xinyin025/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2026-07-22 19:36:06 +00:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

deploy

Browse Source
This commit is contained in:
krahets
2024-04-11 01:11:27 +08:00
parent a4dec11e8e
commit ba0bcfa7a9
94 changed files with 2561 additions and 1998 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files
zh-hant/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features/index.html
+8 -8
View File
@@ -3857,7 +3857,7 @@ dp[i] = \min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
<a id="__codelineno-11-9" name="__codelineno-11-9" href="#__codelineno-11-9"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="m">2</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">cost</span><span class="o">[</span><span class="m">2</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-11-10" name="__codelineno-11-10" href="#__codelineno-11-10"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題</span>
<a id="__codelineno-11-11" name="__codelineno-11-11" href="#__codelineno-11-11"></a><span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="k">in</span><span class="w"> </span><span class="m">3.</span><span class="p">.</span><span class="na">n</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-12" name="__codelineno-11-12" href="#__codelineno-11-12"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">(),</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">2</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">())</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">cost</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">]</span><span class="p">).</span><span class="na">toInt</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-11-12" name="__codelineno-11-12" href="#__codelineno-11-12"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">2</span><span class="o">]</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">cost</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-11-13" name="__codelineno-11-13" href="#__codelineno-11-13"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-14" name="__codelineno-11-14" href="#__codelineno-11-14"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">n</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-11-15" name="__codelineno-11-15" href="#__codelineno-11-15"></a><span class="p">}</span>
@@ -3891,8 +3891,8 @@ dp[i] = \min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20min_cost_climbing_stairs_dp%28cost%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BB%A3%E4%BB%B7%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28cost%29%20-%201%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20cost%5Bn%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E5%AD%98%E5%82%A8%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%9A%E9%A2%84%E8%AE%BE%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D,%20dp%5B2%5D%20%3D%20cost%5B1%5D,%20cost%5B2%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E4%BB%8E%E8%BE%83%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E9%80%90%E6%AD%A5%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%20-%201%5D,%20dp%5Bi%20-%202%5D%29%20%2B%20cost%5Bi%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20cost%20%3D%20%5B0,%201,%2010,%201,%201,%201,%2010,%201,%201,%2010,%201%5D%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E7%9A%84%E4%BB%A3%E4%BB%B7%E5%88%97%E8%A1%A8%E4%B8%BA%20%7Bcost%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_cost_climbing_stairs_dp%28cost%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%E5%AE%8C%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%8E%E4%BB%A3%E4%BB%B7%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20min_cost_climbing_stairs_dp%28cost%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BB%A3%E4%BB%B7%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28cost%29%20-%201%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20cost%5Bn%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E5%AD%98%E5%82%A8%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%9A%E9%A2%84%E8%AE%BE%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D,%20dp%5B2%5D%20%3D%20cost%5B1%5D,%20cost%5B2%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E4%BB%8E%E8%BE%83%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E9%80%90%E6%AD%A5%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%20-%201%5D,%20dp%5Bi%20-%202%5D%29%20%2B%20cost%5Bi%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20cost%20%3D%20%5B0,%201,%2010,%201,%201,%201,%2010,%201,%201,%2010,%201%5D%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E7%9A%84%E4%BB%A3%E4%BB%B7%E5%88%97%E8%A1%A8%E4%B8%BA%20%7Bcost%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_cost_climbing_stairs_dp%28cost%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%E5%AE%8C%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%8E%E4%BB%A3%E4%BB%B7%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20min_cost_climbing_stairs_dp%28cost%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A8%93%E6%A2%AF%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BB%A3%E5%83%B9%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28cost%29%20-%201%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20cost%5Bn%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E6%96%BC%E5%84%B2%E5%AD%98%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8B%80%E6%85%8B%EF%BC%9A%E9%A0%90%E8%A8%AD%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D%2C%20dp%5B2%5D%20%3D%20cost%5B1%5D%2C%20cost%5B2%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%BE%9E%E8%BC%83%E5%B0%8F%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E9%80%90%E6%AD%A5%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%BC%83%E5%A4%A7%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%20-%201%5D%2C%20dp%5Bi%20-%202%5D%29%20%2B%20cost%5Bi%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20cost%20%3D%20%5B0%2C%201%2C%2010%2C%201%2C%201%2C%201%2C%2010%2C%201%2C%201%2C%2010%2C%201%5D%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BC%B8%E5%85%A5%E6%A8%93%E6%A2%AF%E7%9A%84%E4%BB%A3%E5%83%B9%E4%B8%B2%E5%88%97%E7%82%BA%20%7Bcost%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_cost_climbing_stairs_dp%28cost%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%E5%AE%8C%E6%A8%93%E6%A2%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%8E%E4%BB%A3%E5%83%B9%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20min_cost_climbing_stairs_dp%28cost%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A8%93%E6%A2%AF%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BB%A3%E5%83%B9%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28cost%29%20-%201%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20cost%5Bn%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E6%96%BC%E5%84%B2%E5%AD%98%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8B%80%E6%85%8B%EF%BC%9A%E9%A0%90%E8%A8%AD%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D%2C%20dp%5B2%5D%20%3D%20cost%5B1%5D%2C%20cost%5B2%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%BE%9E%E8%BC%83%E5%B0%8F%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E9%80%90%E6%AD%A5%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%BC%83%E5%A4%A7%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%20-%201%5D%2C%20dp%5Bi%20-%202%5D%29%20%2B%20cost%5Bi%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20cost%20%3D%20%5B0%2C%201%2C%2010%2C%201%2C%201%2C%201%2C%2010%2C%201%2C%201%2C%2010%2C%201%5D%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BC%B8%E5%85%A5%E6%A8%93%E6%A2%AF%E7%9A%84%E4%BB%A3%E5%83%B9%E4%B8%B2%E5%88%97%E7%82%BA%20%7Bcost%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_cost_climbing_stairs_dp%28cost%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%E5%AE%8C%E6%A8%93%E6%A2%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%8E%E4%BB%A3%E5%83%B9%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<p>圖 14-7 展示了以上程式碼的動態規劃過程。</p>
