xinyin025/hello-algo
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ja/docs/chapter_searching/binary_search_edge.md
+298 -69
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@@ -4,47 +4,47 @@ comments: true
# 10.3   二分探索の境界
## 10.3.1   左境界を見つける
## 10.3.1   左端境界を探す
!!! question
重複要素を含む可能性がある長さ$n$のソート済み配列`nums`が与えられ、最も左の要素`target`のインデックスを返してください。要素が配列に存在しない場合は、$-1$を返してください。
長さ $n$ のソート済み配列 `nums` が与えられ、その中には重複要素が含まれる可能性があります。配列内で最も左にある要素 `target` のインデックスを返してください。配列にこの要素が含まれない場合は、$-1$ を返します。
挿入位置の二分探索方法を思い出すと、探索完了後、インデックス$i$は`target`の最も左の出現を指します。したがって、**挿入位置の探索は本質的に最も左の`target`のインデックスを見つけることと同じです**。
二分探索で挿入位置を求める方法を思い出すと、探索完了後に $i$ は最も左にある `target` を指します。**したがって、挿入位置を探すことの本質は、最も左にある `target` のインデックスを探すことです**。
挿入位置を見つける関数を使用して`target`の左境界を見つけることができます。配列に`target`が含まれていない可能性があることに注意してください。これは以下の2つの結果につながる可能性があります：
挿入位置を探す関数を使って左端境界を求めることを考えます。なお、配列に `target` が含まれない場合があり、そのときは次の 2 つの結果が起こりえます。
- 挿入位置のインデックス$i$が範囲外です。
- 要素`nums[i]`が`target`と等しくありません。
- 挿入位置のインデックス $i$ が範囲外になる。
- 要素 `nums[i]` が `target` と等しくない。
これらの場合、単に$-1$を返します。コードは以下の通りです：
上の 2 つの状況に当てはまる場合は、直接 $-1$ を返せば十分です。コードは以下のとおりです：
=== "Python"
```python title="binary_search_edge.py"
def binary_search_left_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
"""最左端のターゲットの二分探索"""
# ターゲットの挿入位置を見つけることと同等
"""最も左の target を二分探索"""
# target の挿入位置を探すのと等価
i = binary_search_insertion(nums, target)
# ターゲットが見つからなかった場合、-1 を返す
# target が見つからなければ、-1 を返す
if i == len(nums) or nums[i] != target:
return -1
# ターゲットが見つかった場合、インデックス i を返す
# target が見つかったら、インデックス i を返す
return i
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_edge.cpp"
/* 最左のターゲットの二分探索 */
/* 最も左の target を二分探索 */
int binarySearchLeftEdge(vector<int> &nums, int target) {
// targetの挿入ポイントを見つけることと等価
// target の挿入位置を探すのと等価
int i = binarySearchInsertion(nums, target);
// targetが見つからなかったため、-1を返す
// target が見つからなければ、-1 を返す
if (i == nums.size() || nums[i] != target) {
return -1;
}
// targetが見つかったため、インデックスiを返す
// target が見つかったら、インデックス i を返す
return i;
}
```
@@ -54,13 +54,13 @@ comments: true
```java title="binary_search_edge.java"
/* 最も左の target を二分探索 */
int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
// target の挿入点を見つけることと等価
// target の挿入位置を探すのと等価
int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target);
// target を見つけられなかったので、-1 を返す
// target が見つからなければ、-1 を返す
if (i == nums.length || nums[i] != target) {
return -1;
}
// target を見つけたので、インデックス i を返す
// target が見つかったら、インデックス i を返す
return i;
}
```
@@ -68,111 +68,215 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title="binary_search_edge.cs"
[class]{binary_search_edge}-[func]{BinarySearchLeftEdge}
/* 最も左の target を二分探索 */
int BinarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
// target の挿入位置を探すのと等価
int i = binary_search_insertion.BinarySearchInsertion(nums, target);
// target が見つからなければ、-1 を返す
if (i == nums.Length || nums[i] != target) {
return -1;
}
// target が見つかったら、インデックス i を返す
return i;
}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_edge.go"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
/* 最も左の target を二分探索 */
func binarySearchLeftEdge(nums []int, target int) int {
// target の挿入位置を探すのと等価
i := binarySearchInsertion(nums, target)
// target が見つからなければ、-1 を返す
if i == len(nums) || nums[i] != target {
return -1
}
// target が見つかったら、インデックス i を返す
return i
