build

ru/docs/chapter_graph/graph.md

@@ -4,7 +4,7 @@ comments: true
 
 # 9.1   Граф
 
-<u>Граф (graph)</u> - это нелинейная структура данных, состоящая из <u>вершин (vertex)</u> и <u>ребер (edge)</u>. Мы можем абстрактно представить граф $G$ как множество вершин $V$ и множество ребер $E$ . В примере ниже показан граф, содержащий 5 вершин и 7 ребер.
+<u>Граф (graph)</u> - это нелинейная структура данных, состоящая из <u>вершин (vertex)</u> и <u>ребер (edge)</u>. Граф $G$ можно абстрактно представить как множество вершин $V$ и множество ребер $E$ . Ниже приведен пример графа, содержащего 5 вершин и 7 ребер.
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -14,7 +14,7 @@ G & = \{ V, E \} \newline
 \end{aligned}
 $$
 
-Если рассматривать вершины как узлы, а ребра как ссылки (указатели), соединяющие эти узлы, то граф можно считать структурой данных, выросшей из связного списка. Как показано на рисунке 9-1, **по сравнению с линейными отношениями (связный список) и отношениями разделения (дерево), сетевые отношения (граф) обладают большей свободой** , а потому и сложнее.
+Если рассматривать вершины как узлы, а ребра как ссылки, соединяющие узлы, граф можно считать структурой данных, расширяющей связный список. Как показано на рисунке 9-1, **по сравнению с линейными отношениями (связный список) и отношениями разделения (дерево), сетевые отношения (граф) обладают большей свободой** и потому являются более сложными.
 
 ![Связь между связным списком, деревом и графом](graph.assets/linkedlist_tree_graph.png){ class="animation-figure" }
 
@@ -22,45 +22,45 @@ $$
 
 ## 9.1.1 &nbsp; Распространенные типы и термины графов
 
-В зависимости от того, имеют ли ребра направление, графы делятся на <u>неориентированные графы (undirected graph)</u> и <u>ориентированные графы (directed graph)</u> , как показано на рисунке 9-2.
+В зависимости от наличия направления у ребер графы делятся на <u>неориентированные графы (undirected graph)</u> и <u>ориентированные графы (directed graph)</u> , как показано на рисунке 9-2.
 
-- В неориентированном графе ребро означает "двустороннюю" связь между двумя вершинами, например отношение "друзья" в WeChat или QQ.
-- В ориентированном графе ребро имеет направление, то есть ребра $A \rightarrow B$ и $A \leftarrow B$ независимы друг от друга, как, например, отношения "подписка" и "подписчик" в Weibo или Douyin.
+- В неориентированном графе ребро представляет двустороннюю связь между двумя вершинами, например дружеские отношения в социальных сетях.
+- В ориентированном графе ребро имеет направление, то есть ребра $A \rightarrow B$ и $A \leftarrow B$ независимы друг от друга, например отношения подписки и подписчиков.
 
 ![Ориентированный и неориентированный графы](graph.assets/directed_graph.png){ class="animation-figure" }
 
 <p align="center"> Рисунок 9-2 &nbsp; Ориентированный и неориентированный графы </p>
 
-В зависимости от того, достижимы ли все вершины друг из друга, граф делится на <u>связный граф (connected graph)</u> и <u>несвязный граф (disconnected graph)</u> , как показано на рисунке 9-3.
+В зависимости от того, связаны ли все вершины между собой, граф делится на <u>связный граф (connected graph)</u> и <u>несвязный граф (disconnected graph)</u> , как показано на рисунке 9-3.
 
-- В связном графе, начиная из некоторой вершины, можно добраться до любой другой вершины.
-- В несвязном графе, начиная из некоторой вершины, по крайней мере одна вершина оказывается недостижимой.
+- В связном графе из любой вершины можно достичь любой другой вершины.
+- В несвязном графе существует по крайней мере одна вершина, недостижимая из текущей.
 
 ![Связный и несвязный графы](graph.assets/connected_graph.png){ class="animation-figure" }
 
 <p align="center"> Рисунок 9-3 &nbsp; Связный и несвязный графы </p>
 
-Мы также можем добавить к ребрам переменную "вес" и тем самым получить <u>взвешенный граф (weighted graph)</u> , показанный на рисунке 9-4. Например, в мобильных играх вроде Honor of Kings система может вычислять "степень близости" между игроками по времени, проведенному в совместных играх; такую сеть близости можно описать взвешенным графом.
+Мы также можем добавить к ребрам переменную "вес" и получить показанный ниже <u>взвешенный граф (weighted graph)</u>. Например, в мобильных играх вроде Honor of Kings система рассчитывает "близость" между игроками по времени совместной игры, и такую сеть близости можно представить взвешенным графом.
 
