xinyin025/hello-algo
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2023-12-02 06:24:05 +08:00
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docs/chapter_graph/graph.md
+8 -8
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@@ -14,7 +14,7 @@ G & = \{ V, E \} \newline
\end{aligned}
$$
如果将顶点看作节点，将边看作连接各个节点的引用（指针），我们就可以将图看作是一种从链表拓展而来的数据结构。如图 9-1 所示，**相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高**，从而更为复杂。
如果将顶点看作节点，将边看作连接各个节点的引用（指针），我们就可以将图看作一种从链表拓展而来的数据结构。如图 9-1 所示，**相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高**，因而更为复杂。
![链表、树、图之间的关系](graph.assets/linkedlist_tree_graph.png){ class="animation-figure" }
@@ -22,7 +22,7 @@ $$
## 9.1.1   图常见类型与术语
根据边是否具有方向，可分为图 9-2 所示的「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph」。
根据边是否具有方向，可分为「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph」，如图 9-2 所示。
- 在无向图中，边表示两顶点之间的“双向”连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”。
- 在有向图中，边具有方向性，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系。
@@ -31,7 +31,7 @@ $$
<p align="center"> 图 9-2 &nbsp; 有向图与无向图 </p>
根据所有顶点是否连通，可分为图 9-3 所示的「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」。
根据所有顶点是否连通，可分为「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」，如图 9-3 所示。
- 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点。
- 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。
@@ -40,7 +40,7 @@ $$
<p align="center"> 图 9-3 &nbsp; 连通图与非连通图 </p>
我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到图 9-4 所示的「有权图 weighted graph」。例如在王者荣耀等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。
我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到如图 9-4 所示的「有权图 weighted graph」。例如在“王者荣耀”等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。
![有权图与无权图](graph.assets/weighted_graph.png){ class="animation-figure" }
@@ -72,11 +72,11 @@ $$
- 对于无向图，两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。
- 将邻接矩阵的元素从 $1$ 和 $0$ 替换为权重，则可表示有权图。
使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 $O(1)$ 。然而，矩阵的空间复杂度为 $O(n^2)$ ，内存占用较多。
使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查改操作的效率很高，时间复杂度均为 $O(1)$ 。然而，矩阵的空间复杂度为 $O(n^2)$ ，内存占用较多。
### 2. &nbsp; 邻接表
「邻接表 adjacency list」使用 $n$ 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。图 9-6 展示了一个使用邻接表存储的图的示例。
「邻接表 adjacency list」使用 $n$ 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 $i$ 个链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（与该顶点相连的顶点）。图 9-6 展示了一个使用邻接表存储的图的示例。
![图的邻接表表示](graph.assets/adjacency_list.png){ class="animation-figure" }
@@ -84,11 +84,11 @@ $$
邻接表仅存储实际存在的边，而边的总数通常远小于 $n^2$ ，因此它更加节省空间。然而，在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，因此其时间效率不如邻接矩阵。
观察图 9-6 ，**邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，因此我们也可以采用类似方法来优化效率**。比如当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 $O(n)$ 优化至 $O(\log n)$ ；还可以把链表转换为哈希表，从而将时间复杂度降低至 $O(1)$ 。
观察图 9-6 ，**邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，因此我们也可以采用类似的方法来优化效率**。比如当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 $O(n)$ 优化至 $O(\log n)$ ；还可以把链表转换为哈希表，从而将时间复杂度降至 $O(1)$ 。
## 9.1.3 &nbsp; 图常见应用
如表 9-1 所示，许多现实系统都可以用图来建模，相应的问题也可以约化为图计算问题。
如表 9-1 所示，许多现实系统可以用图来建模，相应的问题也可以约化为图计算问题。
<p align="center"> 表 9-1 &nbsp; 现实生活中常见的图 </p>
docs/chapter_graph/graph_operations.md
+23 -23
View File
@@ -32,7 +32,7 @@ comments: true
<p align="center"> 图 9-7 &nbsp; 邻接矩阵的初始化、增删边、增删顶点 </p>
以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码。
以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码：
=== "Python"
@@ -88,7 +88,7 @@ comments: true
# 索引越界与相等处理
if i < 0 or j < 0 or i >= self.size() or j >= self.size() or i == j:
raise IndexError()
# 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
# 在无向图中，邻接矩阵关于主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
self.adj_mat[i][j] = 1
self.adj_mat[j][i] = 1
@@ -170,7 +170,7 @@ comments: true
if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j) {
throw out_of_range("顶点不存在");
}
// 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
// 在无向图中，邻接矩阵关于主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
adjMat[i][j] = 1;
adjMat[j][i] = 1;
}