}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_edge.swift"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
/* 最も左の target を二分探索 */
func binarySearchLeftEdge(nums: [Int], target: Int) -> Int {
// target の挿入位置を探すのと等価
let i = binarySearchInsertion(nums: nums, target: target)
// target が見つからなければ、-1 を返す
if i == nums.endIndex || nums[i] != target {
return -1
}
// target が見つかったら、インデックス i を返す
return i
}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search_edge.js"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
/* 最も左の target を二分探索 */
function binarySearchLeftEdge(nums, target) {
// target の挿入位置を探すのと等価
const i = binarySearchInsertion(nums, target);
// target が見つからなければ、-1 を返す
if (i === nums.length || nums[i] !== target) {
return -1;
}
// target が見つかったら、インデックス i を返す
return i;
}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search_edge.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
/* 最も左の target を二分探索 */
function binarySearchLeftEdge(nums: Array<number>, target: number): number {
// target の挿入位置を探すのと等価
const i = binarySearchInsertion(nums, target);
// target が見つからなければ、-1 を返す
if (i === nums.length || nums[i] !== target) {
return -1;
}
// target が見つかったら、インデックス i を返す
return i;
}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_edge.dart"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
/* 最も左の target を二分探索 */
int binarySearchLeftEdge(List<int> nums, int target) {
// target の挿入位置を探すのと等価
int i = binarySearchInsertion(nums, target);
// target が見つからなければ、-1 を返す
if (i == nums.length || nums[i] != target) {
return -1;
}
// target が見つかったら、インデックス i を返す
return i;
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_edge.rs"
[class]{}-[func]{binary_search_left_edge}
/* 最も左の target を二分探索 */
fn binary_search_left_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
// target の挿入位置を探すのと等価
let i = binary_search_insertion(nums, target);
// target が見つからなければ、-1 を返す
if i == nums.len() as i32 || nums[i as usize] != target {
return -1;
}
// target が見つかったら、インデックス i を返す
i
}
```
=== "C"
```c title="binary_search_edge.c"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
/* 最も左の target を二分探索 */
int binarySearchLeftEdge(int *nums, int numSize, int target) {
// target の挿入位置を探すのと等価
int i = binarySearchInsertion(nums, numSize, target);
// target が見つからなければ、-1 を返す
if (i == numSize || nums[i] != target) {
return -1;
}
// target が見つかったら、インデックス i を返す
return i;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_search_edge.kt"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
/* 最も左の target を二分探索 */
fun binarySearchLeftEdge(nums: IntArray, target: Int): Int {
// target の挿入位置を探すのと等価
val i = binarySearchInsertion(nums, target)
// target が見つからなければ、-1 を返す
if (i == nums.size || nums[i] != target) {
return -1
}
// target が見つかったら、インデックス i を返す
return i
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_search_edge.rb"
[class]{}-[func]{binary_search_left_edge}
### target の最左位置を二分探索 ###
def binary_search_left_edge(nums, target)
# target の挿入位置を探すのと等価
i = binary_search_insertion(nums, target)
# target が見つからなければ、-1 を返す
return -1 if i == nums.length || nums[i] != target
i # target が見つかったら、インデックス i を返す
end
```
## 10.3.2 &nbsp; 右境界を見つける
??? pythontutor "コードの可視化"
`target`の最も右の出現をどのように見つけるでしょうか？最も直接的な方法は、`nums[m] == target`の場合に探索境界を調整する方法を変更して、従来の二分探索ロジックを修正することです。コードはここでは省略されています。興味がある場合は、自分でコードを実装してみてください。
