 $n_i$ ，即
@@ -45,7 +45,7 @@ $$
![切分导致乘积变大](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_greedy_infer1.png)
<p align="center"> Fig. 切分导致乘积变大 </p>
<p align="center"> 图：切分导致乘积变大 </p>
接下来思考哪个因子是最优的。在 $1$ , $2$ , $3$ 这三个因子中，显然 $1$ 是最差的，因为 $1 \times (n-1) < n$ 恒成立，即切分出 $1$ 反而会导致乘积减小。
@@ -55,7 +55,7 @@ $$
![最优切分因子](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_greedy_infer3.png)
<p align="center"> Fig. 最优切分因子 </p>
<p align="center"> 图：最优切分因子 </p>
总结以上，可推出贪心策略：
@@ -276,7 +276,7 @@ $$
![最大切分乘积的计算方法](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_greedy_calculation.png)
<p align="center"> Fig. 最大切分乘积的计算方法 </p>
<p align="center"> 图：最大切分乘积的计算方法 </p>
**时间复杂度取决于编程语言的幂运算的实现方法**。以 Python 为例，常用的幂计算函数有三种：