@@ -261,7 +261,7 @@ comments: true
// 索引越界与相等处理
if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)
throw new IndexOutOfBoundsException();
// 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
// 在无向图中，邻接矩阵关于主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
adjMat.get(i).set(j, 1);
adjMat.get(j).set(i, 1);
}
@@ -351,7 +351,7 @@ comments: true
// 索引越界与相等处理
if (i < 0 || j < 0 || i >= Size() || j >= Size() || i == j)
throw new IndexOutOfRangeException();
// 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
// 在无向图中，邻接矩阵关于主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
adjMat[i][j] = 1;
adjMat[j][i] = 1;
}
@@ -449,7 +449,7 @@ comments: true
if i < 0 || j < 0 || i >= g.size() || j >= g.size() || i == j {
fmt.Errorf("%s", "Index Out Of Bounds Exception")
}
// 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
// 在无向图中，邻接矩阵关于主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
g.adjMat[i][j] = 1
g.adjMat[j][i] = 1
}
@@ -539,7 +539,7 @@ comments: true
if i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j {
fatalError("越界")
}
// 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
// 在无向图中，邻接矩阵关于主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
adjMat[i][j] = 1
adjMat[j][i] = 1
}
@@ -633,7 +633,7 @@ comments: true
if (i < 0 || j < 0 || i >= this.size() || j >= this.size() || i === j) {
throw new RangeError('Index Out Of Bounds Exception');
}
// 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) === (j, i)
// 在无向图中，邻接矩阵关于主对角线对称，即满足 (i, j) === (j, i)
this.adjMat[i][j] = 1;
this.adjMat[j][i] = 1;
}
@@ -725,7 +725,7 @@ comments: true
if (i < 0 || j < 0 || i >= this.size() || j >= this.size() || i === j) {
throw new RangeError('Index Out Of Bounds Exception');
}
// 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) === (j, i)
// 在无向图中，邻接矩阵关于主对角线对称，即满足 (i, j) === (j, i)
this.adjMat[i][j] = 1;
this.adjMat[j][i] = 1;
}
@@ -813,7 +813,7 @@ comments: true
if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j) {
throw IndexError;
}
// 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
// 在无向图中，邻接矩阵关于主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
adjMat[i][j] = 1;
adjMat[j][i] = 1;
}
@@ -909,7 +909,7 @@ comments: true
if i >= self.size() || j >= self.size() || i == j {
panic!("index error")
}
// 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
// 在无向图中，邻接矩阵关于主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
self.adj_mat[i][j] = 1;
self.adj_mat[j][i] = 1;
}
@@ -1087,7 +1087,7 @@ comments: true
def __init__(self, edges: list[list[Vertex]]):
"""构造方法"""
# 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
# 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
self.adj_list = dict[Vertex, list[Vertex]]()
# 添加所有顶点和边
for edge in edges:
@@ -1147,7 +1147,7 @@ comments: true
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
public:
// 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
// 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
unordered_map<Vertex *, vector<Vertex *>> adjList;
/* 在 vector 中删除指定节点 */
@@ -1231,7 +1231,7 @@ comments: true
```java title="graph_adjacency_list.java"
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
// 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
// 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
Map<Vertex, List<Vertex>> adjList;
/* 构造方法 */
@@ -1306,7 +1306,7 @@ comments: true
```csharp title="graph_adjacency_list.cs"
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
// 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
// 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
public Dictionary<Vertex, List<Vertex>> adjList;
/* 构造函数 */
@@ -1381,7 +1381,7 @@ comments: true
```go title="graph_adjacency_list.go"
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
type graphAdjList struct {
// 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
// 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
adjList map[Vertex][]Vertex
}
@@ -1472,7 +1472,7 @@ comments: true
```swift title="graph_adjacency_list.swift"
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