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20binary_search_insertion%28nums%3A%20list%5Bint%5D%2C%20target%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%8E%A2%E7%B4%A2%E3%81%A7%E6%8C%BF%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E3%82%92%E6%8E%A2%E3%81%99%EF%BC%88%E9%87%8D%E8%A4%87%E8%A6%81%E7%B4%A0%E3%81%82%E3%82%8A%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20i%2C%20j%20%3D%200%2C%20len%28nums%29%20-%201%20%20%23%20%E4%B8%A1%E9%96%89%E5%8C%BA%E9%96%93%20%5B0%2C%20n-1%5D%20%E3%82%92%E5%88%9D%E6%9C%9F%E5%8C%96%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%3D%20j%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m%20%3D%20%28i%20%2B%20j%29%20%2F%2F%202%20%20%23%20%E4%B8%AD%E7%82%B9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%20m%20%E3%82%92%E8%A8%88%E7%AE%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bm%5D%20%3C%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20m%20%2B%201%20%20%23%20target%20%E3%81%AF%E5%8C%BA%E9%96%93%20%5Bm%2B1%2C%20j%5D%20%E3%81%AB%E3%81%82%E3%82%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20nums%5Bm%5D%20%3E%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20%3D%20m%20-%201%20%20%23%20target%20%E3%81%AF%E5%8C%BA%E9%96%93%20%5Bi%2C%20m-1%5D%20%E3%81%AB%E3%81%82%E3%82%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20%3D%20m%20-%201%20%20%23%20target%20%E3%82%88%E3%82%8A%E5%B0%8F%E3%81%95%E3%81%84%E6%9C%80%E5%88%9D%E3%81%AE%E8%A6%81%E7%B4%A0%E3%81%AF%E5%8C%BA%E9%96%93%20%5Bi%2C%20m-1%5D%20%E3%81%AB%E3%81%82%E3%82%8B%0A%20%20%20%20%23%20%E6%8C%BF%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%20i%20%E3%82%92%E8%BF%94%E3%81%99%0A%20%20%20%20return%20i%0A%0Adef%20binary_search_left_edge%28nums%3A%20list%5Bint%5D%2C%20target%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E3%82%82%E5%B7%A6%E3%81%AE%20target%20%E3%82%92%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%8E%A2%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20target%20%E3%81%AE%E6%8C%BF%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E3%82%92%E6%8E%A2%E3%81%99%E3%81%AE%E3%81%A8%E7%AD%89%E4%BE%A1%0A%20%20%20%20i%20%3D%20binary_search_insertion%28nums%2C%20target%29%0A%20%20%20%20%23%20target%20%E3%81%8C%E8%A6%8B%E3%81%A4%E3%81%8B%E3%82%89%E3%81%AA%E3%81%91%E3%82%8C%E3%81%B0%E3%80%81-1%20%E3%82%92%E8%BF%94%E3%81%99%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%20len%28nums%29%20or%20nums%5Bi%5D%20%21%3D%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-1%0A%20%20%20%20%23%20target%20%E3%81%8C%E8%A6%8B%E3%81%A4%E3%81%8B%E3%81%A3%E3%81%9F%E3%82%89%E3%80%81%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%20i%20%E3%82%92%E8%BF%94%E3%81%99%0A%20%20%20%20return%20i%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E9%87%8D%E8%A4%87%E8%A6%81%E7%B4%A0%E3%82%92%E5%90%AB%E3%82%80%E9%85%8D%E5%88%97%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1%2C%203%2C%206%2C%206%2C%206%2C%206%2C%206%2C%2010%2C%2012%2C%2015%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%8E%A2%E7%B4%A2%E3%81%A7%E5%B7%A6%E7%AB%AF%E3%81%A8%E5%8F%B3%E7%AB%AF%E3%82%92%E6%8E%A2%E3%81%99%0A%20%20%20%20target%20%3D%206%0A%20%20%20%20index%20%3D%20binary_search_left_edge%28nums%2C%20target%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%B7%A6%E7%AB%AF%E3%81%AE%E8%A6%81%E7%B4%A0%20%7Btarget%7D%20%E3%81%AE%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%81%AF%20%7Bindex%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
