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2023-08-22 13:50:24 +08:00
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commit b70b7c9e75
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+17 -17
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@@ -3474,44 +3474,44 @@ E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \newline
G & = \{ V, E \} \newline
\end{aligned}
\]</div>
<p>如果将顶点看作节点,将边看作连接各个节点的引用(指针),我们就可以将图看作是一种从链表拓展而来的数据结构。如图所示,<strong>相较于线性关系(链表)和分治关系(树),网络关系(图)的自由度更高</strong>,从而更为复杂。</p>
<p>如果将顶点看作节点,将边看作连接各个节点的引用(指针),我们就可以将图看作是一种从链表拓展而来的数据结构。如图 9-1 所示,<strong>相较于线性关系(链表)和分治关系(树),网络关系(图)的自由度更高</strong>,从而更为复杂。</p>
<p><img alt="链表、树、图之间的关系" src="../graph.assets/linkedlist_tree_graph.png" /></p>
<p align="center">链表、树、图之间的关系 </p>
<p align="center"> 9-1 &nbsp; 链表、树、图之间的关系 </p>
<h2 id="911">9.1.1 &nbsp; 图常见类型与术语<a class="headerlink" href="#911" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>根据边是否具有方向,可分为图所示的「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph」。</p>
<p>根据边是否具有方向,可分为图 9-2 所示的「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph」。</p>
<ul>
<li>在无向图中,边表示两顶点之间的“双向”连接关系,例如微信或 QQ 中的“好友关系”。</li>
<li>在有向图中,边具有方向性,即 <span class="arithmatex">\(A \rightarrow B\)</span><span class="arithmatex">\(A \leftarrow B\)</span> 两个方向的边是相互独立的,例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系。</li>
</ul>
<p><img alt="有向图与无向图" src="../graph.assets/directed_graph.png" /></p>
<p align="center">有向图与无向图 </p>
<p align="center"> 9-2 &nbsp; 有向图与无向图 </p>
<p>根据所有顶点是否连通,可分为图所示的「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」。</p>
<p>根据所有顶点是否连通,可分为图 9-3 所示的「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」。</p>
<ul>
<li>对于连通图,从某个顶点出发,可以到达其余任意顶点。</li>
<li>对于非连通图,从某个顶点出发,至少有一个顶点无法到达。</li>
</ul>
<p><img alt="连通图与非连通图" src="../graph.assets/connected_graph.png" /></p>
<p align="center">连通图与非连通图 </p>
<p align="center"> 9-3 &nbsp; 连通图与非连通图 </p>
<p>我们还可以为边添加“权重”变量,从而得到图所示的「有权图 weighted graph」。例如在王者荣耀等手游中,系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”,这种亲密度网络就可以用有权图来表示。</p>
<p>我们还可以为边添加“权重”变量,从而得到图 9-4 所示的「有权图 weighted graph」。例如在王者荣耀等手游中,系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”,这种亲密度网络就可以用有权图来表示。</p>
<p><img alt="有权图与无权图" src="../graph.assets/weighted_graph.png" /></p>
<p align="center">有权图与无权图 </p>
<p align="center"> 9-4 &nbsp; 有权图与无权图 </p>
<p>图的常用术语包括:</p>
<ul>
<li>「邻接 adjacency」:当两顶点之间存在边相连时,称这两顶点“邻接”。在图中,顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。</li>
<li>「路径 path」:从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。在图中,边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。</li>
<li>「邻接 adjacency」:当两顶点之间存在边相连时,称这两顶点“邻接”。在图 9-4 中,顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。</li>
<li>「路径 path」:从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。在图 9-4 中,边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。</li>
<li>「度 degree」:一个顶点拥有的边数。对于有向图,「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点,「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。</li>
</ul>
<h2 id="912">9.1.2 &nbsp; 图的表示<a class="headerlink" href="#912" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>图的常用表示方式包括“邻接矩阵”和“邻接表”。以下使用无向图进行举例。</p>
<h3 id="1">1. &nbsp; 邻接矩阵<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>设图的顶点数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ,「邻接矩阵 adjacency matrix」使用一个 <span class="arithmatex">\(n \times n\)</span> 大小的矩阵来表示图,每一行(列)代表一个顶点,矩阵元素代表边,用 <span class="arithmatex">\(1\)</span><span class="arithmatex">\(0\)</span> 表示两个顶点之间是否存在边。</p>
