xinyin025/hello-algo
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zhuzhiqing
2022-12-23 15:42:02 +08:00
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docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md
+129 -7
View File
@@ -149,7 +149,29 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title=""
/* 类 */
class Node
{
int val;
Node next;
Node(int x) { val = x; }
}
/* 函数（或称方法） */
int function()
{
// do something...
return 0;
}
int algorithm(int n)
{ // 输入数据
int a = 0; // 暂存数据（常量）
int b = 0; // 暂存数据（变量）
Node node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
int c = function(); // 栈帧空间（调用函数）
return a + b + c; // 输出数据
}
```
## 推算方法
@@ -228,7 +250,15 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title=""
void algorithm(int n)
{
int a = 0; // O(1)
int[] b = new int[10000]; // O(1)
if (n > 10)
{
int[] nums = new int[n]; // O(n)
}
}
```
**在递归函数中，需要注意统计栈帧空间。** 例如函数 `loop()`，在循环中调用了 $n$ 次 `function()` ，每轮中的 `function()` 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 $O(1)$ 。而递归函数 `recur()` 在运行中会同时存在 $n$ 个未返回的 `recur()` ，从而使用 $O(n)$ 的栈帧空间。
@@ -330,13 +360,31 @@ comments: true
=== "C"
```c title=""
```
=== "C#"
```csharp title=""
int function()
{
// do something
return 0;
}
/* 循环 O(1) */
void loop(int n)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
function();
}
}
/* 递归 O(n) */
int recur(int n)
{
if (n == 1) return 1;
return recur(n - 1);
}
```
## 常见类型
@@ -467,7 +515,25 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
/* 常数阶 */
void constant(int n)
{
// 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
int a = 0;
int b = 0;
int[] nums = new int[10000];
ListNode node = new ListNode(0);
// 循环中的变量占用 O(1) 空间
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int c = 0;
}
// 循环中的函数占用 O(1) 空间
for (int i = 0; i < n; i++)
{
function();
}
}
```
### 线性阶 $O(n)$
@@ -568,7 +634,24 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
/* 线性阶 */
void linear(int n)
{
// 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
int[] nums = new int[n];
// 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
List<ListNode> nodes = new();
for (int i = 0; i < n; i++)
{
nodes.Add(new ListNode(i));
}
// 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
Dictionary<int, String> map = new();
for (int i = 0; i < n; i++)
{
map.Add(i, i.ToString());
}
}
```
以下递归函数会同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` 函数，使用 $O(n)$ 大小的栈帧空间。
@@ -639,7 +722,13 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
/* 线性阶（递归实现） */
void linearRecur(int n)
{
Console.WriteLine("递归 n = " + n);
if (n == 1) return;
linearRecur(n - 1);
}
```
![space_complexity_recursive_linear](space_complexity.assets/space_complexity_recursive_linear.png)
@@ -729,6 +818,23 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
/* 平方阶 */
void quadratic(int n)
{
// 矩阵占用 O(n^2) 空间
int[,] numMatrix = new int[n, n];
// 二维列表占用 O(n^2) 空间
List<List<int>> numList = new();
for (int i = 0; i < n; i++)
{
List<int> tmp = new();
for (int j = 0; j < n; j++)
{
tmp.Add(0);
}
numList.Add(tmp);
}
}
```
@@ -804,6 +910,14 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
/* 平方阶（递归实现） */
int quadraticRecur(int n)
{
if (n <= 0) return 0;
int[] nums = new int[n];
Console.WriteLine("递归 n = " + n + " 中的 nums 长度 = " + nums.Length);
return quadraticRecur(n - 1);
}
```
@@ -889,7 +1003,15 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
/* 指数阶（建立满二叉树） */
TreeNode? buildTree(int n)
{
if (n == 0) return null;
TreeNode root = new TreeNode(0);
root.left = buildTree(n - 1);
root.right = buildTree(n - 1);
return root;
}
```
![space_complexity_exponential](space_complexity.assets/space_complexity_exponential.png)
docs/chapter_computational_complexity/space_time_tradeoff.md
+36 -2
View File
@@ -130,7 +130,23 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title="leetcode_two_sum.cs"
class SolutionBruteForce
{
public int[] twoSum(int[] nums, int target)
{
int size = nums.Length;
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
for (int i = 0; i < size - 1; i++)
{
for (int j = i + 1; j < size; j++)
{
if (nums[i] + nums[j] == target)
return new int[] { i, j };
}
}
return new int[0];
}
}
```
### 方法二：辅助哈希表
@@ -258,5 +274,23 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title="leetcode_two_sum.cs"
class SolutionHashMap
{
public int[] twoSum(int[] nums, int target)
{
int size = nums.Length;
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
Dictionary<int, int> dic = new();
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
for (int i = 0; i < size; i++)
{
if (dic.ContainsKey(target - nums[i]))
{
return new int[] { dic[target - nums[i]], i };
}
dic.Add(nums[i], i);
}
return new int[0];
}
}
```
docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md
+234 -17
View File
@@ -97,7 +97,18 @@ $$
=== "C#"
```csharp title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n)
{
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++)
{ // 1 ns ，每轮都要执行 i++
Console.WriteLine(0); // 5 ns
}
}
```
但实际上， **统计算法的运行时间既不合理也不现实。** 首先，我们不希望预估时间和运行平台绑定，毕竟算法需要跑在各式各样的平台之上。其次，我们很难获知每一种操作的运行时间，这为预估过程带来了极大的难度。
@@ -212,7 +223,27 @@ $$
=== "C#"
```csharp title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n)
{
Console.WriteLine(0);
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
Console.WriteLine(0);
}
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n)
{
for (int i = 0; i < 1000000; i++)
{
Console.WriteLine(0);
}
}
```
![time_complexity_first_example](time_complexity.assets/time_complexity_first_example.png)
