xinyin025/hello-algo
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2023-12-02 06:24:05 +08:00
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93 changed files with 1463 additions and 1484 deletions
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docs/chapter_searching/binary_search.md
+31 -29
View File
@@ -4,11 +4,11 @@ comments: true
# 10.1   二分查找
「二分查找 binary search」是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮减少一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。
「二分查找 binary search」是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。
!!! question
给定一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列，数组不包含重复元素。请查找并返回元素 `target` 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 $-1$ 。
给定一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素 `target` 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 $-1$ 。示例如图 10-1 所示。
![二分查找示例数据](binary_search.assets/binary_search_example.png){ class="animation-figure" }
@@ -51,6 +51,8 @@ comments: true
值得注意的是，由于 $i$ 和 $j$ 都是 `int` 类型，**因此 $i + j$ 可能会超出 `int` 类型的取值范围**。为了避免大数越界，我们通常采用公式 $m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor$ 来计算中点。
代码如下所示：
=== "Python"
```python title="binary_search.py"
@@ -338,16 +340,16 @@ comments: true
## 10.1.1   区间表示方法
除了上述的双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 $[0, n)$ ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 $[i, j]$ 在 $i = j$ 时为空。
除了上述双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 $[0, n)$ ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 $[i, j]$ 在 $i = j$ 时为空。
我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法。
我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法：
=== "Python"
```python title="binary_search.py"
def binary_search_lcro(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分查找（左闭右开）"""
# 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
"""二分查找（左闭右开区间）"""
# 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
i, j = 0, len(nums)
# 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while i < j:
@@ -364,9 +366,9 @@ comments: true
=== "C++"
```cpp title="binary_search.cpp"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
int binarySearchLCRO(vector<int> &nums, int target) {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = nums.size();
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
@@ -386,9 +388,9 @@ comments: true
=== "Java"
```java title="binary_search.java"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
int binarySearchLCRO(int[] nums, int target) {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = nums.length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
@@ -408,9 +410,9 @@ comments: true
=== "C#"
```csharp title="binary_search.cs"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
int BinarySearchLCRO(int[] nums, int target) {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = nums.Length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
@@ -430,9 +432,9 @@ comments: true
=== "Go"
```go title="binary_search.go"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
func binarySearchLCRO(nums []int, target int) int {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
i, j := 0, len(nums)
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
for i < j {
@@ -453,9 +455,9 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title="binary_search.swift"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