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以下では、さらに2つの巧妙な方法を紹介します。
## 10.3.2 &nbsp; 右端境界を探す
### 1. &nbsp; 左境界探索を再利用する
では、最も右にある `target` はどのように探せるでしょうか。最も直接的な方法はコードを修正し、`nums[m] == target` の場合のポインタの縮小操作を置き換えることです。ここではコードを省略するので、興味があれば自分で実装してみてください。
`target`の最も右の出現を見つけるには、最も左の`target`を見つけるために使用された関数を再利用できます。具体的には、最も右のターゲットの探索を最も左のターゲット + 1の探索に変換します。
ここでは、より巧妙な 2 つの方法を紹介します。
下図に示すように、探索完了後、ポインタ$i$は最も左の`target + 1`（存在する場合）を指し、ポインタ$j$は`target`の最も右の出現を指します。したがって、$j$を返すことで右境界が得られます。
### 1. &nbsp; 左端境界探索を再利用する
![Transforming the search for the right boundary into the search for the left boundary](binary_search_edge.assets/binary_search_right_edge_by_left_edge.png){ class="animation-figure" }
実際には、最も左の要素を探す関数を利用して最も右の要素を探せます。具体的には、**最も右にある `target` を探すことを、最も左にある `target + 1` を探すことに変換します**。
<p align="center"> 図 10-7 &nbsp; Transforming the search for the right boundary into the search for the left boundary </p>
下図のように、探索完了後、ポインタ $i$ は最も左にある `target + 1`（存在する場合）を指し、$j$ は最も右にある `target` を指します。**したがって $j$ を返せばよいです**。
返される挿入位置は$i$であることに注意してください。したがって、$j$を得るためには1を引く必要があります：
![右端境界の探索を左端境界の探索に変換する](binary_search_edge.assets/binary_search_right_edge_by_left_edge.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 図 10-7 &nbsp; 右端境界の探索を左端境界の探索に変換する </p>
返される挿入位置は $i$ なので、そこから $1$ を引いて $j$ を得る必要があることに注意してください：
=== "Python"
```python title="binary_search_edge.py"
def binary_search_right_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
"""最右端のターゲットの二分探索"""
# 最左端のターゲット + 1 を見つけることに変換
"""最も右の target を二分探索"""
# 最左の target + 1 を探す問題に変換する
i = binary_search_insertion(nums, target + 1)
# j は最右端のターゲットを指し、i はターゲットより大きい最初の要素を指す
# j は最も右の target を指し、i は target より大きい最初の要素を指す
j = i - 1
# ターゲットが見つからなかった場合、-1 を返す
# target が見つからなければ、-1 を返す
if j == -1 or nums[j] != target:
return -1
# ターゲットが見つかった場合、インデックス j を返す
# target が見つかったら、インデックス j を返す
return j
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_edge.cpp"
/* 最右のターゲットの二分探索 */
/* 最も右の target を二分探索 */
int binarySearchRightEdge(vector<int> &nums, int target) {
// 最左のtarget + 1を見つけることに変換
// 最左の target + 1 を探す問題に変換する
int i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
// jは最右のターゲットを指し、iはtargetより大きい最初の要素を指す
// j は最も右の target を指し、i は target より大きい最初の要素を指す
int j = i - 1;
// targetが見つからなかったため、-1を返す
// target が見つからなければ、-1 を返す
if (j == -1 || nums[j] != target) {
return -1;
}
// targetが見つかったため、インデックスjを返す
// target が見つかったら、インデックス j を返す
return j;
}
```
@@ -182,15 +286,15 @@ comments: true
```java title="binary_search_edge.java"
/* 最も右の target を二分探索 */
int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
// 最も左の target + 1 を見つけることに変換
// 最左の target + 1 を探す問題に変換する
int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target + 1);
// j は最も右の target を指し、i は target より大きい最初の要素を指す
int j = i - 1;
// target を見つけられなかったので、-1 を返す
// target が見つからなければ、-1 を返す
if (j == -1 || nums[j] != target) {
return -1;
}
// target を見つけたので、インデックス j を返す
// target が見つかったら、インデックス j を返す
return j;
}
```
@@ -198,77 +302,202 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title="binary_search_edge.cs"
[class]{binary_search_edge}-[func]{BinarySearchRightEdge}
/* 最も右の target を二分探索 */
int BinarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