@@ -310,7 +341,15 @@ $$
=== "C#"
```csharp title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
Console.WriteLine(0); // +1
}
}
```
$T(n)$ 是个一次函数，说明时间增长趋势是线性的，因此易得时间复杂度是线性阶。
@@ -457,7 +496,24 @@ $$
=== "C#"
```csharp title=""
void algorithm(int n)
{
int a = 1; // +0（技巧 1）
a = a + n; // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++)
{
Console.WriteLine(0);
}
// +n*n（技巧 3）
for (int i = 0; i < 2 * n; i++)
{
for (int j = 0; j < n + 1; j++)
{
Console.WriteLine(0);
}
}
}
```
### 2. 判断渐近上界
@@ -576,7 +632,15 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 常数阶 */
int constant(int n)
{
int count = 0;
int size = 100000;
for (int i = 0; i < size; i++)
count++;
return count;
}
```
### 线性阶 $O(n)$
@@ -652,7 +716,14 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 线性阶 */
int linear(int n)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
count++;
return count;
}
```
「遍历数组」和「遍历链表」等操作，时间复杂度都为 $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组或链表的长度。
@@ -736,7 +807,17 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 线性阶（遍历数组） */
int arrayTraversal(int[] nums)
{
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
foreach(int num in nums)
{
count++;
}
return count;
}
```
### 平方阶 $O(n^2)$
@@ -825,7 +906,20 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 平方阶 */
int quadratic(int n)
{
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成平方关系
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < n; j++)
{
count++;
}
}
return count;
}
```
![time_complexity_constant_linear_quadratic](time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png)
@@ -947,6 +1041,28 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 平方阶（冒泡排序） */
int bubbleSort(int[] nums)
{
int count = 0; // 计数器
// 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
for (int i = nums.Length - 1; i > 0; i--)
{
// 内循环：冒泡操作
for (int j = 0; j < i; j++)
{
if (nums[j] > nums[j + 1])
{
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
@@ -1048,7 +1164,22 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 指数阶（循环实现） */
int exponential(int n)
{
int count = 0, bas = 1;
// cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < bas; j++)
{
count++;
}
bas *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
![time_complexity_exponential](time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png)
@@ -1119,7 +1250,12 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 指数阶（递归实现） */
int expRecur(int n)
{
if (n == 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
### 对数阶 $O(\log n)$
@@ -1205,7 +1341,17 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 对数阶（循环实现） */
int logarithmic(float n)
{
int count = 0;
while (n > 1)
{
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
![time_complexity_logarithmic](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png)
@@ -1276,7 +1422,12 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 对数阶（递归实现） */
int logRecur(float n)
{
if (n <= 1) return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
### 线性对数阶 $O(n \log n)$
@@ -1366,7 +1517,18 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 线性对数阶 */
int linearLogRecur(float n)
{
if (n <= 1) return 1;
int count = linearLogRecur(n / 2) +
linearLogRecur(n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
count++;
}
return count;
}
```
![time_complexity_logarithmic_linear](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png)
@@ -1464,7 +1626,18 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 阶乘阶（递归实现） */
int factorialRecur(int n)
{
if (n == 0) return 1;
int count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (int i = 0; i < n; i++)
{
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
![time_complexity_factorial](time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png)
@@ -1485,7 +1658,7 @@ $$
```java title="worst_best_time_complexity.java"
public class worst_best_time_complexity {
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
static int[] randomNumbers(int n) {
int[] randomNumbers(int n) {
Integer[] nums = new Integer[n];
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (int i = 0; i < n; i++) {
@@ -1502,7 +1675,7 @@ $$
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
static int findOne(int[] nums) {
int findOne(int[] nums) {
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (nums[i] == 1)
return i;
@@ -1511,7 +1684,7 @@ $$
}
/* Driver Code */
public static void main(String[] args) {
public void main(String[] args) {
for (int i = 0; i < 10; i++) {
int n = 100;
int[] nums = randomNumbers(n);
@@ -1652,7 +1825,51 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="worst_best_time_complexity.cs"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
int[] randomNumbers(int n)
{
int[] nums = new int[n];
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (int i = 0; i < n; i++)
{
nums[i] = i + 1;
}
// 随机打乱数组元素
for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
{
var index = new Random().Next(i, nums.Length);
var tmp = nums[i];
var ran = nums[index];
nums[i] = ran;
nums[index] = tmp;
}
return nums;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
int findOne(int[] nums)
{
for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
{
if (nums[i] == 1)
return i;
}
return -1;
}
/* Driver Code */
public void main(String[] args)
{
for (int i = 0; i < 10; i++)
{
int n = 100;
int[] nums = randomNumbers(n);
int index = findOne(nums);
Console.WriteLine("\n数组 [ 1, 2, ..., n ] 被打乱后 = " + string.Join(",", nums));
Console.WriteLine("数字 1 的索引为 " + index);
}
}
```
!!! tip