build

chapter_heap/build_heap.md

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 # 8.2.   建堆操作 *
 
-如果我们想要根据输入列表来生成一个堆，这样的操作被称为「建堆」。
+如果我们想要根据输入列表生成一个堆，这个过程被称为「建堆」。
 
 ## 8.2.1.   两种建堆方法
 
 ### 借助入堆方法实现
 
-最直接地，考虑借助「元素入堆」方法，先建立一个空堆，**再将列表元素依次入堆即可**。
+最直接的方法是借助“元素入堆操作”实现，首先创建一个空堆，然后将列表元素依次添加到堆中。
 
-设元素数量为 $n$ ，则最后一个元素入堆的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，在依次入堆时，堆的平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
+设元素数量为 $n$ ，则最后一个元素入堆的时间复杂度为 $O(\log n)$ 。在依次添加元素时，堆的平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
 
 ### 基于堆化操作实现
 
-有趣的是，存在一种更加高效的建堆方法，时间复杂度可以达到 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，**然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」**。当然，**无需对叶结点执行堆化**，因为其没有子结点。
+有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度仅为 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，**然后迭代地对各个结点执行“从顶至底堆化”**。当然，**我们不需要对叶结点执行堆化操作**，因为它们没有子结点。
 
 === "Java"
 
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 ## 8.2.2.   复杂度分析
 
-第二种建堆方法的时间复杂度为什么是 $O(n)$ 呢？我们来展开推算一下。
+为什么第二种建堆方法的时间复杂度是 $O(n)$ ？我们来展开推算一下。
 
-- 完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此在排除叶结点后，需要堆化结点数量为 $(n - 1)/2$ ，即为 $O(n)$ ；
-- 从顶至底堆化中，每个结点最多堆化至叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ；
+- 完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此，在排除叶结点后，需要堆化的结点数量为 $(n - 1)/2$ ，复杂度为 $O(n)$ ；
+- 在从顶至底堆化的过程中，每个结点最多堆化到叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ；
 
-将上述两者相乘，可得时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。这个估算结果不够准确，因为我们没有考虑到 **二叉树底层结点远多于顶层结点** 的性质。
+将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$。**然而，这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层结点数量远多于顶层结点的特性**。
 
-下面我们来展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”**。
+接下来我们来进行更为详细的计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而该距离正是“结点高度”**。
 
 ![完美二叉树的各层结点数量](build_heap.assets/heapify_operations_count.png)
 
 <p align="center"> Fig. 完美二叉树的各层结点数量 </p>
 
-因此，我们将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，即可得到 **所有结点的堆化的迭代次数总和**。
+因此，我们可以将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，**从而得到所有结点的堆化迭代次数的总和**。
 
 $$
 T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
 $$
 
-化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，易得
+化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，得到
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -191,7 +191,7 @@ $$
 2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h
 $$
 
-观察上式，$T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为
+观察上式，发现 $T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为
 
 $$
 \begin{aligned}