// 最左の target + 1 を探す問題に変換する
int i = binary_search_insertion.BinarySearchInsertion(nums, target + 1);
// j は最も右の target を指し、i は target より大きい最初の要素を指す
int j = i - 1;
// target が見つからなければ、-1 を返す
if (j == -1 || nums[j] != target) {
return -1;
}
// target が見つかったら、インデックス j を返す
return j;
}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_edge.go"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
/* 最も右の target を二分探索 */
func binarySearchRightEdge(nums []int, target int) int {
// 最左の target + 1 を探す問題に変換する
i := binarySearchInsertion(nums, target+1)
// j は最も右の target を指し、i は target より大きい最初の要素を指す
j := i - 1
// target が見つからなければ、-1 を返す
if j == -1 || nums[j] != target {
return -1
}
// target が見つかったら、インデックス j を返す
return j
}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_edge.swift"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
/* 最も右の target を二分探索 */
func binarySearchRightEdge(nums: [Int], target: Int) -> Int {
// 最左の target + 1 を探す問題に変換する
let i = binarySearchInsertion(nums: nums, target: target + 1)
// j は最も右の target を指し、i は target より大きい最初の要素を指す
let j = i - 1
// target が見つからなければ、-1 を返す
if j == -1 || nums[j] != target {
return -1
}
// target が見つかったら、インデックス j を返す
return j
}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search_edge.js"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
/* 最も右の target を二分探索 */
function binarySearchRightEdge(nums, target) {
// 最左の target + 1 を探す問題に変換する
const i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
// j は最も右の target を指し、i は target より大きい最初の要素を指す
const j = i - 1;
// target が見つからなければ、-1 を返す
if (j === -1 || nums[j] !== target) {
return -1;
}
// target が見つかったら、インデックス j を返す
return j;
}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search_edge.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
/* 最も右の target を二分探索 */
function binarySearchRightEdge(nums: Array<number>, target: number): number {
// 最左の target + 1 を探す問題に変換する
const i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
// j は最も右の target を指し、i は target より大きい最初の要素を指す
const j = i - 1;
// target が見つからなければ、-1 を返す
if (j === -1 || nums[j] !== target) {
return -1;
}
// target が見つかったら、インデックス j を返す
return j;
}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_edge.dart"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
/* 最も右の target を二分探索 */
int binarySearchRightEdge(List<int> nums, int target) {
// 最左の target + 1 を探す問題に変換する
int i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
// j は最も右の target を指し、i は target より大きい最初の要素を指す
int j = i - 1;
// target が見つからなければ、-1 を返す
if (j == -1 || nums[j] != target) {
return -1;
}
// target が見つかったら、インデックス j を返す
return j;
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_edge.rs"
[class]{}-[func]{binary_search_right_edge}
/* 最も右の target を二分探索 */
fn binary_search_right_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
// 最左の target + 1 を探す問題に変換する
let i = binary_search_insertion(nums, target + 1);
// j は最も右の target を指し、i は target より大きい最初の要素を指す
let j = i - 1;
// target が見つからなければ、-1 を返す
if j == -1 || nums[j as usize] != target {
return -1;
}
// target が見つかったら、インデックス j を返す
j
}
```
=== "C"
```c title="binary_search_edge.c"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
/* 最も右の target を二分探索 */
int binarySearchRightEdge(int *nums, int numSize, int target) {
// 最左の target + 1 を探す問題に変換する