// 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
// 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
public private(set) var adjList: [Vertex: [Vertex]]
/* 构造方法 */
@@ -1552,7 +1552,7 @@ comments: true
```javascript title="graph_adjacency_list.js"
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
// 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
// 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
adjList;
/* 构造方法 */
@@ -1641,7 +1641,7 @@ comments: true
```typescript title="graph_adjacency_list.ts"
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
// 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
// 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
adjList: Map<Vertex, Vertex[]>;
/* 构造方法 */
@@ -1730,7 +1730,7 @@ comments: true
```dart title="graph_adjacency_list.dart"
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
// 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
// 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
Map<Vertex, List<Vertex>> adjList = {};
/* 构造方法 */
@@ -1810,7 +1810,7 @@ comments: true
```rust title="graph_adjacency_list.rs"
/* 基于邻接表实现的无向图类型 */
pub struct GraphAdjList {
// 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
// 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
pub adj_list: HashMap<Vertex, Vec<Vertex>>,
}
@@ -2067,7 +2067,7 @@ comments: true
## 9.2.3 &nbsp; 效率对比
设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，表 9-2 对比了邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率。
设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，表 9-2 对比了邻接矩阵和邻接表的时间效率和空间效率。
<p align="center"> 表 9-2 &nbsp; 邻接矩阵与邻接表对比 </p>
@@ -2084,4 +2084,4 @@ comments: true
</div>
观察表 9-2 ，似乎邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。
观察表 9-2 ，似乎邻接表（哈希表）的时间效率与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需一次数组访问或赋值操作即可。综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。
docs/chapter_graph/graph_traversal.md
+33 -33
View File
@@ -4,13 +4,13 @@ comments: true
# 9.3 &nbsp; 图的遍历
树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作是图的一种特例。显然，**树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例**。
树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作图的一种特例。显然，**树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例**。
图和树都需要应用搜索算法来实现遍历操作。图的遍历方式可分为两种：「广度优先遍历 breadth-first traversal」和「深度优先遍历 depth-first traversal」。它们也常被称为「广度优先搜索 breadth-first search」和「深度优先搜索 depth-first search」，简称 BFS 和 DFS 。
## 9.3.1 &nbsp; 广度优先遍历
**广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张**。如图 9-9 所示，从左上角顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。
**广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张**。如图 9-9 所示，从左上角顶点出发，首先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。
![图的广度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_bfs.png){ class="animation-figure" }
@@ -18,11 +18,11 @@ comments: true
### 1. &nbsp; 算法实现
BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。
BFS 通常借助队列来实现，代码如下所示。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。
1. 将遍历起始顶点 `startVet` 加入队列，并开启循环。
2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。
3. 循环步骤 `2.` ，直到所有顶点被访问完成后结束。
3. 循环步骤 `2.` ，直到所有顶点被访问完毕后结束。
为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 `visited` 来记录哪些节点已被访问。
@@ -45,7 +45,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
# 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adj_vet in graph.adj_list[vet]:
if adj_vet in visited:
continue # 跳过已被访问过的顶点
continue # 跳过已被访问的顶点
que.append(adj_vet) # 只入队未访问的顶点
visited.add(adj_vet) # 标记该顶点已被访问
# 返回顶点遍历序列
@@ -73,7 +73,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (auto adjVet : graph.adjList[vet]) {
if (visited.count(adjVet))
continue; // 跳过已被访问过的顶点
continue; // 跳过已被访问的顶点
que.push(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.emplace(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
@@ -104,7 +104,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.contains(adjVet))
continue; // 跳过已被访问过的顶点
continue; // 跳过已被访问的顶点
que.offer(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