<p><a class="glightbox" href="../dp_problem_features.assets/min_cost_cs_dp.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="爬樓梯最小代價的動態規劃過程" class="animation-figure" src="../dp_problem_features.assets/min_cost_cs_dp.png" /></a></p>
@@ -4094,7 +4094,7 @@ dp[i] = \min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
<a id="__codelineno-25-6" name="__codelineno-25-6" href="#__codelineno-25-6"></a><span class="w"> </span><span class="kd">var</span><span class="w"> </span><span class="nv">b</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">cost</span><span class="o">[</span><span class="m">2</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-25-7" name="__codelineno-25-7" href="#__codelineno-25-7"></a><span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="k">in</span><span class="w"> </span><span class="m">3.</span><span class="p">.</span><span class="na">n</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-25-8" name="__codelineno-25-8" href="#__codelineno-25-8"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">tmp</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">b</span>
<a id="__codelineno-25-9" name="__codelineno-25-9" href="#__codelineno-25-9"></a><span class="w"> </span><span class="n">b</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">a</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">(),</span><span class="w"> </span><span class="n">tmp</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">())</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">cost</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">]</span><span class="p">).</span><span class="na">toInt</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-25-9" name="__codelineno-25-9" href="#__codelineno-25-9"></a><span class="w"> </span><span class="n">b</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">a</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">tmp</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">cost</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-25-10" name="__codelineno-25-10" href="#__codelineno-25-10"></a><span class="w"> </span><span class="n">a</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">tmp</span>
<a id="__codelineno-25-11" name="__codelineno-25-11" href="#__codelineno-25-11"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-25-12" name="__codelineno-25-12" href="#__codelineno-25-12"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">b</span>
@@ -4128,8 +4128,8 @@ dp[i] = \min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 513px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20min_cost_climbing_stairs_dp_comp%28cost%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BB%A3%E4%BB%B7%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28cost%29%20-%201%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20cost%5Bn%5D%0A%20%20%20%20a,%20b%20%3D%20cost%5B1%5D,%20cost%5B2%5D%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a,%20b%20%3D%20b,%20min%28a,%20b%29%20%2B%20cost%5Bi%5D%0A%20%20%20%20return%20b%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20cost%20%3D%20%5B0,%201,%2010,%201,%201,%201,%2010,%201,%201,%2010,%201%5D%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E7%9A%84%E4%BB%A3%E4%BB%B7%E5%88%97%E8%A1%A8%E4%B8%BA%20%7Bcost%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_cost_climbing_stairs_dp_comp%28cost%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%E5%AE%8C%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%8E%E4%BB%A3%E4%BB%B7%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20min_cost_climbing_stairs_dp_comp%28cost%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BB%A3%E4%BB%B7%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28cost%29%20-%201%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20cost%5Bn%5D%0A%20%20%20%20a,%20b%20%3D%20cost%5B1%5D,%20cost%5B2%5D%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a,%20b%20%3D%20b,%20min%28a,%20b%29%20%2B%20cost%5Bi%5D%0A%20%20%20%20return%20b%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20cost%20%3D%20%5B0,%201,%2010,%201,%201,%201,%2010,%201,%201,%2010,%201%5D%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E7%9A%84%E4%BB%A3%E4%BB%B7%E5%88%97%E8%A1%A8%E4%B8%BA%20%7Bcost%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_cost_climbing_stairs_dp_comp%28cost%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%E5%AE%8C%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%8E%E4%BB%A3%E4%BB%B7%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 513px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20min_cost_climbing_stairs_dp_comp%28cost%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A8%93%E6%A2%AF%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BB%A3%E5%83%B9%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28cost%29%20-%201%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20cost%5Bn%5D%0A%20%20%20%20a%2C%20b%20%3D%20cost%5B1%5D%2C%20cost%5B2%5D%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a%2C%20b%20%3D%20b%2C%20min%28a%2C%20b%29%20%2B%20cost%5Bi%5D%0A%20%20%20%20return%20b%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20cost%20%3D%20%5B0%2C%201%2C%2010%2C%201%2C%201%2C%201%2C%2010%2C%201%2C%201%2C%2010%2C%201%5D%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BC%B8%E5%85%A5%E6%A8%93%E6%A2%AF%E7%9A%84%E4%BB%A3%E5%83%B9%E4%B8%B2%E5%88%97%E7%82%BA%20%7Bcost%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_cost_climbing_stairs_dp_comp%28cost%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%E5%AE%8C%E6%A8%93%E6%A2%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%8E%E4%BB%A3%E5%83%B9%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20min_cost_climbing_stairs_dp_comp%28cost%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A8%93%E6%A2%AF%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BB%A3%E5%83%B9%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28cost%29%20-%201%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20cost%5Bn%5D%0A%20%20%20%20a%2C%20b%20%3D%20cost%5B1%5D%2C%20cost%5B2%5D%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a%2C%20b%20%3D%20b%2C%20min%28a%2C%20b%29%20%2B%20cost%5Bi%5D%0A%20%20%20%20return%20b%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20cost%20%3D%20%5B0%2C%201%2C%2010%2C%201%2C%201%2C%201%2C%2010%2C%201%2C%201%2C%2010%2C%201%5D%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BC%B8%E5%85%A5%E6%A8%93%E6%A2%AF%E7%9A%84%E4%BB%A3%E5%83%B9%E4%B8%B2%E5%88%97%E7%82%BA%20%7Bcost%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_cost_climbing_stairs_dp_comp%28cost%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%E5%AE%8C%E6%A8%93%E6%A2%AF%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%8E%E4%BB%A3%E5%83%B9%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<h2 id="1422">14.2.2 &nbsp; 無後效性<a class="headerlink" href="#1422" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>無後效性是動態規劃能夠有效解決問題的重要特性之一，其定義為：<strong>給定一個確定的狀態，它的未來發展只與當前狀態有關，而與過去經歷的所有狀態無關</strong>。</p>