int i = binarySearchInsertion(nums, numSize, target + 1);
// j は最も右の target を指し、i は target より大きい最初の要素を指す
int j = i - 1;
// target が見つからなければ、-1 を返す
if (j == -1 || nums[j] != target) {
return -1;
}
// target が見つかったら、インデックス j を返す
return j;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_search_edge.kt"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
/* 最も右の target を二分探索 */
fun binarySearchRightEdge(nums: IntArray, target: Int): Int {
// 最左の target + 1 を探す問題に変換する
val i = binarySearchInsertion(nums, target + 1)
// j は最も右の target を指し、i は target より大きい最初の要素を指す
val j = i - 1
// target が見つからなければ、-1 を返す
if (j == -1 || nums[j] != target) {
return -1
}
// target が見つかったら、インデックス j を返す
return j
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_search_edge.rb"
[class]{}-[func]{binary_search_right_edge}
### target の最右位置を二分探索 ###
def binary_search_right_edge(nums, target)
# 最左の target + 1 を探す問題に変換する
i = binary_search_insertion(nums, target + 1)
# j は最も右の target を指し、i は target より大きい最初の要素を指す
j = i - 1
# target が見つからなければ、-1 を返す
return -1 if j == -1 || nums[j] != target
j # target が見つかったら、インデックス j を返す
end
```
??? pythontutor "コードの可視化"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20binary_search_insertion%28nums%3A%20list%5Bint%5D%2C%20target%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%8E%A2%E7%B4%A2%E3%81%A7%E6%8C%BF%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E3%82%92%E6%8E%A2%E3%81%99%EF%BC%88%E9%87%8D%E8%A4%87%E8%A6%81%E7%B4%A0%E3%81%82%E3%82%8A%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20i%2C%20j%20%3D%200%2C%20len%28nums%29%20-%201%20%20%23%20%E4%B8%A1%E9%96%89%E5%8C%BA%E9%96%93%20%5B0%2C%20n-1%5D%20%E3%82%92%E5%88%9D%E6%9C%9F%E5%8C%96%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%3D%20j%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m%20%3D%20%28i%20%2B%20j%29%20%2F%2F%202%20%20%23%20%E4%B8%AD%E7%82%B9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%20m%20%E3%82%92%E8%A8%88%E7%AE%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bm%5D%20%3C%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20m%20%2B%201%20%20%23%20target%20%E3%81%AF%E5%8C%BA%E9%96%93%20%5Bm%2B1%2C%20j%5D%20%E3%81%AB%E3%81%82%E3%82%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20nums%5Bm%5D%20%3E%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20%3D%20m%20-%201%20%20%23%20target%20%E3%81%AF%E5%8C%BA%E9%96%93%20%5Bi%2C%20m-1%5D%20%E3%81%AB%E3%81%82%E3%82%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20%3D%20m%20-%201%20%20%23%20target%20%E3%82%88%E3%82%8A%E5%B0%8F%E3%81%95%E3%81%84%E6%9C%80%E5%88%9D%E3%81%AE%E8%A6%81%E7%B4%A0%E3%81%AF%E5%8C%BA%E9%96%93%20%5Bi%2C%20m-1%5D%20%E3%81%AB%E3%81%82%E3%82%8B%0A%20%20%20%20%23%20%E6%8C%BF%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%20i%20%E3%82%92%E8%BF%94%E3%81%99%0A%20%20%20%20return%20i%0A%0Adef%20binary_search_right_edge%28nums%3A%20list%5Bint%5D%2C%20target%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E3%82%82%E5%8F%B3%E3%81%AE%20target%20%E3%82%92%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%8E%A2%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9C%80%E5%B7%A6%E3%81%AE%20target%20%2B%201%20%E3%82%92%E6%8E%A2%E3%81%99%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%81%AB%E5%A4%89%E6%8F%9B%E3%81%99%E3%82%8B%0A%20%20%20%20i%20%3D%20binary