xinyin025/hello-algo
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2023-12-02 06:24:05 +08:00
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docs/chapter_heap/heap.md
+28 -30
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@@ -4,7 +4,7 @@ comments: true
# 8.1   堆
「堆 heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为图 8-1 所示的两种类型。
「堆 heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为两种类型，如图 8-1 所示。
- 「大顶堆 max heap」：任意节点的值 $\geq$ 其子节点的值。
- 「小顶堆 min heap」：任意节点的值 $\leq$ 其子节点的值。
@@ -17,13 +17,13 @@ comments: true
- 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
- 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
- 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（即根节点）的值分别是最大（最小）的。
- 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（根节点）的值分别是最大（最小）的。
## 8.1.1   堆常用操作
需要指出的是，许多编程语言提供的是「优先队列 priority queue」，这是一种抽象数据结构，定义为具有优先级排序的队列。
实际上，**堆通常用作实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小顺序出队的优先队列**。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一使用“堆“来命名。
实际上，**堆通常用于实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列**。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一称作“堆”。
堆的常用操作见表 8-1 ，方法名需要根据编程语言来确定。
@@ -43,9 +43,7 @@ comments: true
在实际应用中，我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。
!!! tip
类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过修改 Comparator 来实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。
类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过设置一个 `flag` 或修改 `Comparator` 实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。代码如下所示：
=== "Python"
@@ -361,17 +359,17 @@ comments: true
### 1.   堆的存储与表示
我们在二叉树章节中学习到，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，**我们将采用数组来存储堆**。
“二叉树”章节讲过，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，**因此我们将采用数组来存储堆**。
当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。**节点指针通过索引映射公式来实现**。
如图 8-2 所示，给定索引 $i$ ，其左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$ ，父节点索引为 $(i - 1) / 2$（向下取整）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。
如图 8-2 所示，给定索引 $i$ ，其左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$ ，父节点索引为 $(i - 1) / 2$（向下整除）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。
![堆的表示与存储](heap.assets/representation_of_heap.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 图 8-2 &nbsp; 堆的表示与存储 </p>
我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用。
我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用：
=== "Python"
@@ -404,7 +402,7 @@ comments: true
/* 获取父节点索引 */
int parent(int i) {
return (i - 1) / 2; // 向下取整
return (i - 1) / 2; // 向下整除
}
```
@@ -602,7 +600,7 @@ comments: true
### 2. &nbsp; 访问堆顶元素
堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素。
堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素：
=== "Python"
@@ -713,7 +711,7 @@ comments: true
### 3. &nbsp; 元素入堆
给定元素 `val` ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏。因此，**需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点**，这个操作被称为「堆化 heapify」。
给定元素 `val` ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏，**因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点**，这个操作被称为「堆化 heapify」。
考虑从入堆节点开始，**从底至顶执行堆化**。如图 8-3 所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。
@@ -746,7 +744,7 @@ comments: true
<p align="center"> 图 8-3 &nbsp; 元素入堆步骤 </p>
设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。代码如下所示：
=== "Python"
@@ -1086,10 +1084,10 @@ comments: true
### 4. &nbsp; 堆顶元素出堆
堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。
堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。
1. 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）。
2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）。
1. 交换堆顶元素与堆底元素（交换根节点与最右叶节点）。
2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，因此实际上删除的是原来的堆顶元素）。
3. 从根节点开始，**从顶至底执行堆化**。
如图 8-4 所示，**“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反**，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。
@@ -1126,7 +1124,7 @@ comments: true
<p align="center"> 图 8-4 &nbsp; 堆顶元素出堆步骤 </p>
与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 $O(\log n)$ 。
与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 $O(\log n)$ 。代码如下所示：
=== "Python"
@@ -1136,7 +1134,7 @@ comments: true
# 判空处理
if self.is_empty():
raise IndexError("堆为空")
# 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
# 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
self.swap(0, self.size() - 1)
# 删除节点
val = self.max_heap.pop()
@@ -1172,7 +1170,7 @@ comments: true
if (isEmpty()) {
throw out_of_range("堆为空");
}
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
swap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]);
// 删除节点
maxHeap.pop_back();
@@ -1207,7 +1205,7 @@ comments: true
// 判空处理
if (isEmpty())
throw new IndexOutOfBoundsException();
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
swap(0, size() - 1);
// 删除节点
int val = maxHeap.remove(size() - 1);
@@ -1245,7 +1243,7 @@ comments: true
// 判空处理
if (IsEmpty())
throw new IndexOutOfRangeException();
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
Swap(0, Size() - 1);
// 删除节点
int val = maxHeap.Last();
@@ -1285,7 +1283,7 @@ comments: true
fmt.Println("error")
return nil
}
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
h.swap(0, h.size()-1)
// 删除节点
val := h.data[len(h.data)-1]
@@ -1329,7 +1327,7 @@ comments: true
if isEmpty() {
fatalError("堆为空")
}
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
swap(i: 0, j: size() - 1)
// 删除节点
let val = maxHeap.remove(at: size() - 1)
@@ -1372,7 +1370,7 @@ comments: true
pop() {
// 判空处理
if (this.isEmpty()) throw new Error('堆为空');
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
this.#swap(0, this.size() - 1);
// 删除节点
const val = this.#maxHeap.pop();
@@ -1408,7 +1406,7 @@ comments: true
pop(): number {
// 判空处理
if (this.isEmpty()) throw new RangeError('Heap is empty.');
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
this.swap(0, this.size() - 1);
// 删除节点
const val = this.maxHeap.pop();
@@ -1444,7 +1442,7 @@ comments: true
int pop() {
// 判空处理
if (isEmpty()) throw Exception('堆为空');
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
_swap(0, size() - 1);
// 删除节点
int val = _maxHeap.removeLast();
@@ -1482,7 +1480,7 @@ comments: true
if self.is_empty() {
panic!("index out of bounds");
}
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
self.swap(0, self.size() - 1);
// 删除节点
let val = self.max_heap.remove(self.size() - 1);
@@ -1525,7 +1523,7 @@ comments: true
printf("heap is empty!");
return INT_MAX;
}
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
swap(maxHeap, 0, size(maxHeap) - 1);
// 删除节点
int val = maxHeap->data[maxHeap->size - 1];
@@ -1569,7 +1567,7 @@ comments: true
fn pop(self: *Self) !T {
// 判断处理
if (self.isEmpty()) unreachable;
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
try self.swap(0, self.size() - 1);
// 删除节点
var val = self.max_heap.?.pop();
@@ -1602,5 +1600,5 @@ comments: true
## 8.1.3 &nbsp; 堆常见应用
- **优先队列**：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$ ，而建队操作为 $O(n)$ ，这些操作都非常高效。
- **堆排序**：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见后续的堆排序章节。
- **堆排序**：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见“堆排序”章节。
- **获取最大的 $k$ 个元素**：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。