build

docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md

@@ -22,12 +22,14 @@ comments: true
 - **栈帧空间**：用于保存调用函数的上下文数据。系统在每次调用函数时都会在栈顶部创建一个栈帧，函数返回后，栈帧空间会被释放。
 - **指令空间**：用于保存编译后的程序指令，在实际统计中通常忽略不计。
 
-在分析一段程序的空间复杂度时，**我们通常统计暂存数据、栈帧空间和输出数据三部分**。
+在分析一段程序的空间复杂度时，**我们通常统计暂存数据、栈帧空间和输出数据三部分**，如图 2-15 所示。
 
 ![算法使用的相关空间](space_complexity.assets/space_types.png){ class="animation-figure" }
 
 <p align="center"> 图 2-15 &nbsp; 算法使用的相关空间 </p>
 
+相关代码如下：
+
 === "Python"
 
     ```python title=""
@@ -327,8 +329,8 @@ comments: true
 
 观察以下代码，最差空间复杂度中的“最差”有两层含义。
 
-1. **以最差输入数据为准**：当 $n < 10$ 时，空间复杂度为 $O(1)$ ；但当 $n > 10$ 时，初始化的数组 `nums` 占用 $O(n)$ 空间；因此最差空间复杂度为 $O(n)$ 。
-2. **以算法运行中的峰值内存为准**：例如，程序在执行最后一行之前，占用 $O(1)$ 空间；当初始化数组 `nums` 时，程序占用 $O(n)$ 空间；因此最差空间复杂度为 $O(n)$ 。
+1. **以最差输入数据为准**：当 $n < 10$ 时，空间复杂度为 $O(1)$ ；但当 $n > 10$ 时，初始化的数组 `nums` 占用 $O(n)$ 空间，因此最差空间复杂度为 $O(n)$ 。
+2. **以算法运行中的峰值内存为准**：例如，程序在执行最后一行之前，占用 $O(1)$ 空间；当初始化数组 `nums` 时，程序占用 $O(n)$ 空间，因此最差空间复杂度为 $O(n)$ 。
 
 === "Python"
 
@@ -465,10 +467,7 @@ comments: true
 
     ```
 
-**在递归函数中，需要注意统计栈帧空间**。例如在以下代码中：
-
-- 函数 `loop()` 在循环中调用了 $n$ 次 `function()` ，每轮中的 `function()` 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 $O(1)$ 。
-- 递归函数 `recur()` 在运行过程中会同时存在 $n$ 个未返回的 `recur()` ，从而占用 $O(n)$ 的栈帧空间。
+**在递归函数中，需要注意统计栈帧空间**。观察以下代码：
 
 === "Python"
 
@@ -705,6 +704,11 @@ comments: true
 
     ```
 
+函数 `loop()` 和 `recur()` 的时间复杂度都为 $O(n)$ ，但空间复杂度不同。
+
+- 函数 `loop()` 在循环中调用了 $n$ 次 `function()` ，每轮中的 `function()` 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 $O(1)$ 。
+- 递归函数 `recur()` 在运行过程中会同时存在 $n$ 个未返回的 `recur()` ，从而占用 $O(n)$ 的栈帧空间。
+
 ## 2.4.3 &nbsp; 常见类型
 
 设输入数据大小为 $n$ ，图 2-16 展示了常见的空间复杂度类型（从低到高排列）。
@@ -2020,14 +2024,14 @@ $$
 
 ### 5. &nbsp; 对数阶 $O(\log n)$
 
-对数阶常见于分治算法。例如归并排序，输入长度为 $n$ 的数组，每轮递归将数组从中点划分为两半，形成高度为 $\log n$ 的递归树，使用 $O(\log n)$ 栈帧空间。
+对数阶常见于分治算法。例如归并排序，输入长度为 $n$ 的数组，每轮递归将数组从中点处划分为两半，形成高度为 $\log n$ 的递归树，使用 $O(\log n)$ 栈帧空间。
 
 再例如将数字转化为字符串，输入一个正整数 $n$ ，它的位数为 $\log_{10} n + 1$ ，即对应字符串长度为 $\log_{10} n + 1$ ，因此空间复杂度为 $O(\log_{10} n + 1) = O(\log n)$ 。
 
 ## 2.4.4 &nbsp; 权衡时间与空间
 
-理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复杂度和空间复杂度通常是非常困难的。
+理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复杂度和空间复杂度通常非常困难。
 
 **降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然**。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为“以空间换时间”；反之，则称为“以时间换空间”。
 
-选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此“以空间换时间”通常是更常用的策略。当然，在数据量很大的情况下，控制空间复杂度也是非常重要的。
+选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此“以空间换时间”通常是更常用的策略。当然，在数据量很大的情况下，控制空间复杂度也非常重要。