@@ -4461,8 +4461,8 @@ dp[i, 2] = dp[i-2, 1] + dp[i-2, 2]
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B8%A6%E7%BA%A6%E6%9D%9F%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E5%AD%98%E5%82%A8%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%203%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%9A%E9%A2%84%E8%AE%BE%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D%5B1%5D,%20dp%5B1%5D%5B2%5D%20%3D%201,%200%0A%20%20%20%20dp%5B2%5D%5B1%5D,%20dp%5B2%5D%5B2%5D%20%3D%200,%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E4%BB%8E%E8%BE%83%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E9%80%90%E6%AD%A5%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B1%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B2%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bn%5D%5B2%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%98%B6%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B8%A6%E7%BA%A6%E6%9D%9F%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E5%AD%98%E5%82%A8%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%203%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%9A%E9%A2%84%E8%AE%BE%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D%5B1%5D,%20dp%5B1%5D%5B2%5D%20%3D%201,%200%0A%20%20%20%20dp%5B2%5D%5B1%5D,%20dp%5B2%5D%5B2%5D%20%3D%200,%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E4%BB%8E%E8%BE%83%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E9%80%90%E6%AD%A5%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B1%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B2%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bn%5D%5B2%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%98%B6%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B8%B6%E7%B4%84%E6%9D%9F%E7%88%AC%E6%A8%93%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E6%96%BC%E5%84%B2%E5%AD%98%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%203%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8B%80%E6%85%8B%EF%BC%9A%E9%A0%90%E8%A8%AD%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D%5B1%5D%2C%20dp%5B1%5D%5B2%5D%20%3D%201%2C%200%0A%20%20%20%20dp%5B2%5D%5B1%5D%2C%20dp%5B2%5D%5B2%5D%20%3D%200%2C%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%BE%9E%E8%BC%83%E5%B0%8F%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E9%80%90%E6%AD%A5%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%BC%83%E5%A4%A7%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B1%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B2%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bn%5D%5B2%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%9A%8E%E6%A8%93%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B8%B6%E7%B4%84%E6%9D%9F%E7%88%AC%E6%A8%93%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E6%96%BC%E5%84%B2%E5%AD%98%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%203%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8B%80%E6%85%8B%EF%BC%9A%E9%A0%90%E8%A8%AD%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D%5B1%5D%2C%20dp%5B1%5D%5B2%5D%20%3D%201%2C%200%0A%20%20%20%20dp%5B2%5D%5B1%5D%2C%20dp%5B2%5D%5B2%5D%20%3D%200%2C%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%BE%9E%E8%BC%83%E5%B0%8F%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E9%80%90%E6%AD%A5%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%BC%83%E5%A4%A7%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B1%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B2%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bn%5D%5B2%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%9A%8E%E6%A8%93%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<p>在上面的案例中，由於僅需多考慮前面一個狀態，因此我們仍然可以透過擴展狀態定義，使得問題重新滿足無後效性。然而，某些問題具有非常嚴重的“有後效性”。</p>
<div class="admonition question">
zh-hant/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline/index.html
+33 -38
View File
@@ -3976,25 +3976,21 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
</div>
<div class="tabbed-block">
<div class="highlight"><span class="filename">min_path_sum.kt</span><pre><span></span><code><a id="__codelineno-11-1" name="__codelineno-11-1" href="#__codelineno-11-1"></a><span class="cm">/* 最小路徑和：暴力搜尋 */</span>
<a id="__codelineno-11-2" name="__codelineno-11-2" href="#__codelineno-11-2"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">minPathSumDFS</span><span class="p">(</span>
<a id="__codelineno-11-3" name="__codelineno-11-3" href="#__codelineno-11-3"></a><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">Array</span><span class="o">&lt;</span><span class="n">Array</span><span class="o">&lt;</span><span class="kt">Int</span><span class="o">&gt;&gt;</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-11-4" name="__codelineno-11-4" href="#__codelineno-11-4"></a><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-11-5" name="__codelineno-11-5" href="#__codelineno-11-5"></a><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span>
<a id="__codelineno-11-6" name="__codelineno-11-6" href="#__codelineno-11-6"></a><span class="p">):</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-7" name="__codelineno-11-7" href="#__codelineno-11-7"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 若為左上角單元格，則終止搜尋</span>
<a id="__codelineno-11-8" name="__codelineno-11-8" href="#__codelineno-11-8"></a><span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">==</span><span class="w"> </span><span class="m">0</span><span class="w"> </span><span class="o">&amp;&amp;</span><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">==</span><span class="w"> </span><span class="m">0</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-9" name="__codelineno-11-9" href="#__codelineno-11-9"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="o">[</span><span class="m">0</span><span class="o">][</span><span class="m">0</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-11-2" name="__codelineno-11-2" href="#__codelineno-11-2"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">minPathSumDFS</span><span class="p">(</span><span class="n">grid</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">Array</span><span class="o">&lt;</span><span class="n">IntArray</span><span class="o">&gt;</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="p">):</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-3" name="__codelineno-11-3" href="#__codelineno-11-3"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 若為左上角單元格，則終止搜尋</span>