 ![Взвешенный и невзвешенный графы](graph.assets/weighted_graph.png){ class="animation-figure" }
 
 <p align="center"> Рисунок 9-4 &nbsp; Взвешенный и невзвешенный графы </p>
 
-Для структуры данных "граф" используются следующие распространенные термины.
+Со структурой данных "граф" связаны следующие основные термины.
 
-- <u>Смежность (adjacency)</u>: если между двумя вершинами существует ребро, то эти вершины называются "смежными". На рисунке 9-4 вершинам 2, 3, 5 смежна вершина 1.
-- <u>Путь (path)</u>: последовательность ребер, ведущая из вершины A в вершину B, называется "путем" от A до B. На рисунке 9-4 последовательность ребер 1-5-2-4 представляет один из путей от вершины 1 к вершине 4.
-- <u>Степень (degree)</u>: число ребер, принадлежащих вершине. Для ориентированного графа <u>входящая степень (in-degree)</u> показывает число ребер, ведущих в вершину, а <u>исходящая степень (out-degree)</u> показывает число ребер, исходящих из вершины.
+- <u>Смежность (adjacency)</u>: если между двумя вершинами существует ребро, то такие вершины называются смежными. На рисунке 9-4 с вершиной 1 смежны вершины 2, 3 и 5.
+- <u>Путь (path)</u>: последовательность ребер от вершины A до вершины B называется путем из A в B. На рисунке 9-4 последовательность ребер 1-5-2-4 является одним из путей от вершины 1 к вершине 4.
+- <u>Степень (degree)</u>: количество ребер, принадлежащих вершине. Для ориентированного графа <u>входящая степень (in-degree)</u> показывает, сколько ребер входит в вершину, а <u>исходящая степень (out-degree)</u> показывает, сколько ребер из нее выходит.
 
 ## 9.1.2 &nbsp; Представление графа
 
-Распространенные способы представления графа включают "матрицу смежности" и "список смежности". Ниже в качестве примера используется неориентированный граф.
+Распространенные способы представления графа включают "матрицу смежности" и "список смежности". Ниже для примера рассматривается неориентированный граф.
 
 ### 1. &nbsp; Матрица смежности
 
-Пусть число вершин графа равно $n$ ; тогда <u>матрица смежности (adjacency matrix)</u> использует матрицу размера $n \times n$ для представления графа: каждая строка и каждый столбец соответствуют вершине, а элементы матрицы отражают наличие ребра, то есть показывают, существует между двумя вершинами связь или нет.
+Пусть число вершин графа равно $n$ ; тогда <u>матрица смежности (adjacency matrix)</u> использует матрицу размера $n \times n$ для представления графа, где каждая строка и каждый столбец соответствуют вершине, а элементы матрицы показывают наличие или отсутствие ребра.
 
-Как показано на рисунке 9-5, пусть матрица смежности обозначается как $M$ , а список вершин - как $V$ ; тогда элемент матрицы $M[i, j] = 1$ означает, что между вершинами $V[i]$ и $V[j]$ существует ребро, а элемент $M[i, j] = 0$ означает, что ребра между ними нет.
+Как показано на рисунке 9-5, обозначим матрицу смежности через $M$ , а список вершин через $V$ ; тогда элемент матрицы $M[i, j] = 1$ означает наличие ребра между вершинами $V[i]$ и $V[j]$ , а элемент $M[i, j] = 0$ означает отсутствие ребра.
 
 ![Представление графа матрицей смежности](graph.assets/adjacency_matrix.png){ class="animation-figure" }
 
@@ -68,27 +68,27 @@ $$
 
 Матрица смежности обладает следующими особенностями.
 
-- В простом графе вершина не может соединяться сама с собой, поэтому элементы на главной диагонали матрицы смежности не имеют смысла.
-- Для неориентированного графа ребра в двух направлениях эквивалентны, поэтому матрица смежности симметрична относительно главной диагонали.
-- Если заменить в матрице смежности значения $1$ и $0$ на веса, то можно представить и взвешенный граф.
+- В простом графе вершина не может соединяться сама с собой, поэтому элементы на главной диагонали матрицы смежности не имеют значения.
+- Для неориентированного графа ребра в обоих направлениях эквивалентны, поэтому матрица смежности симметрична относительно главной диагонали.
+- Если заменить в матрице смежности значения $1$ и $0$ на веса, то можно представить взвешенный граф.
 