func binarySearchLCRO(nums: [Int], target: Int) -> Int {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
var i = 0
var j = nums.count
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
@@ -477,9 +479,9 @@ comments: true
=== "JS"
```javascript title="binary_search.js"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
function binarySearchLCRO(nums, target) {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
let i = 0,
j = nums.length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
@@ -503,9 +505,9 @@ comments: true
=== "TS"
```typescript title="binary_search.ts"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
function binarySearchLCRO(nums: number[], target: number): number {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
let i = 0,
j = nums.length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
@@ -532,7 +534,7 @@ comments: true
```dart title="binary_search.dart"
/* 二分查找（左闭右开区间） */
int binarySearchLCRO(List<int> nums, int target) {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = nums.length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
@@ -556,9 +558,9 @@ comments: true
=== "Rust"
```rust title="binary_search.rs"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
fn binary_search_lcro(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
let mut i = 0;
let mut j = nums.len() as i32;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
@@ -580,9 +582,9 @@ comments: true
=== "C"
```c title="binary_search.c"
/* 二分查找（左闭右开） */
/* 二分查找（左闭右开区间） */
int binarySearchLCRO(int *nums, int len, int target) {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = len;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
@@ -602,9 +604,9 @@ comments: true
=== "Zig"
```zig title="binary_search.zig"
// 二分查找（左闭右开）
// 二分查找（左闭右开区间）
fn binarySearchLCRO(comptime T: type, nums: std.ArrayList(T), target: T) T {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
var i: usize = 0;
var j: usize = nums.items.len;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
@@ -625,7 +627,7 @@ comments: true
如图 10-3 所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。
由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间，因此指针 $i$ 和 $j$ 缩小区间操作也是对称的。这样更不容易出错，**因此一般建议采用“双闭区间”的写法**。
由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间，因此通过指针 $i$ 和指针 $j$ 缩小区间的操作也是对称的。这样更不容易出错，**因此一般建议采用“双闭区间”的写法**。
![两种区间定义](binary_search.assets/binary_search_ranges.png){ class="animation-figure" }
@@ -642,4 +644,4 @@ comments: true
- 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 $O(n)$ ，也是非常昂贵的。
- 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
- 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 $n$ 较小时，线性查找反而比二分查找更快。
- 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 $n$ 较小时，线性查找反而比二分查找更快。
docs/chapter_searching/binary_search_edge.md
+5 -5
View File
@@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
!!! question
给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，数组可能包含重复元素。请返回数组中最左一个元素 `target` 的索引。若数组中不包含该元素，则返回 $-1$ 。
给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，其中可能包含重复元素。请返回数组中最左一个元素 `target` 的索引。若数组中不包含该元素，则返回 $-1$ 。
回忆二分查找插入点的方法，搜索完成后 $i$ 指向最左一个 `target` ，**因此查找插入点本质上是在查找最左一个 `target` 的索引**。
@@ -17,7 +17,7 @@ comments: true
- 插入点的索引 $i$ 越界。
- 元素 `nums[i]` 与 `target` 不相等。
当遇到以上两种情况时，直接返回 $-1$ 即可。
当遇到以上两种情况时，直接返回 $-1$ 即可。代码如下所示：
=== "Python"
@@ -201,7 +201,7 @@ comments: true