<a id="__codelineno-11-4" name="__codelineno-11-4" href="#__codelineno-11-4"></a><span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">==</span><span class="w"> </span><span class="m">0</span><span class="w"> </span><span class="o">&amp;&amp;</span><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">==</span><span class="w"> </span><span class="m">0</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-5" name="__codelineno-11-5" href="#__codelineno-11-5"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="o">[</span><span class="m">0</span><span class="o">][</span><span class="m">0</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-11-6" name="__codelineno-11-6" href="#__codelineno-11-6"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-7" name="__codelineno-11-7" href="#__codelineno-11-7"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價</span>
<a id="__codelineno-11-8" name="__codelineno-11-8" href="#__codelineno-11-8"></a><span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">&lt;</span><span class="w"> </span><span class="m">0</span><span class="w"> </span><span class="o">||</span><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">&lt;</span><span class="w"> </span><span class="m">0</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-9" name="__codelineno-11-9" href="#__codelineno-11-9"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="p">.</span><span class="na">MAX_VALUE</span>
<a id="__codelineno-11-10" name="__codelineno-11-10" href="#__codelineno-11-10"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-11" name="__codelineno-11-11" href="#__codelineno-11-11"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價</span>
<a id="__codelineno-11-12" name="__codelineno-11-12" href="#__codelineno-11-12"></a><span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">&lt;</span><span class="w"> </span><span class="m">0</span><span class="w"> </span><span class="o">||</span><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">&lt;</span><span class="w"> </span><span class="m">0</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-13" name="__codelineno-11-13" href="#__codelineno-11-13"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="p">.</span><span class="na">MAX_VALUE</span>
<a id="__codelineno-11-14" name="__codelineno-11-14" href="#__codelineno-11-14"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-15" name="__codelineno-11-15" href="#__codelineno-11-15"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價</span>
<a id="__codelineno-11-16" name="__codelineno-11-16" href="#__codelineno-11-16"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">up</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">minPathSumDFS</span><span class="p">(</span><span class="n">grid</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-11-17" name="__codelineno-11-17" href="#__codelineno-11-17"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">left</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">minPathSumDFS</span><span class="p">(</span><span class="n">grid</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-11-18" name="__codelineno-11-18" href="#__codelineno-11-18"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價</span>
<a id="__codelineno-11-19" name="__codelineno-11-19" href="#__codelineno-11-19"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">left</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">(),</span><span class="w"> </span><span class="n">up</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">())</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="p">).</span><span class="na">toInt</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-11-20" name="__codelineno-11-20" href="#__codelineno-11-20"></a><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-11" name="__codelineno-11-11" href="#__codelineno-11-11"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價</span>
<a id="__codelineno-11-12" name="__codelineno-11-12" href="#__codelineno-11-12"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">up</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">minPathSumDFS</span><span class="p">(</span><span class="n">grid</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-11-13" name="__codelineno-11-13" href="#__codelineno-11-13"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">left</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">minPathSumDFS</span><span class="p">(</span><span class="n">grid</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-11-14" name="__codelineno-11-14" href="#__codelineno-11-14"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價</span>
<a id="__codelineno-11-15" name="__codelineno-11-15" href="#__codelineno-11-15"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">left</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">up</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-11-16" name="__codelineno-11-16" href="#__codelineno-11-16"></a><span class="p">}</span>
</code></pre></div>
</div>
<div class="tabbed-block">
@@ -4024,8 +4020,8 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dfs%28grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D,%20i%3A%20int,%20j%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E5%92%8C%EF%BC%9A%E6%9A%B4%E5%8A%9B%E6%90%9C%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E4%B8%BA%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%8D%95%E5%85%83%E6%A0%BC%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%BB%88%E6%AD%A2%E6%90%9C%E7%B4%A2%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20and%20j%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%B4%A2%E5%BC%95%E8%B6%8A%E7%95%8C%EF%BC%8C%E5%88%99%E8%BF%94%E5%9B%9E%20%2B%E2%88%9E%20%E4%BB%A3%E4%BB%B7%0A%20%20%20%20if%20i%20%3C%200%20or%20j%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20inf%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AE%A1%E7%AE%97%E4%BB%8E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%20%28i-1,%20j%29%20%E5%92%8C%20%28i,%20j-1%29%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E4%BB%A3%E4%BB%B7%0A%20%20%20%20up%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid,%20i%20-%201,%20j%29%0A%20%20%20%20left%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid,%20i,%20j%20-%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%BB%8E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%20%28i,%20j%29%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E4%BB%A3%E4%BB%B7%0A%20%20%20%20return%20min%28left,%20up%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1,%203,%201,%205%5D,%20%5B2,%202,%204,%202%5D,%20%5B5,%203,%202,%201%5D,%20%5B4,%203,%205,%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28grid%29,%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9A%B4%E5%8A%9B%E6%90%9C%E7%B4%A2%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid,%20n%20-%201,%20m%20-%201%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%BB%8E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%E5%8F%B3%E4%B8%8B%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%81%9A%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E5%92%8C%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dfs%28grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D,%20i%3A%20int,%20j%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