<p>图所示,设邻接矩阵为 <span class="arithmatex">\(M\)</span> 、顶点列表为 <span class="arithmatex">\(V\)</span> ,那么矩阵元素 <span class="arithmatex">\(M[i, j] = 1\)</span> 表示顶点 <span class="arithmatex">\(V[i]\)</span> 到顶点 <span class="arithmatex">\(V[j]\)</span> 之间存在边,反之 <span class="arithmatex">\(M[i, j] = 0\)</span> 表示两顶点之间无边。</p>
<p>如图 9-5 所示,设邻接矩阵为 <span class="arithmatex">\(M\)</span> 、顶点列表为 <span class="arithmatex">\(V\)</span> ,那么矩阵元素 <span class="arithmatex">\(M[i, j] = 1\)</span> 表示顶点 <span class="arithmatex">\(V[i]\)</span> 到顶点 <span class="arithmatex">\(V[j]\)</span> 之间存在边,反之 <span class="arithmatex">\(M[i, j] = 0\)</span> 表示两顶点之间无边。</p>
<p><img alt="图的邻接矩阵表示" src="../graph.assets/adjacency_matrix.png" /></p>
<p align="center">图的邻接矩阵表示 </p>
<p align="center"> 9-5 &nbsp; 图的邻接矩阵表示 </p>
<p>邻接矩阵具有以下特性:</p>
<ul>
@@ -3521,15 +3521,15 @@ G &amp; = \{ V, E \} \newline
</ul>
<p>使用邻接矩阵表示图时,我们可以直接访问矩阵元素以获取边,因此增删查操作的效率很高,时间复杂度均为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。然而,矩阵的空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> ,内存占用较多。</p>
<h3 id="2">2. &nbsp; 邻接表<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>「邻接表 adjacency list」使用 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个链表来表示图,链表节点表示顶点。第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 条链表对应顶点 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ,其中存储了该顶点的所有邻接顶点(即与该顶点相连的顶点)。图展示了一个使用邻接表存储的图的示例。</p>
<p>「邻接表 adjacency list」使用 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个链表来表示图,链表节点表示顶点。第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 条链表对应顶点 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ,其中存储了该顶点的所有邻接顶点(即与该顶点相连的顶点)。图 9-6 展示了一个使用邻接表存储的图的示例。</p>
<p><img alt="图的邻接表表示" src="../graph.assets/adjacency_list.png" /></p>
<p align="center">图的邻接表表示 </p>
<p align="center"> 9-6 &nbsp; 图的邻接表表示 </p>
<p>邻接表仅存储实际存在的边,而边的总数通常远小于 <span class="arithmatex">\(n^2\)</span> ,因此它更加节省空间。然而,在邻接表中需要通过遍历链表来查找边,因此其时间效率不如邻接矩阵。</p>
<p>观察图,<strong>邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似,因此我们也可以采用类似方法来优化效率</strong>。比如当链表较长时,可以将链表转化为 AVL 树或红黑树,从而将时间效率从 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 优化至 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> ;还可以把链表转换为哈希表,从而将时间复杂度降低至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span></p>
<p>观察图 9-6 <strong>邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似,因此我们也可以采用类似方法来优化效率</strong>。比如当链表较长时,可以将链表转化为 AVL 树或红黑树,从而将时间效率从 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 优化至 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> ;还可以把链表转换为哈希表,从而将时间复杂度降低至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span></p>
<h2 id="913">9.1.3 &nbsp; 图常见应用<a class="headerlink" href="#913" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>下图所示,许多现实系统都可以用图来建模,相应的问题也可以约化为图计算问题。</p>
<p align="center">现实生活中常见的图 </p>
<p>表 9-1 所示,许多现实系统都可以用图来建模,相应的问题也可以约化为图计算问题。</p>
<p align="center"> 9-1 &nbsp; 现实生活中常见的图 </p>
<div class="center-table">
<table>
+7 -7
View File
@@ -3428,7 +3428,7 @@
<h1 id="92">9.2 &nbsp; 图基础操作<a class="headerlink" href="#92" title="Permanent link">&para;</a></h1>
<p>图的基础操作可分为对“边”的操作和对“顶点”的操作。在“邻接矩阵”和“邻接表”两种表示方法下,实现方式有所不同。</p>
<h2 id="921">9.2.1 &nbsp; 基于邻接矩阵的实现<a class="headerlink" href="#921" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>给定一个顶点数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的无向图,则各种操作的实现方式如图所示。</p>
<p>给定一个顶点数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的无向图,则各种操作的实现方式如图 9-7 所示。</p>
<ul>
<li><strong>添加或删除边</strong>:直接在邻接矩阵中修改指定的边即可,使用 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 时间。而由于是无向图,因此需要同时更新两个方向的边。</li>