## 10.3.2 &nbsp; 查找右边界
那么如何查找最右一个 `target` 呢？最直接的方式是修改代码，替换在 `nums[m] == target` 情况下的指针收缩操作。代码在此省略，有兴趣的同学可以自行实现。
那么如何查找最右一个 `target` 呢？最直接的方式是修改代码，替换在 `nums[m] == target` 情况下的指针收缩操作。代码在此省略，有兴趣的读者可以自行实现。
下面我们介绍两种更加取巧的方法。
@@ -215,7 +215,7 @@ comments: true
<p align="center"> 图 10-7 &nbsp; 将查找右边界转化为查找左边界 </p>
请注意，返回的插入点是 $i$ ，因此需要将其减 $1$ ，从而获得 $j$ 。
请注意，返回的插入点是 $i$ ，因此需要将其减 $1$ ，从而获得 $j$ ：
=== "Python"
@@ -432,7 +432,7 @@ comments: true
<p align="center"> 图 10-8 &nbsp; 将查找边界转化为查找元素 </p>
代码在此省略，值得注意以下两点。
代码在此省略，以下两点值得注意。
- 给定数组不包含小数，这意味着我们无须关心如何处理相等的情况。
- 因为该方法引入了小数，所以需要将函数中的变量 `target` 改为浮点数类型。
docs/chapter_searching/binary_search_insertion.md
+5 -5
View File
@@ -4,19 +4,19 @@ comments: true
# 10.2 &nbsp; 二分查找插入点
二分查找不仅可用于搜索目标元素，还具有许多变种问题，比如搜索目标元素的插入位置。
二分查找不仅可用于搜索目标元素，还可用于解决许多变种问题，比如搜索目标元素的插入位置。
## 10.2.1 &nbsp; 无重复元素的情况
!!! question
给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` 和一个元素 `target` ，数组不存在重复元素。现将 `target` 插入到数组 `nums` 中，并保持其有序性。若数组中已存在元素 `target` ，则插入到其左方。请返回插入后 `target` 在数组中的索引。
给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` 和一个元素 `target` ，数组不存在重复元素。现将 `target` 插入数组 `nums` 中，并保持其有序性。若数组中已存在元素 `target` ，则插入到其左方。请返回插入后 `target` 在数组中的索引。
![二分查找插入点示例数据](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_example.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 图 10-4 &nbsp; 二分查找插入点示例数据 </p>
如果想要复用上节的二分查找代码，则需要回答以下两个问题。
如果想复用上一节的二分查找代码，则需要回答以下两个问题。
**问题一**：当数组中包含 `target` 时，插入点的索引是否是该元素的索引？
@@ -26,7 +26,7 @@ comments: true
进一步思考二分查找过程：当 `nums[m] < target` 时 $i$ 移动，这意味着指针 $i$ 在向大于等于 `target` 的元素靠近。同理，指针 $j$ 始终在向小于等于 `target` 的元素靠近。
因此二分结束时一定有：$i$ 指向首个大于 `target` 的元素，$j$ 指向首个小于 `target` 的元素。**易得当数组不包含 `target` 时，插入索引为 $i$** 。
因此二分结束时一定有：$i$ 指向首个大于 `target` 的元素，$j$ 指向首个小于 `target` 的元素。**易得当数组不包含 `target` 时，插入索引为 $i$** 。代码如下所示：
=== "Python"
@@ -291,7 +291,7 @@ comments: true
此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 $O(n)$ 。当数组中存在很多重复的 `target` 时，该方法效率很低。
现考虑拓展二分查找代码。如图 10-6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 $m$ ，再判断 `target` 和 `nums[m]` 大小关系，分为以下几种情况。
现考虑拓展二分查找代码。如图 10-6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 $m$ ，再判断 `target` 和 `nums[m]` 的大小关系，分为以下几种情况。
- 当 `nums[m] < target` 或 `nums[m] > target` 时，说明还没有找到 `target` ，因此采用普通二分查找的缩小区间操作，**从而使指针 $i$ 和 $j$ 向 `target` 靠近**。
- 当 `nums[m] == target` 时，说明小于 `target` 的元素在区间 $[i, m - 1]$ 中，因此采用 $j = m - 1$ 来缩小区间，**从而使指针 $j$ 向小于 `target` 的元素靠近**。
docs/chapter_searching/replace_linear_by_hashing.md
+39 -37
View File
@@ -12,18 +12,20 @@ comments: true
## 10.4.1 &nbsp; 线性查找：以时间换空间
考虑直接遍历所有可能的组合。如图 10-9 所示，我们开启一个两层循环，在每轮中判断两个整数的和是否为 `target` ，若是则返回它们的索引。
考虑直接遍历所有可能的组合。如图 10-9 所示，我们开启一个两层循环，在每轮中判断两个整数的和是否为 `target` ，若是，则返回它们的索引。
![线性查找求解两数之和](replace_linear_by_hashing.assets/two_sum_brute_force.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 图 10-9 &nbsp; 线性查找求解两数之和 </p>
代码如下所示：
=== "Python"
```python title="two_sum.py"
def two_sum_brute_force(nums: list[int], target: int) -> list[int]:
"""方法一：暴力枚举"""
# 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
# 两层循环，时间复杂度为 O(n^2)
for i in range(len(nums) - 1):
for j in range(i + 1, len(nums)):
if nums[i] + nums[j] == target:
@@ -37,7 +39,7 @@ comments: true
/* 方法一：暴力枚举 */
vector<int> twoSumBruteForce(vector<int> &nums, int target) {
int size = nums.size();
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
// 两层循环，时间复杂度为 O(n^2)
for (int i = 0; i < size - 1; i++) {