E5%92%8C%EF%BC%9A%E6%9A%B4%E5%8A%9B%E6%90%9C%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E4%B8%BA%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%8D%95%E5%85%83%E6%A0%BC%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%BB%88%E6%AD%A2%E6%90%9C%E7%B4%A2%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20and%20j%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%B4%A2%E5%BC%95%E8%B6%8A%E7%95%8C%EF%BC%8C%E5%88%99%E8%BF%94%E5%9B%9E%20%2B%E2%88%9E%20%E4%BB%A3%E4%BB%B7%0A%20%20%20%20if%20i%20%3C%200%20or%20j%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20inf%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AE%A1%E7%AE%97%E4%BB%8E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%20%28i-1,%20j%29%20%E5%92%8C%20%28i,%20j-1%29%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E4%BB%A3%E4%BB%B7%0A%20%20%20%20up%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid,%20i%20-%201,%20j%29%0A%20%20%20%20left%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid,%20i,%20j%20-%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%BB%8E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%20%28i,%20j%29%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E4%BB%A3%E4%BB%B7%0A%20%20%20%20return%20min%28left,%20up%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1,%203,%201,%205%5D,%20%5B2,%202,%204,%202%5D,%20%5B5,%203,%202,%201%5D,%20%5B4,%203,%205,%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28grid%29,%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9A%B4%E5%8A%9B%E6%90%9C%E7%B4%A2%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid,%20n%20-%201,%20m%20-%201%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%BB%8E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%E5%8F%B3%E4%B8%8B%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%81%9A%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E5%92%8C%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dfs%28grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%2C%20i%3A%20int%2C%20j%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E5%92%8C%EF%BC%9A%E6%9A%B4%E5%8A%9B%E6%90%9C%E5%B0%8B%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E7%82%BA%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%96%AE%E5%85%83%E6%A0%BC%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%B5%82%E6%AD%A2%E6%90%9C%E5%B0%8B%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20and%20j%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%B4%A2%E5%BC%95%E8%B6%8A%E7%95%8C%EF%BC%8C%E5%89%87%E8%BF%94%E5%9B%9E%20%2B%E2%88%9E%20%E4%BB%A3%E5%83%B9%0A%20%20%20%20if%20i%20%3C%200%20or%20j%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20inf%0A%20%20%20%20%23%20%E8%A8%88%E7%AE%97%E5%BE%9E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%20%28i-1%2C%20j%29%20%E5%92%8C%20%28i%2C%20j-1%29%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E4%BB%A3%E5%83%B9%0A%20%20%20%20up%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid%2C%20i%20-%201%2C%20j%29%0A%20%20%20%20left%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid%2C%20i%2C%20j%20-%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%BE%9E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%20%28i%2C%20j%29%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E4%BB%A3%E5%83%B9%0A%20%20%20%20return%20min%28left%2C%20up%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1%2C%203%2C%201%2C%205%5D%2C%20%5B2%2C%202%2C%204%2C%202%5D%2C%20%5B5%2C%203%2C%202%2C%201%5D%2C%20%5B4%2C%203%2C%205%2C%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28grid%29%2C%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9A%B4%E5%8A%9B%E6%90%9C%E5%B0%8B%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid%2C%20n%20-%201%2C%20m%20-%201%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%BE%9E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%E5%8F%B3%E4%B8%8B%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%81%9A%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E5%92%8C%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dfs%28grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%2C%20i%3A%20int%2C%20j%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E5%92%8C%EF%BC%9A%E6%9A%B4%E5%8A%9B%E6%90%9C%E5%B0%8B%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E7%82%BA%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%96%AE%E5%85%83%E6%A0%BC%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%B5%82%E6%AD%A2%E6%90%9C%E5%B0%8B%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20and%20j%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%B4%A2%E5%BC%95%E8%B6%8A%E7%95%8C%EF%BC%8C%E5%89%87%E8%BF%94%E5%9B%9E%20%2B%E2%88%9E%20%E4%BB%A3%E5%83%B9%0A%20%20%20%20if%20i%20%3C%200%20or%20j%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20inf%0A%20%20%20%20%23%20%E8%A8%88%E7%AE%97%E5%BE%9E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%20%28i-1%2C%20j%29%20%E5%92%8C%20%28i%2C%20j-1%29%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E4%BB%A3%E5%83%B9%0A%20%20%20%20up%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid%2C%20i%20-%201%2C%20j%29%0A%20%20%20%20left%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid%2C%20i%2C%20j%20-%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%BE%9E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%20%28i%2C%20j%29%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E4%BB%A3%E5%83%B9%0A%20%20%20%20return%20min%28left%2C%20up%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1%2C%203%2C%201%2C%205%5D%2C%20%5B2%2C%202%2C%204%2C%202%5D%2C%20%5B5%2C%203%2C%202%2C%201%5D%2C%20%5B4%2C%203%2C%205%2C%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28grid%29%2C%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9A%B4%E5%8A%9B%E6%90%9C%E5%B0%8B%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dfs%28grid%2C%20n%20-%201%2C%20m%20-%201%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%BE%9E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%E5%8F%B3%E4%B8%8B%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%81%9A%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E5%92%8C%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<p>圖 14-14 給出了以 <span class="arithmatex">\(dp[2, 1]\)</span> 為根節點的遞迴樹，其中包含一些重疊子問題，其數量會隨著網格 <code>grid</code> 的尺寸變大而急劇增多。</p>
<p>從本質上看，造成重疊子問題的原因為：<strong>存在多條路徑可以從左上角到達某一單元格</strong>。</p>
@@ -4308,8 +4304,8 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
<div class="tabbed-block">
<div class="highlight"><span class="filename">min_path_sum.kt</span><pre><span></span><code><a id="__codelineno-25-1" name="__codelineno-25-1" href="#__codelineno-25-1"></a><span class="cm">/* 最小路徑和：記憶化搜尋 */</span>
<a id="__codelineno-25-2" name="__codelineno-25-2" href="#__codelineno-25-2"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">minPathSumDFSMem</span><span class="p">(</span>