@@ -133,7 +133,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
res.Add(vet); // 记录访问顶点
foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
if (visited.Contains(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问过的顶点
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
que.Enqueue(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.Add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
@@ -200,7 +200,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
if visited.contains(adjVet) {
continue // 跳过已被访问过的顶点
continue // 跳过已被访问的顶点
}
que.append(adjVet) // 只入队未访问的顶点
visited.insert(adjVet) // 标记该顶点已被访问
@@ -231,7 +231,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问过的顶点
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
que.push(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
@@ -262,7 +262,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问过的顶点
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
que.push(adjVet); // 只入队未访问
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
@@ -294,7 +294,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
if (visited.contains(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问过的顶点
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
que.add(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
@@ -327,7 +327,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
for &adj_vet in adj_vets {
if visited.contains(&adj_vet) {
continue; // 跳过已被访问过的顶点
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
que.push_back(adj_vet); // 只入队未访问的顶点
visited.insert(adj_vet); // 标记该顶点已被访问
@@ -399,7 +399,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
AdjListNode *node = findNode(graph, vet);
while (node != NULL) {
// 跳过已被访问过的顶点
// 跳过已被访问的顶点
if (!isVisited(visited, *visitedSize, node->vertex)) {
enqueue(queue, node->vertex); // 只入队未访问的顶点
visited[(*visitedSize)++] = node->vertex; // 标记该顶点已被访问
@@ -457,13 +457,13 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？"
不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的**。以图 9-10 为例，顶点 $1$、$3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$、$4$、$6$ 的访问顺序也可以任意交换。
不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱**。以图 9-10 为例，顶点 $1$、$3$ 的访问顺序可以交换，顶点 $2$、$4$、$6$ 的访问顺序也可以任意交换。
### 2. &nbsp; 复杂度分析
**时间复杂度：** 所有顶点都会入队并出队一次，使用 $O(|V|)$ 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
**时间复杂度**：所有顶点都会入队并出队一次，使用 $O(|V|)$ 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` ，队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空间。
**空间复杂度**：列表 `res` ，哈希表 `visited` ，队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空间。
## 9.3.2 &nbsp; 深度优先遍历
@@ -475,7 +475,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
### 1. &nbsp; 算法实现
这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中，我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
=== "Python"
@@ -487,7 +487,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
# 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adjVet in graph.adj_list[vet]:
if adjVet in visited:
continue # 跳过已被访问过的顶点
continue # 跳过已被访问的顶点
# 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet)
@@ -512,7 +512,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex *adjVet : graph.adjList[vet]) {
if (visited.count(adjVet))
continue; // 跳过已被访问过的顶点
continue; // 跳过已被访问的顶点
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
@@ -540,7 +540,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.contains(adjVet))
continue; // 跳过已被访问过的顶点
continue; // 跳过已被访问的顶点
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
@@ -568,7 +568,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
if (visited.Contains(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问过的顶点
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
// 递归访问邻接顶点
DFS(graph, visited, res, adjVet);
@@ -628,7 +628,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
if visited.contains(adjVet) {
continue // 跳过已被访问过的顶点
continue // 跳过已被访问的顶点
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: adjVet)
@@ -658,7 +658,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问过的顶点