for (int j = i + 1; j < size; j++) {
if (nums[i] + nums[j] == target)
@@ -54,7 +56,7 @@ comments: true
/* 方法一：暴力枚举 */
int[] twoSumBruteForce(int[] nums, int target) {
int size = nums.length;
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
// 两层循环，时间复杂度为 O(n^2)
for (int i = 0; i < size - 1; i++) {
for (int j = i + 1; j < size; j++) {
if (nums[i] + nums[j] == target)
@@ -71,7 +73,7 @@ comments: true
/* 方法一：暴力枚举 */
int[] TwoSumBruteForce(int[] nums, int target) {
int size = nums.Length;
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
// 两层循环，时间复杂度为 O(n^2)
for (int i = 0; i < size - 1; i++) {
for (int j = i + 1; j < size; j++) {
if (nums[i] + nums[j] == target)
@@ -88,7 +90,7 @@ comments: true
/* 方法一：暴力枚举 */
func twoSumBruteForce(nums []int, target int) []int {
size := len(nums)
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
// 两层循环，时间复杂度为 O(n^2)
for i := 0; i < size-1; i++ {
for j := i + 1; i < size; j++ {
if nums[i]+nums[j] == target {
@@ -105,7 +107,7 @@ comments: true
```swift title="two_sum.swift"
/* 方法一：暴力枚举 */
func twoSumBruteForce(nums: [Int], target: Int) -> [Int] {
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
// 两层循环，时间复杂度为 O(n^2)
for i in nums.indices.dropLast() {
for j in nums.indices.dropFirst(i + 1) {
if nums[i] + nums[j] == target {
@@ -123,7 +125,7 @@ comments: true
/* 方法一：暴力枚举 */
function twoSumBruteForce(nums, target) {
const n = nums.length;
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
// 两层循环，时间复杂度为 O(n^2)
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = i + 1; j < n; j++) {
if (nums[i] + nums[j] === target) {
@@ -141,7 +143,7 @@ comments: true
/* 方法一：暴力枚举 */
function twoSumBruteForce(nums: number[], target: number): number[] {
const n = nums.length;
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
// 两层循环，时间复杂度为 O(n^2)
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = i + 1; j < n; j++) {
if (nums[i] + nums[j] === target) {
@@ -159,7 +161,7 @@ comments: true
/* 方法一： 暴力枚举 */
List<int> twoSumBruteForce(List<int> nums, int target) {
int size = nums.length;
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
// 两层循环，时间复杂度为 O(n^2)
for (var i = 0; i < size - 1; i++) {
for (var j = i + 1; j < size; j++) {
if (nums[i] + nums[j] == target) return [i, j];
@@ -175,7 +177,7 @@ comments: true
/* 方法一：暴力枚举 */
pub fn two_sum_brute_force(nums: &Vec<i32>, target: i32) -> Option<Vec<i32>> {
let size = nums.len();
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
// 两层循环，时间复杂度为 O(n^2)
for i in 0..size - 1 {
for j in i + 1..size {
if nums[i] + nums[j] == target {
@@ -214,7 +216,7 @@ comments: true
fn twoSumBruteForce(nums: []i32, target: i32) ?[2]i32 {
var size: usize = nums.len;
var i: usize = 0;
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
// 两层循环，时间复杂度为 O(n^2)
while (i < size - 1) : (i += 1) {
var j = i + 1;
while (j < size) : (j += 1) {
@@ -233,7 +235,7 @@ comments: true
考虑借助一个哈希表，键值对分别为数组元素和元素索引。循环遍历数组，每轮执行图 10-10 所示的步骤。
1. 判断数字 `target - nums[i]` 是否在哈希表中，若是则直接返回这两个元素的索引。
1. 判断数字 `target - nums[i]` 是否在哈希表中，若是，则直接返回这两个元素的索引。
2. 将键值对 `nums[i]` 和索引 `i` 添加进哈希表。
=== "<1>"
@@ -247,16 +249,16 @@ comments: true
<p align="center"> 图 10-10 &nbsp; 辅助哈希表求解两数之和 </p>
实现代码如下所示，仅需单层循环即可。
实现代码如下所示，仅需单层循环即可：
=== "Python"
```python title="two_sum.py"
def two_sum_hash_table(nums: list[int], target: int) -> list[int]:
"""方法二：辅助哈希表"""
# 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
# 辅助哈希表，空间复杂度为 O(n)
dic = {}
