xinyin025/hello-algo
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2023-12-02 06:24:05 +08:00
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docs/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md
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@@ -6,7 +6,7 @@ comments: true
!!! question
给定一个二叉树的前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` ，请从中构建二叉树，返回二叉树的根节点。假设二叉树中没有值重复的节点。
给定一棵二叉树的前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` ，请从中构建二叉树，返回二叉树的根节点。假设二叉树中没有值重复的节点。
![构建二叉树的示例数据](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_example.png){ class="animation-figure" }
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### 1.   判断是否为分治问题
原问题定义为从 `preorder` 和 `inorder` 构建二叉树，其是一个典型的分治问题。
原问题定义为从 `preorder` 和 `inorder` 构建二叉树，是一个典型的分治问题。
- **问题可以被分解**：从分治的角度切入，我们可以将原问题划分为两个子问题：构建左子树、构建右子树，加上一步操作：初始化根节点。而对于每个子树（子问题），我们仍然可以复用以上划分方法，将其划分为更小的子树（子问题），直至达到最小子问题（空子树）时终止。
- **子问题是独立的**：左子树和右子树是相互独立的，它们之间没有交集。在构建左子树时，我们只需要关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。
- **问题可以分解**：从分治的角度切入，我们可以将原问题划分为两个子问题：构建左子树、构建右子树，加上一步操作：初始化根节点。而对于每棵子树（子问题），我们仍然可以复用以上划分方法，将其划分为更小的子树（子问题），直至达到最小子问题（空子树）时终止。
- **子问题是独立的**：左子树和右子树是相互独立的，它们之间没有交集。在构建左子树时，我们只需关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。
- **子问题的解可以合并**：一旦得到了左子树和右子树（子问题的解），我们就可以将它们链接到根节点上，得到原问题的解。
### 2.   如何划分子树
根据以上分析，这道题是可以使用分治来求解的，**但如何通过前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` 来划分左子树和右子树呢**？
根据以上分析，这道题可以使用分治来求解，**但如何通过前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` 来划分左子树和右子树呢**？
根据定义，`preorder` 和 `inorder` 都可以被划分为三个部分。
根据定义，`preorder` 和 `inorder` 都可以划分为三个部分。
- 前序遍历：`[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]` ，例如图 12-5 的树对应 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。
- 中序遍历：`[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]` ，例如图 12-5 的树对应 `[ 9 | 3 | 1 2 7 ]` 。
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2. 查找根节点 3 在 `inorder` 中的索引，利用该索引可将 `inorder` 划分为 `[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]` 。
3. 根据 `inorder` 划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 `preorder` 划分为 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。
![在前序和中序遍历中划分子树](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_preorder_inorder_division.png){ class="animation-figure" }
![在前序遍历和中序遍历中划分子树](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_preorder_inorder_division.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 图 12-6 &nbsp; 在前序和中序遍历中划分子树 </p>
<p align="center"> 图 12-6 &nbsp; 在前序遍历和中序遍历中划分子树 </p>
### 3. &nbsp; 基于变量描述子树区间
@@ -49,7 +49,7 @@ comments: true
如表 12-1 所示，通过以上变量即可表示根节点在 `preorder` 中的索引，以及子树在 `inorder` 中的索引区间。
<p align="center"> 表 12-1 &nbsp; 根节点和子树在前序和中序遍历中的索引 </p>
<p align="center"> 表 12-1 &nbsp; 根节点和子树在前序遍历和中序遍历中的索引 </p>
<div class="center-table" markdown>
@@ -69,7 +69,7 @@ comments: true
### 4. &nbsp; 代码实现
为了提升查询 $m$ 的效率，我们借助一个哈希表 `hmap` 来存储数组 `inorder` 中元素到索引的映射。
为了提升查询 $m$ 的效率，我们借助一个哈希表 `hmap` 来存储数组 `inorder` 中元素到索引的映射：
=== "Python"
@@ -445,7 +445,7 @@ comments: true
[class]{}-[func]{buildTree}
```
图 12-8 展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（即引用）是在向上“归”的过程中建立的。
图 12-8 展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（引用）是在向上“归”的过程中建立的。
=== "<1>"
![构建二叉树的递归过程](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step1.png){ class="animation-figure" }
@@ -484,4 +484,4 @@ comments: true
设树的节点数量为 $n$ ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 `dfs()` ）使用 $O(1)$ 时间。**因此总体时间复杂度为 $O(n)$** 。
哈希表存储 `inorder` 元素到索引的映射，空间复杂度为 $O(n)$ 。最差情况下，即二叉树退化为链表时，递归深度达到 $n$ ，使用 $O(n)$ 的栈帧空间。**因此总体空间复杂度为 $O(n)$** 。
哈希表存储 `inorder` 元素到索引的映射，空间复杂度为 $O(n)$ 。在最差情况下，即二叉树退化为链表时，递归深度达到 $n$ ，使用 $O(n)$ 的栈帧空间。**因此总体空间复杂度为 $O(n)$** 。