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+21 -19
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@@ -4,22 +4,24 @@ comments: true
# 11.8   桶排序
前述的几种排序算法都属于“基于比较的排序算法”，它们通过比较元素间的大小来实现排序。此类排序算法的时间复杂度无法超越 $O(n \log n)$ 。接下来，我们将探讨几种“非比较排序算法”，它们的时间复杂度可以达到线性阶。
前述几种排序算法都属于“基于比较的排序算法”，它们通过比较元素间的大小来实现排序。此类排序算法的时间复杂度无法超越 $O(n \log n)$ 。接下来，我们将探讨几种“非比较排序算法”，它们的时间复杂度可以达到线性阶。
「桶排序 bucket sort」是分治策略的一个典型应用。它通过设置一些具有大小顺序的桶，每个桶对应一个数据范围，将数据平均分配到各个桶中；然后，在每个桶内部分别执行排序；最终按照桶的顺序将所有数据合并。
## 11.8.1   算法流程
考虑一个长度为 $n$ 的数组，元素是范围 $[0, 1)$ 的浮点数。桶排序的流程如图 11-13 所示。
考虑一个长度为 $n$ 的数组，其元素是范围 $[0, 1)$ 内的浮点数。桶排序的流程如图 11-13 所示。
1. 初始化 $k$ 个桶，将 $n$ 个元素分配到 $k$ 个桶中。
2. 对每个桶分别执行排序（本文采用编程语言的内置排序函数）。
3. 按照桶的从小到大的顺序，合并结果。
2. 对每个桶分别执行排序（这里采用编程语言的内置排序函数）。
3. 按照桶从小到大的顺序合并结果。
![桶排序算法流程](bucket_sort.assets/bucket_sort_overview.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 图 11-13 &nbsp; 桶排序算法流程 </p>
代码如下所示：
=== "Python"
```python title="bucket_sort.py"
@@ -30,7 +32,7 @@ comments: true
buckets = [[] for _ in range(k)]
# 1. 将数组元素分配到各个桶中
for num in nums:
# 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
# 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
i = int(num * k)
# 将 num 添加进桶 i
buckets[i].append(num)
@@ -56,7 +58,7 @@ comments: true
vector<vector<float>> buckets(k);
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for (float num : nums) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
int i = num * k;
// 将 num 添加进桶 bucket_idx
buckets[i].push_back(num);
@@ -89,7 +91,7 @@ comments: true
}
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for (float num : nums) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
int i = (int) (num * k);
// 将 num 添加进桶 i
buckets.get(i).add(num);
@@ -122,7 +124,7 @@ comments: true
}
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
foreach (float num in nums) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
int i = (int)(num * k);
// 将 num 添加进桶 i
buckets[i].Add(num);
@@ -155,7 +157,7 @@ comments: true
}
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for _, num := range nums {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
i := int(num * float64(k))
// 将 num 添加进桶 i
buckets[i] = append(buckets[i], num)
@@ -186,7 +188,7 @@ comments: true
var buckets = (0 ..< k).map { _ in [Double]() }
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for num in nums {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
let i = Int(num * Double(k))
// 将 num 添加进桶 i
buckets[i].append(num)
@@ -220,7 +222,7 @@ comments: true
}
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for (const num of nums) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
const i = Math.floor(num * k);
// 将 num 添加进桶 i
buckets[i].push(num);
@@ -253,7 +255,7 @@ comments: true
}
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for (const num of nums) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
const i = Math.floor(num * k);
// 将 num 添加进桶 i
buckets[i].push(num);
@@ -284,7 +286,7 @@ comments: true
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for (double _num in nums) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 _num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 _num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
int i = (_num * k).toInt();
// 将 _num 添加进桶 bucket_idx
buckets[i].add(_num);
@@ -313,7 +315,7 @@ comments: true
let mut buckets = vec![vec![]; k];
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for &mut num in &mut *nums {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
let i = (num * k as f64) as usize;
// 将 num 添加进桶 i
buckets[i].push(num);
@@ -349,7 +351,7 @@ comments: true
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for (int i = 0; i < size; i++) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
// 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
int bucket_idx = nums[i] * k;
int j = 0;
// 如果桶中有数据且数据小于当前值 nums[i], 要将其放到当前桶的后面，相当于 cpp 中的 push_back
@@ -397,17 +399,17 @@ comments: true
桶排序适用于处理体量很大的数据。例如，输入数据包含 100 万个元素，由于空间限制，系统内存无法一次性加载所有数据。此时，可以将数据分成 1000 个桶，然后分别对每个桶进行排序，最后将结果合并。
- **时间复杂度 $O(n + k)$** ：假设元素在各个桶内平均分布，那么每个桶内的元素数量为 $\frac{n}{k}$ 。假设排序单个桶使用 $O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})$ 时间，则排序所有桶使用 $O(n \log\frac{n}{k})$ 时间。**当桶数量 $k$ 比较大时，时间复杂度则趋向于 $O(n)$** 。合并结果时需要遍历所有桶和元素，花费 $O(n + k)$ 时间。
- **自适应排序**：在最坏情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序该桶使用 $O(n^2)$ 时间。
- **自适应排序**：在最差情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序该桶使用 $O(n^2)$ 时间。
- **空间复杂度 $O(n + k)$、非原地排序**：需要借助 $k$ 个桶和总共 $n$ 个元素的额外空间。
- 桶排序是否稳定取决于排序桶内元素的算法是否稳定。
## 11.8.3 &nbsp; 如何实现平均分配
桶排序的时间复杂度理论上可以达到 $O(n)$ ，**关键在于将元素均匀分配到各个桶中**，因为实际数据往往不是均匀分布的。例如，我们想要将淘宝上的所有商品按价格范围平均分配到 10 个桶中，但商品价格分布不均，低于 100 元的非常多，高于 1000 元的非常少。若将价格区间平均划分为 10 份，各个桶中的商品数量差距会非常大。
桶排序的时间复杂度理论上可以达到 $O(n)$ ，**关键在于将元素均匀分配到各个桶中**，因为实际数据往往不是均匀分布的。例如，我们想要将淘宝上的所有商品按价格范围平均分配到 10 个桶中，但商品价格分布不均，低于 100 元的非常多，高于 1000 元的非常少。若将价格区间平均划分为 10 个，各个桶中的商品数量差距会非常大。
为实现平均分配，我们可以先设定一个大致的分界线，将数据粗略地分到 3 个桶中。**分配完毕后，再将商品较多的桶继续划分为 3 个桶，直至所有桶中的元素数量大致相等**。
为实现平均分配，我们可以先设定一条大致的分界线，将数据粗略地分到 3 个桶中。**分配完毕后，再将商品较多的桶继续划分为 3 个桶，直至所有桶中的元素数量大致相等**。
如图 11-14 所示，这种方法本质上是创建一个递归树，目标是让叶节点的值尽可能平均。当然，不一定要每轮将数据划分为 3 个桶，具体划分方式可根据数据特点灵活选择。
如图 11-14 所示，这种方法本质上是创建一棵递归树，目标是让叶节点的值尽可能平均。当然，不一定要每轮将数据划分为 3 个桶，具体划分方式可根据数据特点灵活选择。
![递归划分桶](bucket_sort.assets/scatter_in_buckets_recursively.png){ class="animation-figure" }