# 单层循环，时间复杂度 O(n)
# 单层循环，时间复杂度为 O(n)
for i in range(len(nums)):
if target - nums[i] in dic:
return [dic[target - nums[i]], i]
@@ -270,9 +272,9 @@ comments: true
/* 方法二：辅助哈希表 */
vector<int> twoSumHashTable(vector<int> &nums, int target) {
int size = nums.size();
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
// 辅助哈希表，空间复杂度为 O(n)
unordered_map<int, int> dic;
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
// 单层循环，时间复杂度为 O(n)
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (dic.find(target - nums[i]) != dic.end()) {
return {dic[target - nums[i]], i};
@@ -289,9 +291,9 @@ comments: true
/* 方法二：辅助哈希表 */
int[] twoSumHashTable(int[] nums, int target) {
int size = nums.length;
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
// 辅助哈希表，空间复杂度为 O(n)
Map<Integer, Integer> dic = new HashMap<>();
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
// 单层循环，时间复杂度为 O(n)
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (dic.containsKey(target - nums[i])) {
return new int[] { dic.get(target - nums[i]), i };
@@ -308,9 +310,9 @@ comments: true
/* 方法二：辅助哈希表 */
int[] TwoSumHashTable(int[] nums, int target) {
int size = nums.Length;
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
// 辅助哈希表，空间复杂度为 O(n)
Dictionary<int, int> dic = [];
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
// 单层循环，时间复杂度为 O(n)
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (dic.ContainsKey(target - nums[i])) {
return [dic[target - nums[i]], i];
@@ -326,9 +328,9 @@ comments: true
```go title="two_sum.go"
/* 方法二：辅助哈希表 */
func twoSumHashTable(nums []int, target int) []int {
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
// 辅助哈希表，空间复杂度为 O(n)
hashTable := map[int]int{}
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
// 单层循环，时间复杂度为 O(n)
for idx, val := range nums {
if preIdx, ok := hashTable[target-val]; ok {
return []int{preIdx, idx}
@@ -344,9 +346,9 @@ comments: true
```swift title="two_sum.swift"
/* 方法二：辅助哈希表 */
func twoSumHashTable(nums: [Int], target: Int) -> [Int] {
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
// 辅助哈希表，空间复杂度为 O(n)
var dic: [Int: Int] = [:]
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
// 单层循环，时间复杂度为 O(n)
for i in nums.indices {
if let j = dic[target - nums[i]] {
return [j, i]
@@ -362,9 +364,9 @@ comments: true
```javascript title="two_sum.js"
/* 方法二：辅助哈希表 */
function twoSumHashTable(nums, target) {
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
// 辅助哈希表，空间复杂度为 O(n)
let m = {};
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
// 单层循环，时间复杂度为 O(n)
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
if (m[target - nums[i]] !== undefined) {
return [m[target - nums[i]], i];
@@ -381,9 +383,9 @@ comments: true
```typescript title="two_sum.ts"
/* 方法二：辅助哈希表 */
function twoSumHashTable(nums: number[], target: number): number[] {
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
// 辅助哈希表，空间复杂度为 O(n)
let m: Map<number, number> = new Map();
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
// 单层循环，时间复杂度为 O(n)
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
let index = m.get(target - nums[i]);
if (index !== undefined) {
@@ -402,9 +404,9 @@ comments: true
/* 方法二： 辅助哈希表 */
List<int> twoSumHashTable(List<int> nums, int target) {
int size = nums.length;
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
// 辅助哈希表，空间复杂度为 O(n)
Map<int, int> dic = HashMap();