_search_insertion%28nums%2C%20target%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20j%20%E3%81%AF%E6%9C%80%E3%82%82%E5%8F%B3%E3%81%AE%20target%20%E3%82%92%E6%8C%87%E3%81%97%E3%80%81i%20%E3%81%AF%20target%20%E3%82%88%E3%82%8A%E5%A4%A7%E3%81%8D%E3%81%84%E6%9C%80%E5%88%9D%E3%81%AE%E8%A6%81%E7%B4%A0%E3%82%92%E6%8C%87%E3%81%99%0A%20%20%20%20j%20%3D%20i%20-%201%0A%20%20%20%20%23%20target%20%E3%81%8C%E8%A6%8B%E3%81%A4%E3%81%8B%E3%82%89%E3%81%AA%E3%81%91%E3%82%8C%E3%81%B0%E3%80%81-1%20%E3%82%92%E8%BF%94%E3%81%99%0A%20%20%20%20if%20j%20%3D%3D%20-1%20or%20nums%5Bj%5D%20%21%3D%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-1%0A%20%20%20%20%23%20target%20%E3%81%8C%E8%A6%8B%E3%81%A4%E3%81%8B%E3%81%A3%E3%81%9F%E3%82%89%E3%80%81%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%20j%20%E3%82%92%E8%BF%94%E3%81%99%0A%20%20%20%20return%20j%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E9%87%8D%E8%A4%87%E8%A6%81%E7%B4%A0%E3%82%92%E5%90%AB%E3%82%80%E9%85%8D%E5%88%97%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1%2C%203%2C%206%2C%206%2C%206%2C%206%2C%206%2C%2010%2C%2012%2C%2015%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%8E%A2%E7%B4%A2%E3%81%A7%E5%B7%A6%E7%AB%AF%E3%81%A8%E5%8F%B3%E7%AB%AF%E3%82%92%E6%8E%A2%E3%81%99%0A%20%20%20%20target%20%3D%206%0A%20%20%20%20index%20%3D%20binary_search_right_edge%28nums%2C%20target%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%8F%B3%E7%AB%AF%E3%81%AE%E8%A6%81%E7%B4%A0%20%7Btarget%7D%20%E3%81%AE%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%81%AF%20%7Bindex%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20binary_search_insertion%28nums%3A%20list%5Bint%5D%2C%20target%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%8E%A2%E7%B4%A2%E3%81%A7%E6%8C%BF%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E3%82%92%E6%8E%A2%E3%81%99%EF%BC%88%E9%87%8D%E8%A4%87%E8%A6%81%E7%B4%A0%E3%81%82%E3%82%8A%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20i%2C%20j%20%3D%200%2C%20len%28nums%29%20-%201%20%20%23%20%E4%B8%A1%E9%96%89%E5%8C%BA%E9%96%93%20%5B0%2C%20n-1%5D%20%E3%82%92%E5%88%9D%E6%9C%9F%E5%8C%96%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%3D%20j%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m%20%3D%20%28i%20%2B%20j%29%20%2F%2F%202%20%20%23%20%E4%B8%AD%E7%82%B9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%20m%20%E3%82%92%E8%A8%88%E7%AE%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bm%5D%20%3C%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20m%20%2B%201%20%20%23%20target%20%E3%81%AF%E5%8C%BA%E9%96%93%20%5Bm%2B1%2C%20j%5D%20%E3%81%AB%E3%81%82%E3%82%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20nums%5Bm%5D%20%3E%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20%3D%20m%20-%201%20%20%23%20target%20%E3%81%AF%E5%8C%BA%E9%96%93%20%5Bi%2C%20m-1%5D%20%E3%81%AB%E3%81%82%E3%82%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20%3D%20m%20-%201%20%20%23%20target%20%E3%82%88%E3%82%8A%E5%B0%8F%E3%81%95%E3%81%84%E6%9C%80%E5%88%9D%E3%81%AE%E8%A6%81%E7%B4%A0%E3%81%AF%E5%8C%BA%E9%96%93%20%5Bi%2C%20m-1%5D%20%E3%81%AB%E3%81%82%E3%82%8B%0A%20%20%20%20%23%20%E6%8C%BF%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%20i%20%E3%82%92%E8%BF%94%E3%81%99%0A%20%20%20%20return%20i%0A%0Adef%20binary_search_right_edge%28nums%3A%20list%5Bint%5D%2C%20target%