<a id="__codelineno-25-3" name="__codelineno-25-3" href="#__codelineno-25-3"></a><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">Array</span><span class="o">&lt;</span><span class="n">Array</span><span class="o">&lt;</span><span class="kt">Int</span><span class="o">&gt;&gt;</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-25-4" name="__codelineno-25-4" href="#__codelineno-25-4"></a><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">Array</span><span class="o">&lt;</span><span class="n">Array</span><span class="o">&lt;</span><span class="kt">Int</span><span class="o">&gt;&gt;</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-25-3" name="__codelineno-25-3" href="#__codelineno-25-3"></a><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">Array</span><span class="o">&lt;</span><span class="n">IntArray</span><span class="o">&gt;</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-25-4" name="__codelineno-25-4" href="#__codelineno-25-4"></a><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">Array</span><span class="o">&lt;</span><span class="n">IntArray</span><span class="o">&gt;</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-25-5" name="__codelineno-25-5" href="#__codelineno-25-5"></a><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-25-6" name="__codelineno-25-6" href="#__codelineno-25-6"></a><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span>
<a id="__codelineno-25-7" name="__codelineno-25-7" href="#__codelineno-25-7"></a><span class="p">):</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
@@ -4329,7 +4325,7 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
<a id="__codelineno-25-21" name="__codelineno-25-21" href="#__codelineno-25-21"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">up</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">minPathSumDFSMem</span><span class="p">(</span><span class="n">grid</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-25-22" name="__codelineno-25-22" href="#__codelineno-25-22"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">left</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">minPathSumDFSMem</span><span class="p">(</span><span class="n">grid</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-25-23" name="__codelineno-25-23" href="#__codelineno-25-23"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價</span>
<a id="__codelineno-25-24" name="__codelineno-25-24" href="#__codelineno-25-24"></a><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">left</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">(),</span><span class="w"> </span><span class="n">up</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">())</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="p">).</span><span class="na">toInt</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-25-24" name="__codelineno-25-24" href="#__codelineno-25-24"></a><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">left</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">up</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-25-25" name="__codelineno-25-25" href="#__codelineno-25-25"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-25-26" name="__codelineno-25-26" href="#__codelineno-25-26"></a><span class="p">}</span>
</code></pre></div>
@@ -4367,8 +4363,8 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dfs_mem%28%0A%20%20%20%20grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D,%20mem%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D,%20i%3A%20int,%20j%3A%20int%0A%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E5%92%8C%EF%BC%9A%E8%AE%B0%E5%BF%86%E5%8C%96%E6%90%9C%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E4%B8%BA%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%8D%95%E5%85%83%E6%A0%BC%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%BB%88%E6%AD%A2%E6%90%9C%E7%B4%A2%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20and%20j%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%B4%A2%E5%BC%95%E8%B6%8A%E7%95%8C%EF%BC%8C%E5%88%99%E8%BF%94%E5%9B%9E%20%2B%E2%88%9E%20%E4%BB%A3%E4%BB%B7%0A%20%20%20%20if%20i%20%3C%200%20or%20j%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20inf%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%B7%B2%E6%9C%89%E8%AE%B0%E5%BD%95%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%0A%20%20%20%20if%20mem%5Bi%5D%5Bj%5D%20!%3D%20-1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B7%A6%E8%BE%B9%E5%92%8C%E4%B8%8A%E8%BE%B9%E5%8D%95%E5%85%83%E6%A0%BC%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E4%BB%A3%E4%BB%B7%0A%20%20%20%20up%20%3D%20min_path_sum_dfs_mem%28grid,%20mem,%20i%20-%201,%20j%29%0A%20%20%20%20left%20%3D%20min_path_sum_dfs_mem%28grid,%20mem,%20i,%20j%20-%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E5%B9%B6%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%20%28i,%20j%29%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E4%BB%A3%E4%BB%B7%0A%20%20%20%20mem%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20min%28left,%20up%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1,%203,%201,%205%5D,%20%5B2,%202,%204,%202%5D,%20%5B5,%203,%202,%201%5D,%20%5B4,%203,%205,%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28grid%29,%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BF%86%E5%8C%96%E6%90%9C%E7%B4%A2%0A%20%20%20%20mem%20%3D%20%5B%5B-1%5D%20*%20m%20for%20_%20in%20range%28n%29%5D%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dfs_mem%28grid,%20mem,%20n%20-%201,%20m%20-%201%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%BB%8E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%E5%8F%B3%E4%B8%8B%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%81%9A%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E5%92%8C%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=16&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dfs_mem%28%0A%20%20%20%20grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D,%20mem%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D,%20i%3A%20int,%20j%3A%20int%0A%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E5%92%8C%EF%BC%9A%E8%AE%B0%E5%BF%86%E5%8C%96%E6%90%9C%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E4%B8%BA%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%8D%95%E5%85%83%E6%A0%BC%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%BB%88%E6%AD%A2%E6%90%9C%E7%B4%A2%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20and%20j%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%B4%A2%E5%BC%95%E8%B6%8A%E7%95%8C%EF%BC%8C%E5%88%99%E8%BF%94%E5%9B%9E%20%2B%E2%88%9E%20%E4%BB%A3%E4%BB%B7%0A%20%20%20%20if%20i%20%3C%200%20or%20j%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20inf%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%B7%B2%E6%9C%89%E8%AE%B0%E5%BD%95%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%0A%20%20%20%20if%20mem%5Bi%5D%5Bj%5D%20!