xinyin025/hello-algo
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2023-12-28 17:18:44 +08:00
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commit b8a5bd790b
114 changed files with 860 additions and 863 deletions
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chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/index.html
+2 -2
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@@ -1719,7 +1719,7 @@
<span class="md-ellipsis">
8.3 &nbsp; Top-K 问题
8.3 &nbsp; Top-k 问题
</span>
@@ -4003,7 +4003,7 @@ dp[i] = \min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
<p><a class="glightbox" href="../dp_problem_features.assets/climbing_stairs_constraint_example.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="带约束爬到第 3 阶的方案数量" class="animation-figure" src="../dp_problem_features.assets/climbing_stairs_constraint_example.png" /></a></p>
<p align="center"> 图 14-8 &nbsp; 带约束爬到第 3 阶的方案数量 </p>
<p>在该问题中，如果上一轮是跳 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 阶上来的，那么下一轮就必须跳 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 阶。这意味着，<strong>下一步选择不能由当前状态（当前所在楼梯阶数）独立决定，还和前一个状态（上轮所在楼梯阶数）有关</strong>。</p>
<p>在该问题中，如果上一轮是跳 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 阶上来的，那么下一轮就必须跳 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 阶。这意味着，<strong>下一步选择不能由当前状态（当前所在楼梯阶数）独立决定，还和前一个状态（上一轮所在楼梯阶数）有关</strong>。</p>
<p>不难发现，此问题已不满足无后效性，状态转移方程 <span class="arithmatex">\(dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]\)</span> 也失效了，因为 <span class="arithmatex">\(dp[i-1]\)</span> 代表本轮跳 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 阶，但其中包含了许多“上一轮是跳 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 阶上来的”方案，而为了满足约束，我们就不能将 <span class="arithmatex">\(dp[i-1]\)</span> 直接计入 <span class="arithmatex">\(dp[i]\)</span> 中。</p>
<p>为此，我们需要扩展状态定义：<strong>状态 <span class="arithmatex">\([i, j]\)</span> 表示处在第 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 阶并且上一轮跳了 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 阶</strong>，其中 <span class="arithmatex">\(j \in \{1, 2\}\)</span> 。此状态定义有效地区分了上一轮跳了 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 阶还是 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 阶，我们可以据此判断当前状态是从何而来的。</p>
<ul>
chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline/index.html
+2 -2
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@@ -1719,7 +1719,7 @@
<span class="md-ellipsis">
8.3 &nbsp; Top-K 问题
8.3 &nbsp; Top-k 问题
</span>
@@ -3618,7 +3618,7 @@
<li>问题的目标是找出所有可能的解决方案，而不是找出最优解。</li>
<li>问题描述中有明显的排列组合的特征，需要返回具体的多个方案。</li>
</ul>
<p>如果一个问题满足决策树模型，并具有较为明显的“加分项“，我们就可以假设它是一个动态规划问题，并在求解过程中验证它。</p>
<p>如果一个问题满足决策树模型，并具有较为明显的“加分项”，我们就可以假设它是一个动态规划问题，并在求解过程中验证它。</p>
<h2 id="1432">14.3.2 &nbsp; 问题求解步骤<a class="headerlink" href="#1432" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>动态规划的解题流程会因问题的性质和难度而有所不同，但通常遵循以下步骤：描述决策，定义状态，建立 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表，推导状态转移方程，确定边界条件等。</p>
<p>为了更形象地展示解题步骤，我们使用一个经典问题“最小路径和”来举例。</p>
chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem/index.html
+1 -1
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@@ -1719,7 +1719,7 @@
<span class="md-ellipsis">
8.3 &nbsp; Top-K 问题
8.3 &nbsp; Top-k 问题
</span>
chapter_dynamic_programming/index.html
+1 -1
View File
@@ -1719,7 +1719,7 @@
<span class="md-ellipsis">
8.3 &nbsp; Top-K 问题
8.3 &nbsp; Top-k 问题
</span>
chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming/index.html
+2 -2
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@@ -1719,7 +1719,7 @@
<span class="md-ellipsis">
8.3 &nbsp; Top-K 问题
8.3 &nbsp; Top-k 问题
</span>
@@ -4134,7 +4134,7 @@ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
<p align="center"> 图 14-3 &nbsp; 爬楼梯对应递归树 </p>
<p>观察图 14-3 ，<strong>指数阶的时间复杂度是“重叠子问题”导致的</strong>。例如 <span class="arithmatex">\(dp[9]\)</span> 被分解为 <span class="arithmatex">\(dp[8]\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(dp[7]\)</span> ，<span class="arithmatex">\(dp[8]\)</span> 被分解为 <span class="arithmatex">\(dp[7]\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(dp[6]\)</span> ，两者都包含子问题 <span class="arithmatex">\(dp[7]\)</span> 。</p>
<p>以此类推，子问题中包含更小的重叠子问题，子子孙孙无穷尽也。绝大部分计算资源都浪费在这些重叠的问题上。</p>
<p>以此类推，子问题中包含更小的重叠子问题，子子孙孙无穷尽也。绝大部分计算资源都浪费在这些重叠的子问题上。</p>
<h2 id="1412">14.1.2 &nbsp; 方法二：记忆化搜索<a class="headerlink" href="#1412" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>为了提升算法效率，<strong>我们希望所有的重叠子问题都只被计算一次</strong>。为此，我们声明一个数组 <code>mem</code> 来记录每个子问题的解，并在搜索过程中将重叠子问题剪枝。</p>
<ol>
chapter_dynamic_programming/knapsack_problem/index.html
+1 -1
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@@ -1719,7 +1719,7 @@
<span class="md-ellipsis">
8.3 &nbsp; Top-K 问题
8.3 &nbsp; Top-k 问题
</span>
chapter_dynamic_programming/summary/index.html
+3 -3
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@@ -1719,7 +1719,7 @@
<span class="md-ellipsis">
8.3 &nbsp; Top-K 问题
8.3 &nbsp; Top-k 问题
</span>
@@ -3442,9 +3442,9 @@
<!-- Page content -->
<h1 id="147">14.7 &nbsp; 小结<a class="headerlink" href="#147" title="Permanent link">&para;</a></h1>
<ul>
<li>动态规划对问题进行分解，并通过存储子问题的解来规避重复计算，提高 计算效率。</li>
<li>动态规划对问题进行分解，并通过存储子问题的解来规避重复计算，提高计算效率。</li>
<li>不考虑时间的前提下，所有动态规划问题都可以用回溯（暴力搜索）进行求解，但递归树中存在大量的重叠子问题，效率极低。通过引入记忆化列表，可以存储所有计算过的子问题的解，从而保证重叠子问题只被计算一次。</li>
<li>记忆化递归是一种从顶至底的递归式解法，而与之对应的动态规划是一种从底至顶的递推式解法，其如同“填写表格”一样。由于当前状态仅依赖某些局部状态，因此我们可以消除 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表的一个维度，从而降低空间复杂度。</li>
<li>记忆化搜索是一种从顶至底的递归式解法，而与之对应的动态规划是一种从底至顶的递推式解法，其如同“填写表格”一样。由于当前状态仅依赖某些局部状态，因此我们可以消除 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表的一个维度，从而降低空间复杂度。</li>
<li>子问题分解是一种通用的算法思路，在分治、动态规划、回溯中具有不同的性质。</li>
<li>动态规划问题有三大特性：重叠子问题、最优子结构、无后效性。</li>
<li>如果原问题的最优解可以从子问题的最优解构建得来，则它就具有最优子结构。</li>
chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem/index.html
+1 -1
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@@ -1719,7 +1719,7 @@
<span class="md-ellipsis">
8.3 &nbsp; Top-K 问题
8.3 &nbsp; Top-k 问题
</span>