<li><strong>添加顶点</strong>:在邻接矩阵的尾部添加一行一列,并全部填 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 即可,使用 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 时间。</li>
@@ -3454,7 +3454,7 @@
</div>
</div>
</div>
<p align="center">邻接矩阵的初始化、增删边、增删顶点 </p>
<p align="center"> 9-7 &nbsp; 邻接矩阵的初始化、增删边、增删顶点 </p>
<p>以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:12"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_12" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JS</label><label for="__tabbed_2_6">TS</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label><label for="__tabbed_2_11">Dart</label><label for="__tabbed_2_12">Rust</label></div>
@@ -4528,7 +4528,7 @@
</div>
</div>
<h2 id="922">9.2.2 &nbsp; 基于邻接表的实现<a class="headerlink" href="#922" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>设无向图的顶点总数为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 、边总数为 <span class="arithmatex">\(m\)</span> ,则可根据图所示的方法实现各种操作。</p>
<p>设无向图的顶点总数为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 、边总数为 <span class="arithmatex">\(m\)</span> ,则可根据图 9-8 所示的方法实现各种操作。</p>
<ul>
<li><strong>添加边</strong>:在顶点对应链表的末尾添加边即可,使用 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 时间。因为是无向图,所以需要同时添加两个方向的边。</li>
<li><strong>删除边</strong>:在顶点对应链表中查找并删除指定边,使用 <span class="arithmatex">\(O(m)\)</span> 时间。在无向图中,需要同时删除两个方向的边。</li>
@@ -4555,7 +4555,7 @@
</div>
</div>
</div>
<p align="center">邻接表的初始化、增删边、增删顶点 </p>
<p align="center"> 9-8 &nbsp; 邻接表的初始化、增删边、增删顶点 </p>
<p>以下是基于邻接表实现图的代码示例。细心的同学可能注意到,<strong>我们在邻接表中使用 <code>Vertex</code> 节点类来表示顶点</strong>,这样做的原因有:</p>
<ul>
@@ -5499,8 +5499,8 @@
</div>
</div>
<h2 id="923">9.2.3 &nbsp; 效率对比<a class="headerlink" href="#923" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>设图中共有 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个顶点和 <span class="arithmatex">\(m\)</span> 条边,表对比了邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率。</p>
<p align="center">邻接矩阵与邻接表对比 </p>
<p>设图中共有 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 个顶点和 <span class="arithmatex">\(m\)</span> 条边,表 9-2 对比了邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率。</p>
<p align="center"> 9-2 &nbsp; 邻接矩阵与邻接表对比 </p>
<div class="center-table">
<table>
@@ -5552,7 +5552,7 @@
</tbody>
</table>
</div>
<p>观察表,似乎邻接表(哈希表)的时间与空间效率最优。但实际上,在邻接矩阵中操作边的效率更高,只需要一次数组访问或赋值操作即可。综合来看,邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则,而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。</p>
<p>观察表 9-2 ,似乎邻接表(哈希表)的时间与空间效率最优。但实际上,在邻接矩阵中操作边的效率更高,只需要一次数组访问或赋值操作即可。综合来看,邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则,而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。</p>
+9 -9
View File
@@ -3499,9 +3499,9 @@
<p>图和树都是非线性数据结构,都需要使用搜索算法来实现遍历操作。</p>
<p>与树类似,图的遍历方式也可分为两种,即「广度优先遍历 breadth-first traversal」和「深度优先遍历 depth-first traversal」。它们也被称为「广度优先搜索 breadth-first search」和「深度优先搜索 depth-first search」,简称 BFS 和 DFS 。</p>
<h2 id="931">9.3.1 &nbsp; 广度优先遍历<a class="headerlink" href="#931" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p><strong>广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式,从某个节点出发,始终优先访问距离最近的顶点,并一层层向外扩张</strong>。如图所示,从左上角顶点出发,先遍历该顶点的所有邻接顶点,然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点,以此类推,直至所有顶点访问完毕。</p>
<p><strong>广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式,从某个节点出发,始终优先访问距离最近的顶点,并一层层向外扩张</strong>。如图 9-9 所示,从左上角顶点出发,先遍历该顶点的所有邻接顶点,然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点,以此类推,直至所有顶点访问完毕。</p>
<p><img alt="图的广度优先遍历" src="../graph_traversal.assets/graph_bfs.png" /></p>
<p align="center">图的广度优先遍历 </p>
<p align="center"> 9-9 &nbsp; 图的广度优先遍历 </p>