-При представлении графа матрицей смежности мы можем напрямую обращаться к элементам матрицы, чтобы получить информацию о ребрах, поэтому операции добавления, удаления, поиска и изменения обладают высокой эффективностью, равной $O(1)$ . Однако пространственная сложность матрицы равна $O(n^2)$ , поэтому она занимает заметный объем памяти.
+При представлении графа матрицей смежности можно напрямую обращаться к элементам матрицы и получать сведения о ребрах, поэтому операции добавления, удаления, поиска и изменения обладают высокой эффективностью и выполняются за $O(1)$ . Однако пространственная сложность матрицы составляет $O(n^2)$ , поэтому она требует значительных затрат памяти.
 
 ### 2. &nbsp; Список смежности
 
-<u>Список смежности (adjacency list)</u> использует $n$ связанных списков для представления графа, где узлы списка обозначают вершины. $i$-й список соответствует вершине $i$ и хранит все вершины, смежные с ней, то есть все вершины, соединенные с этой вершиной. На рисунке 9-6 показан пример графа, представленного списком смежности.
+<u>Список смежности (adjacency list)</u> использует $n$ списков для представления графа, где узлы списка обозначают вершины. $i$-й список соответствует вершине $i$ и хранит все смежные с ней вершины, то есть все вершины, соединенные с данной вершиной. На рисунке 9-6 показан пример графа, представленного списком смежности.
 
 ![Представление графа списком смежности](graph.assets/adjacency_list.png){ class="animation-figure" }
 
 <p align="center"> Рисунок 9-6 &nbsp; Представление графа списком смежности </p>
 
-Список смежности хранит только реально существующие ребра, а общее число ребер обычно значительно меньше $n^2$ , поэтому этот способ существенно экономит пространство. Однако для поиска ребра в списке смежности нужно проходить по списку, поэтому по времени он уступает матрице смежности.
+Список смежности хранит только реально существующие ребра, а общее число ребер обычно значительно меньше $n^2$ , поэтому он лучше экономит память. Однако для поиска ребра в списке смежности требуется обходить список, поэтому по времени он уступает матрице смежности.
 
-Если посмотреть на рисунок 9-6, можно заметить, что **структура списка смежности очень похожа на "метод цепочек" в хеш-таблице, поэтому для оптимизации эффективности здесь можно использовать сходные идеи**. Например, когда список становится слишком длинным, его можно преобразовать в AVL-дерево или красно-черное дерево, чтобы улучшить временную сложность с $O(n)$ до $O(\log n)$ ; можно также превратить его в хеш-таблицу и снизить сложность до $O(1)$ .
+Если посмотреть на рисунок 9-6, можно заметить, что **структура списка смежности очень похожа на цепную адресацию в хеш-таблицах, поэтому здесь можно использовать похожие методы оптимизации эффективности**. Например, если список слишком длинный, его можно преобразовать в AVL-дерево или красно-черное дерево, чтобы снизить временную сложность с $O(n)$ до $O(\log n)$ ; также список можно преобразовать в хеш-таблицу, чтобы довести временную сложность до $O(1)$ .
 
 ## 9.1.3 &nbsp; Типичные применения графов
 
-Как показано в таблице 9-1, многие реальные системы можно моделировать графами, а соответствующие задачи затем сводить к задачам вычислений на графах.
+Как показано в таблице 9-1, многие реальные системы можно моделировать с помощью графов, а соответствующие задачи затем сводить к задачам вычислений на графах.
 
 <p align="center"> Таблица 9-1 &nbsp; Распространенные графы в реальной жизни </p>
 
@@ -97,7 +97,7 @@ $$
 |          | Вершина | Ребро                | Задача вычислений на графе |
 | -------- | ------- | -------------------- | -------------------------- |
 | Социальные сети | Пользователь | Дружеская связь     | Рекомендация потенциальных друзей |
-| Линии метро | Станция | Связность между станциями | Рекомендация кратчайшего маршрута |
+| Линии метро | Станция | Связь между станциями | Рекомендация кратчайшего маршрута |
 | Солнечная система | Небесное тело | Гравитационное взаимодействие между телами | Вычисление орбит планет |
 
 </div>