%3D%20-1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B7%A6%E8%BE%B9%E5%92%8C%E4%B8%8A%E8%BE%B9%E5%8D%95%E5%85%83%E6%A0%BC%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E4%BB%A3%E4%BB%B7%0A%20%20%20%20up%20%3D%20min_path_sum_dfs_mem%28grid,%20mem,%20i%20-%201,%20j%29%0A%20%20%20%20left%20%3D%20min_path_sum_dfs_mem%28grid,%20mem,%20i,%20j%20-%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E5%B9%B6%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%20%28i,%20j%29%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E4%BB%A3%E4%BB%B7%0A%20%20%20%20mem%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20min%28left,%20up%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1,%203,%201,%205%5D,%20%5B2,%202,%204,%202%5D,%20%5B5,%203,%202,%201%5D,%20%5B4,%203,%205,%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28grid%29,%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BF%86%E5%8C%96%E6%90%9C%E7%B4%A2%0A%20%20%20%20mem%20%3D%20%5B%5B-1%5D%20*%20m%20for%20_%20in%20range%28n%29%5D%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dfs_mem%28grid,%20mem,%20n%20-%201,%20m%20-%201%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%BB%8E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%E5%8F%B3%E4%B8%8B%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%81%9A%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E5%92%8C%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=16&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dfs_mem%28%0A%20%20%20%20grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%2C%20mem%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%2C%20i%3A%20int%2C%20j%3A%20int%0A%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E5%92%8C%EF%BC%9A%E8%A8%98%E6%86%B6%E5%8C%96%E6%90%9C%E5%B0%8B%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E7%82%BA%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%96%AE%E5%85%83%E6%A0%BC%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%B5%82%E6%AD%A2%E6%90%9C%E5%B0%8B%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20and%20j%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%B4%A2%E5%BC%95%E8%B6%8A%E7%95%8C%EF%BC%8C%E5%89%87%E8%BF%94%E5%9B%9E%20%2B%E2%88%9E%20%E4%BB%A3%E5%83%B9%0A%20%20%20%20if%20i%20%3C%200%20or%20j%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20inf%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%B7%B2%E6%9C%89%E8%A8%98%E9%8C%84%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%0A%20%20%20%20if%20mem%5Bi%5D%5Bj%5D%20%21%3D%20-1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B7%A6%E9%82%8A%E5%92%8C%E4%B8%8A%E9%82%8A%E5%96%AE%E5%85%83%E6%A0%BC%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E4%BB%A3%E5%83%B9%0A%20%20%20%20up%20%3D%20min_path_sum_dfs_mem%28grid%2C%20mem%2C%20i%20-%201%2C%20j%29%0A%20%20%20%20left%20%3D%20min_path_sum_dfs_mem%28grid%2C%20mem%2C%20i%2C%20j%20-%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%A8%98%E9%8C%84%E4%B8%A6%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%20%28i%2C%20j%29%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E4%BB%A3%E5%83%B9%0A%20%20%20%20mem%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20min%28left%2C%20up%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1%2C%203%2C%201%2C%205%5D%2C%20%5B2%2C%202%2C%204%2C%202%5D%2C%20%5B5%2C%203%2C%202%2C%201%5D%2C%20%5B4%2C%203%2C%205%2C%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28grid%29%2C%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%23%20%E8%A8%98%E6%86%B6%E5%8C%96%E6%90%9C%E5%B0%8B%0A%20%20%20%20mem%20%3D%20%5B%5B-1%5D%20%2A%20m%20for%20_%20in%20range%28n%29%5D%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dfs_mem%28grid%2C%20mem%2C%20n%20-%201%2C%20m%20-%201%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%BE%9E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%E5%8F%B3%E4%B8%8B%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%81%9A%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E5%92%8C%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=16&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dfs_mem%28%0A%20%20%20%20grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%2C%20mem%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%2C%20i%3A%20int%2C%20j%3A%20int%0A%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E5%92%8C%EF%BC%9A%E8%A8%98%E6%86%B6%E5%8C%96%E6%90%9C%E5%B0%8B%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E7%82%BA%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%96%AE%E5%85%83%E6%A0%BC%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%B5%82%E6%AD%A2%E6%90%9C%E5%B0%8B%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20and%20j%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%B4%A2%E5%BC%95%E8%B6%8A%E7%95%8C%EF%BC%8C%E5%89%87%E8%BF%94%E5%9B%9E%20%2B%E2%88%9E%20%E4%BB%A3%E5%83%B9%0A%20%20%20%20if%20i%20%3C%200%20or%20j%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20inf%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%B7%B2%E6%9C%89%E8%A8%98%E9%8C%84%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%0A%20%20%20%20if%20mem%5Bi%5D%5Bj%5D%20%21%3D%20-1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B7%A6%E9%82%8A%E5%92%8C%E4%B8%8A%E9%82%8A%E5%96%AE%E5%85%83%E6%A0%BC%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E4%BB%A3%E5%83%B9%0A%20%20%20%20up%20%3D%20min_path_sum_dfs_mem%28grid%2C%20mem%2C%20i%20-%201%2C%20j%29%0A%20%20%20%20left%20%3D%20min_path_sum_dfs_mem%28grid%2C%20mem%2C%20i%2C%20j%20-%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%A8%98%E9%8C%84%E4%B8%A6%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%20%28i%2C%20j%29%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E4%BB%A3%E5%83%B9%0A%20%20%20%20mem%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20min%28left%2C%20up%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1%2C%203%2C%201%2C%205%5D%2C%20%5B2%2C%202%2C%204%2C%202%5D%2C%20%5B5%2C%203%2C%202%2C%201%5D%2C%20%5B4%2C%203%2C%205%2C%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28grid%29%2C%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%23%20%E8%A8%98%E6%86%B6%E5%8C%96%E6%90%9C%E5%B0%8B%0A%20%20%20%20mem%20%3D%20%5B%5B-1%5D%20%2A%20m%20for%20_%20in%20range%28n%29%5D%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dfs_mem%28grid%2C%20mem%2C%20n%20-%201%2C%20m%20-%201%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%BE%9E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%E5%8F%B3%E4%B8%8B%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%81%9A%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E5%92%8C%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=16&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<p>如圖 14-15 所示，在引入記憶化後，所有子問題的解只需計算一次，因此時間複雜度取決於狀態總數，即網格尺寸 <span class="arithmatex">\(O(nm)\)</span> 。</p>
<p><a class="glightbox" href="../dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dfs_mem.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="記憶化搜尋遞迴樹" class="animation-figure" src="../dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dfs_mem.png" /></a></p>
@@ -4667,7 +4663,7 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
</div>
<div class="tabbed-block">
<div class="highlight"><span class="filename">min_path_sum.kt</span><pre><span></span><code><a id="__codelineno-39-1" name="__codelineno-39-1" href="#__codelineno-39-1"></a><span class="cm">/* 最小路徑和：動態規劃 */</span>