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E3%82%82%E5%8F%B3%E3%81%AE%20target%20%E3%82%92%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%8E%A2%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9C%80%E5%B7%A6%E3%81%AE%20target%20%2B%201%20%E3%82%92%E6%8E%A2%E3%81%99%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%81%AB%E5%A4%89%E6%8F%9B%E3%81%99%E3%82%8B%0A%20%20%20%20i%20%3D%20binary_search_insertion%28nums%2C%20target%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20j%20%E3%81%AF%E6%9C%80%E3%82%82%E5%8F%B3%E3%81%AE%20target%20%E3%82%92%E6%8C%87%E3%81%97%E3%80%81i%20%E3%81%AF%20target%20%E3%82%88%E3%82%8A%E5%A4%A7%E3%81%8D%E3%81%84%E6%9C%80%E5%88%9D%E3%81%AE%E8%A6%81%E7%B4%A0%E3%82%92%E6%8C%87%E3%81%99%0A%20%20%20%20j%20%3D%20i%20-%201%0A%20%20%20%20%23%20target%20%E3%81%8C%E8%A6%8B%E3%81%A4%E3%81%8B%E3%82%89%E3%81%AA%E3%81%91%E3%82%8C%E3%81%B0%E3%80%81-1%20%E3%82%92%E8%BF%94%E3%81%99%0A%20%20%20%20if%20j%20%3D%3D%20-1%20or%20nums%5Bj%5D%20%21%3D%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-1%0A%20%20%20%20%23%20target%20%E3%81%8C%E8%A6%8B%E3%81%A4%E3%81%8B%E3%81%A3%E3%81%9F%E3%82%89%E3%80%81%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%20j%20%E3%82%92%E8%BF%94%E3%81%99%0A%20%20%20%20return%20j%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E9%87%8D%E8%A4%87%E8%A6%81%E7%B4%A0%E3%82%92%E5%90%AB%E3%82%80%E9%85%8D%E5%88%97%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1%2C%203%2C%206%2C%206%2C%206%2C%206%2C%206%2C%2010%2C%2012%2C%2015%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%8E%A2%E7%B4%A2%E3%81%A7%E5%B7%A6%E7%AB%AF%E3%81%A8%E5%8F%B3%E7%AB%AF%E3%82%92%E6%8E%A2%E3%81%99%0A%20%20%20%20target%20%3D%206%0A%20%20%20%20index%20%3D%20binary_search_right_edge%28nums%2C%20target%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%8F%B3%E7%AB%AF%E3%81%AE%E8%A6%81%E7%B4%A0%20%7Btarget%7D%20%E3%81%AE%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%81%AF%20%7Bindex%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全画面で見る ></a></div>
### 2. &nbsp; 要素探索に変換する
配列に`target`が含まれていない場合、$i$と$j$は最終的に`target`より大きい最初の要素と小さい最初の要素をそれぞれ指します。
配列に `target` が含まれない場合、最終的に $i$ と $j$ はそれぞれ `target` より大きい最初の要素と、`target` より小さい最初の要素を指すことになります。
したがって、下図に示すように、配列に存在しない要素を構築して、左と右の境界を探索できます。
したがって、下図のように、配列中に存在しない要素を構成して、それを使って左右の境界を探せます。
- 最も左の`target`を見つけるには：`target - 0.5`を探索することに変換でき、ポインタ$i$を返します。
- 最も右の`target`を見つけるには：`target + 0.5`を探索することに変換でき、ポインタ$j$を返します。
- 最も左にある `target` の探索：`target - 0.5` を探すことに変換でき、ポインタ $i$ を返します。
- 最も右にある `target` の探索：`target + 0.5` を探すことに変換でき、ポインタ $j$ を返します。
![Transforming the search for boundaries into the search for an element](binary_search_edge.assets/binary_search_edge_by_element.png){ class="animation-figure" }
![境界の探索を要素の探索に変換する](binary_search_edge.assets/binary_search_edge_by_element.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 図 10-8 &nbsp; Transforming the search for boundaries into the search for an element </p>
<p align="center"> 図 10-8 &nbsp; 境界の探索を要素の探索に変換する </p>
コードはここでは省略されていますが、このアプローチについて注意すべき2つの重要な点があります。
ここではコードを省略しますが、次の 2 点に注意が必要です。
- 与えられた配列`nums`には小数が含まれていないため、等しい場合の処理は心配ありません。
- ただし、このアプローチで小数を導入するには、`target`変数を浮動小数点型に変更する必要があります（Pythonでは変更は不要です）。
- 与えられた配列には小数が含まれないため、等しい場合をどう処理するかを気にする必要はありません。
- この方法では小数を導入するため、関数内の変数 `target` を浮動小数点数型に変更する必要があります（Python は変更不要です）。