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
// 单层循环，时间复杂度为 O(n)
for (var i = 0; i < size; i++) {
if (dic.containsKey(target - nums[i])) {
return [dic[target - nums[i]]!, i];
@@ -420,9 +422,9 @@ comments: true
```rust title="two_sum.rs"
/* 方法二：辅助哈希表 */
pub fn two_sum_hash_table(nums: &Vec<i32>, target: i32) -> Option<Vec<i32>> {
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
// 辅助哈希表，空间复杂度为 O(n)
let mut dic = HashMap::new();
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
// 单层循环，时间复杂度为 O(n)
for (i, num) in nums.iter().enumerate() {
match dic.get(&(target - num)) {
Some(v) => return Some(vec![*v as i32, i as i32]),
@@ -486,11 +488,11 @@ comments: true
// 方法二：辅助哈希表
fn twoSumHashTable(nums: []i32, target: i32) !?[2]i32 {
var size: usize = nums.len;
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
// 辅助哈希表，空间复杂度为 O(n)
var dic = std.AutoHashMap(i32, i32).init(std.heap.page_allocator);
defer dic.deinit();
var i: usize = 0;
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
// 单层循环，时间复杂度为 O(n)
while (i < size) : (i += 1) {
if (dic.contains(target - nums[i])) {
return [_]i32{dic.get(target - nums[i]).?, @intCast(i)};
@@ -501,6 +503,6 @@ comments: true
}
```
此方法通过哈希查找将时间复杂度从 $O(n^2)$ 降低至 $O(n)$ ，大幅提升运行效率。
此方法通过哈希查找将时间复杂度从 $O(n^2)$ 降至 $O(n)$ ，大幅提升运行效率。
由于需要维护一个额外的哈希表，因此空间复杂度为 $O(n)$ 。**尽管如此，该方法的整体时空效率更为均衡，因此它是本题的最优解法**。
docs/chapter_searching/searching_algorithm_revisited.md
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@@ -18,7 +18,7 @@ comments: true
暴力搜索通过遍历数据结构的每个元素来定位目标元素。
- “线性搜索”适用于数组和链表等线性数据结构。它从数据结构的一端开始，逐个访问元素，直到找到目标元素或到达另一端仍没有找到目标元素为止。
- “广度优先搜索”和“深度优先搜索”是图和树的两种遍历策略。广度优先搜索从初始节点开始逐层搜索，由近及远地访问各个节点。深度优先搜索是从初始节点开始，沿着一条路径走到头为止，再回溯并尝试其他路径，直到遍历完整个数据结构。
- “广度优先搜索”和“深度优先搜索”是图和树的两种遍历策略。广度优先搜索从初始节点开始逐层搜索，由近及远地访问各个节点。深度优先搜索从初始节点开始，沿着一条路径走到头，再回溯并尝试其他路径，直到遍历完整个数据结构。
暴力搜索的优点是简单且通用性好，**无须对数据做预处理和借助额外的数据结构**。
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此类算法的优点是效率高，**时间复杂度可达到 $O(\log n)$ 甚至 $O(1)$** 。
然而，**使用这些算法往往需要对数据进行预处理**。例如，二分查找需要预先对数组进行排序，哈希查找和树查找都需要借助额外的数据结构，维护这些数据结构也需要额外的时间和空间开支。
然而，**使用这些算法往往需要对数据进行预处理**。例如，二分查找需要预先对数组进行排序，哈希查找和树查找都需要借助额外的数据结构，维护这些数据结构也需要额外的时间和空间开销。
!!! note
!!! tip
自适应搜索算法常被称为查找算法，**主要关注在特定数据结构中快速检索目标元素**。
自适应搜索算法常被称为查找算法，**主要用于在特定数据结构中快速检索目标元素**。
## 10.5.3 &nbsp; 搜索方法选取
给定大小为 $n$ 的一组数据，我们可以使用线性搜索、二分查找、树查找、哈希查找等多种方法在该数据中搜索目标元素。各个方法的工作原理如图 10-11 所示。
给定大小为 $n$ 的一组数据，我们可以使用线性搜索、二分查找、树查找、哈希查找等多种方法从中搜索目标元素。各个方法的工作原理如图 10-11 所示。
![多种搜索策略](searching_algorithm_revisited.assets/searching_algorithms.png){ class="animation-figure" }
docs/chapter_searching/summary.md
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@@ -4,9 +4,9 @@ comments: true
# 10.6 &nbsp; 小结
- 二分查找依赖于数据的有序性，通过循环逐步缩减一半搜索区间来实现查找。它要求输入数据有序，且仅适用于数组或基于数组实现的数据结构。
- 暴力搜索通过遍历数据结构来定位数据。线性搜索适用于数组和链表，广度优先搜索和深度优先搜索适用于图和树。此类算法通用性好，无须对数据预处理，但时间复杂度 $O(n)$ 较高。
- 二分查找依赖数据的有序性，通过循环逐步缩减一半搜索区间来进行查找。它要求输入数据有序，且仅适用于数组或基于数组实现的数据结构。
- 暴力搜索通过遍历数据结构来定位数据。线性搜索适用于数组和链表，广度优先搜索和深度优先搜索适用于图和树。此类算法通用性好，无须对数据进行预处理，但时间复杂度 $O(n)$ 较高。
- 哈希查找、树查找和二分查找属于高效搜索方法，可在特定数据结构中快速定位目标元素。此类算法效率高，时间复杂度可达 $O(\log n)$ 甚至 $O(1)$ ，但通常需要借助额外数据结构。
- 实际中，我们需要对数据体量、搜索性能要求、数据查询和更新频率等因素进行具体分析，从而选择合适的搜索方法。
- 线性搜索适用于小型或频繁更新的数据；二分查找适用于大型、排序的数据；哈希查找适合对查询效率要求较高且无须范围查询的数据；树查找适用于需要维护顺序和支持范围查询的大型动态数据。
- 用哈希查找替换线性查找是一种常用的优化运行时间的策略，可将时间复杂度从 $O(n)$ 降低至 $O(1)$ 。
- 线性搜索适用于小型或频繁更新的数据；二分查找适用于大型、排序的数据；哈希查找适用于对查询效率要求较高且无须范围查询的数据；树查找适用于需要维护顺序和支持范围查询的大型动态数据。
- 用哈希查找替换线性查找是一种常用的优化运行时间的策略，可将时间复杂度从 $O(n)$ 降至 $O(1)$ 。