<h3 id="1">1. &nbsp; 算法实现<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质,这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。</p>
@@ -3853,7 +3853,7 @@
</div>
</div>
</div>
<p>代码相对抽象,建议对照图来加深理解。</p>
<p>代码相对抽象,建议对照图 9-10 来加深理解。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:11"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_2_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_2_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_2_4">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_2_5">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_2_6">&lt;6&gt;</label><label for="__tabbed_2_7">&lt;7&gt;</label><label for="__tabbed_2_8">&lt;8&gt;</label><label for="__tabbed_2_9">&lt;9&gt;</label><label for="__tabbed_2_10">&lt;10&gt;</label><label for="__tabbed_2_11">&lt;11&gt;</label></div>
<div class="tabbed-content">
<div class="tabbed-block">
@@ -3891,19 +3891,19 @@
</div>
</div>
</div>
<p align="center">图的广度优先遍历步骤 </p>
<p align="center"> 9-10 &nbsp; 图的广度优先遍历步骤 </p>
<div class="admonition question">
<p class="admonition-title">广度优先遍历的序列是否唯一?</p>
<p>不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历,<strong>而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的</strong>。以图为例,顶点 <span class="arithmatex">\(1\)</span> , <span class="arithmatex">\(3\)</span> 的访问顺序可以交换、顶点 <span class="arithmatex">\(2\)</span> , <span class="arithmatex">\(4\)</span> , <span class="arithmatex">\(6\)</span> 的访问顺序也可以任意交换。</p>
<p>不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历,<strong>而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的</strong>。以图 9-10 为例,顶点 <span class="arithmatex">\(1\)</span> , <span class="arithmatex">\(3\)</span> 的访问顺序可以交换、顶点 <span class="arithmatex">\(2\)</span> , <span class="arithmatex">\(4\)</span> , <span class="arithmatex">\(6\)</span> 的访问顺序也可以任意交换。</p>
</div>
<h3 id="2">2. &nbsp; 复杂度分析<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p><strong>时间复杂度:</strong> 所有顶点都会入队并出队一次,使用 <span class="arithmatex">\(O(|V|)\)</span> 时间;在遍历邻接顶点的过程中,由于是无向图,因此所有边都会被访问 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 次,使用 <span class="arithmatex">\(O(2|E|)\)</span> 时间;总体使用 <span class="arithmatex">\(O(|V| + |E|)\)</span> 时间。</p>
<p><strong>空间复杂度:</strong> 列表 <code>res</code> ,哈希表 <code>visited</code> ,队列 <code>que</code> 中的顶点数量最多为 <span class="arithmatex">\(|V|\)</span> ,使用 <span class="arithmatex">\(O(|V|)\)</span> 空间。</p>
<h2 id="932">9.3.2 &nbsp; 深度优先遍历<a class="headerlink" href="#932" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p><strong>深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式</strong>。如图所示,从左上角顶点出发,访问当前顶点的某个邻接顶点,直到走到尽头时返回,再继续走到尽头并返回,以此类推,直至所有顶点遍历完成。</p>
<p><strong>深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式</strong>。如图 9-11 所示,从左上角顶点出发,访问当前顶点的某个邻接顶点,直到走到尽头时返回,再继续走到尽头并返回,以此类推,直至所有顶点遍历完成。</p>
<p><img alt="图的深度优先遍历" src="../graph_traversal.assets/graph_dfs.png" /></p>
<p align="center">图的深度优先遍历 </p>
<p align="center"> 9-11 &nbsp; 图的深度优先遍历 </p>
<h3 id="1_1">1. &nbsp; 算法实现<a class="headerlink" href="#1_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似,在深度优先遍历中我们也需要借助一个哈希表 <code>visited</code> 来记录已被访问的顶点,以避免重复访问顶点。</p>
@@ -4233,7 +4233,7 @@
</div>
</div>
</div>
<p>深度优先遍历的算法流程如图所示,其中:</p>
<p>深度优先遍历的算法流程如图 9-12 所示,其中:</p>
<ul>
<li><strong>直虚线代表向下递推</strong>,表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。</li>
<li><strong>曲虚线代表向上回溯</strong>,表示此递归方法已经返回,回溯到了开启此递归方法的位置。</li>
@@ -4276,7 +4276,7 @@
</div>
</div>
</div>
<p align="center">图的深度优先遍历步骤 </p>
<p align="center"> 9-12 &nbsp; 图的深度优先遍历步骤 </p>
<div class="admonition question">
<p class="admonition-title">深度优先遍历的序列是否唯一?</p>