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
@@ -692,7 +692,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问过的顶点
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
@@ -726,7 +726,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
if (visited.contains(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问过的顶点
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
@@ -755,7 +755,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
for &adj_vet in adj_vets {
if visited.contains(&adj_vet) {
continue; // 跳过已被访问过的顶点
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adj_vet);
@@ -797,7 +797,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
AdjListNode *node = findNode(graph, vet);
while (node != NULL) {
// 跳过已被访问过的顶点
// 跳过已被访问的顶点
if (!isVisited(res, *resSize, node->vertex)) {
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, res, resSize, node->vertex);
@@ -824,9 +824,9 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
深度优先遍历的算法流程如图 9-12 所示。
- **直虚线代表向下递推**，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。
- **曲虚线代表向上回溯**，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置。
- **曲虚线代表向上回溯**，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此方法的位置。
为了加深理解，建议将图示与代码结合起来，在脑中（或者用笔画下来）模拟整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。
为了加深理解，建议将图 9-12 与代码结合起来，在脑中模拟（或者用笔画下来）整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。
=== "<1>"
![图的深度优先遍历步骤](graph_traversal.assets/graph_dfs_step1.png){ class="animation-figure" }
@@ -867,10 +867,10 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都可以，即邻接顶点的顺序可以任意打乱，都是深度优先遍历。
以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种不同的遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。
以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。
### 2. &nbsp; 复杂度分析
**时间复杂度：** 所有顶点都会被访问 $1$ 次，使用 $O(|V|)$ 时间；所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
**时间复杂度**：所有顶点都会被访问 $1$ 次，使用 $O(|V|)$ 时间；所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` 顶点数量最多为 $|V|$ ，递归深度最大为 $|V|$ ，因此使用 $O(|V|)$ 空间。
**空间复杂度**：列表 `res` ，哈希表 `visited` 顶点数量最多为 $|V|$ ，递归深度最大为 $|V|$ ，因此使用 $O(|V|)$ 空间。
docs/chapter_graph/index.md
+1 -1
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@@ -13,7 +13,7 @@ icon: material/graphql
!!! abstract
在生命旅途中，我们就像是每个节点，被无数看不见的边相连。
在生命旅途中，我们就像是一个个节点，被无数看不见的边相连。
每一次的相识与相离，都在这张巨大的网络图中留下独特的印记。
docs/chapter_graph/summary.md
+7 -7
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@@ -6,13 +6,13 @@ comments: true
### 1. &nbsp; 重点回顾
- 图由顶点和边组成，可以被表示为一组顶点和一组边构成的集合。
- 图由顶点和边组成，可以表示为一组顶点和一组边构成的集合。
- 相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）具有更高的自由度，因而更为复杂。
- 有向图的边具有方向性，连通图中的任意顶点均可达，有权图的每条边都包含权重变量。
- 邻接矩阵利用矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 $1$ 或 $0$ 表示两个顶点之间有边或无边。邻接矩阵在增删查操作上效率很高，但空间占用较多。
- 邻接表使用多个链表来表示图，第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点。邻接表相对于邻接矩阵更加节省空间，但由于需要遍历链表来查找边，时间效率较低。
- 邻接矩阵利用矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 $1$ 或 $0$ 表示两个顶点之间有边或无边。邻接矩阵在增删查改操作上效率很高，但空间占用较多。
- 邻接表使用多个链表来表示图，第 $i$ 个链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点。邻接表相对于邻接矩阵更加节省空间，但由于需要遍历链表来查找边，因此时间效率较低。
- 当邻接表中的链表过长时，可以将其转换为红黑树或哈希表，从而提升查询效率。
- 从算法思想角度分析，邻接矩阵体现“以空间换时间”，邻接表体现“以时间换空间”。
- 从算法思想的角度分析，邻接矩阵体现了“以空间换时间”，邻接表体现了“以时间换空间”。
- 图可用于建模各类现实系统，如社交网络、地铁线路等。
- 树是图的一种特例，树的遍历也是图的遍历的一种特例。
- 图的广度优先遍历是一种由近及远、层层扩张的搜索方式，通常借助队列实现。
@@ -23,12 +23,12 @@ comments: true
!!! question "路径的定义是顶点序列还是边序列？"
维基百科上不同语言版本的定义不一致：英文版是“路径是一个边序列”，而中文版是“路径是一个顶点序列”。以下是英文版原文：In graph theory, a path in a graph is a finite or infinite sequence of edges which joins a sequence of vertices.
在本文中，路径被认为是一个边序列，而不是一个顶点序列。这是因为两个顶点之间可能存在多条边连接，此时每条边都对应一条路径。
在本文中，路径被视为一个边序列，而不是一个顶点序列。这是因为两个顶点之间可能存在多条边连接，此时每条边都对应一条路径。
!!! question "非连通图中，是否会有无法遍历到的点？"
!!! question "非连通图中是否会有无法遍历到的点？"
在非连通图中，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。遍历非连通图需要设置多个起点，以遍历到图的所有连通分量。
!!! question "在邻接表中，“与该顶点相连的所有顶点”的顶点顺序是否有要求？"
可以是任意顺序。但在实际应用中，可能会需要按照指定规则来排序，比如按照顶点添加的次序、或者按照顶点值大小的顺序等等，这样可以有助于快速查找“带有某种极值”的顶点。
可以是任意顺序。但在实际应用中，可能需要按照指定规则来排序，比如按照顶点添加的次序，或者按照顶点值大小的顺序等，这样有助于快速查找“带有某种极值”的顶点。