<a id="__codelineno-39-2" name="__codelineno-39-2" href="#__codelineno-39-2"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">minPathSumDP</span><span class="p">(</span><span class="n">grid</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">Array</span><span class="o">&lt;</span><span class="n">Array</span><span class="o">&lt;</span><span class="kt">Int</span><span class="o">&gt;&gt;</span><span class="p">):</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-39-2" name="__codelineno-39-2" href="#__codelineno-39-2"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">minPathSumDP</span><span class="p">(</span><span class="n">grid</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">Array</span><span class="o">&lt;</span><span class="n">IntArray</span><span class="o">&gt;</span><span class="p">):</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-39-3" name="__codelineno-39-3" href="#__codelineno-39-3"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">n</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="p">.</span><span class="na">size</span>
<a id="__codelineno-39-4" name="__codelineno-39-4" href="#__codelineno-39-4"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">m</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="o">[</span><span class="m">0</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">size</span>
<a id="__codelineno-39-5" name="__codelineno-39-5" href="#__codelineno-39-5"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 初始化 dp 表</span>
@@ -4684,12 +4680,11 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
<a id="__codelineno-39-16" name="__codelineno-39-16" href="#__codelineno-39-16"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 狀態轉移：其餘行和列</span>
<a id="__codelineno-39-17" name="__codelineno-39-17" href="#__codelineno-39-17"></a><span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="k">in</span><span class="w"> </span><span class="m">1.</span><span class="p">.</span><span class="o">&lt;</span><span class="n">n</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-39-18" name="__codelineno-39-18" href="#__codelineno-39-18"></a><span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="k">in</span><span class="w"> </span><span class="m">1.</span><span class="p">.</span><span class="o">&lt;</span><span class="n">m</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-39-19" name="__codelineno-39-19" href="#__codelineno-39-19"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span>
<a id="__codelineno-39-20" name="__codelineno-39-20" href="#__codelineno-39-20"></a><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">(),</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">())</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="p">).</span><span class="na">toInt</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-39-21" name="__codelineno-39-21" href="#__codelineno-39-21"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-22" name="__codelineno-39-22" href="#__codelineno-39-22"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-23" name="__codelineno-39-23" href="#__codelineno-39-23"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">n</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">m</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-39-24" name="__codelineno-39-24" href="#__codelineno-39-24"></a><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-19" name="__codelineno-39-19" href="#__codelineno-39-19"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-39-20" name="__codelineno-39-20" href="#__codelineno-39-20"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-21" name="__codelineno-39-21" href="#__codelineno-39-21"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-22" name="__codelineno-39-22" href="#__codelineno-39-22"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">n</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">m</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-39-23" name="__codelineno-39-23" href="#__codelineno-39-23"></a><span class="p">}</span>
</code></pre></div>
</div>
<div class="tabbed-block">
@@ -4726,8 +4721,8 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dp%28grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E5%92%8C%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28grid%29,%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%20m%20for%20_%20in%20range%28n%29%5D%0A%20%20%20%20dp%5B0%5D%5B0%5D%20%3D%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%5Bj%5D%20%3D%20dp%5B0%5D%5Bj%20-%201%5D%20%2B%20grid%5B0%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B0%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5B0%5D%20%2B%20grid%5Bi%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E8%A1%8C%E5%92%8C%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%5D%5Bj%20-%201%5D,%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%5D%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%20-%201%5D%5Bm%20-%201%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1,%203,%201,%205%5D,%20%5B2,%202,%204,%202%5D,%20%5B5,%203,%202,%201%5D,%20%5B4,%203,%205,%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28grid%29,%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dp%28grid%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%BB%8E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%E5%8F%B3%E4%B8%8B%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%81%9A%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E5%92%8C%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dp%28grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E5%92%8C%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28grid%29,%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%20m%20for%20_%20in%20range%28n%29%5D%0A%20%20%20%20dp%5B0%5D%5B0%5D%20%3D%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%5Bj%5D%20%3D%20dp%5B0%5D%5Bj%20-%201%5D%20%2B%20grid%5B0%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B0%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5B0%5D%20%2B%20grid%5Bi%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E8%A1%8C%E5%92%8C%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%5D%5Bj%20-%201%5D,%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%5D%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%20-%201%5D%5Bm%20-%201%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1,%203,%201,%205%5D,%20%5B2,%202,%204,%202%5D,%20%5B5,%203,%202,%201%5D,%20%5B4,%203,%205,%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28grid%29,%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dp%28grid%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%BB%8E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%E5%8F%B3%E4%B8%8B%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%81%9A%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E5%92%8C%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dp%28grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E5%92%8C%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28grid%29%2C%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%20m%20for%20_%20in%20range%28n%29%5D%0A%20%20%20%20dp%5B0%5D%5B0%5D%20%3D%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%5Bj%5D%20%3D%20dp%5B0%5D%5Bj%20-%201%5D%20%2B%20grid%5B0%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B0%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5B0%5D%20%2B%20grid%5Bi%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E9%A4%98%E8%A1%8C%E5%92%8C%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%5D%5Bj%20-%201%5D%2C%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%5D%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%20-%201%5D%5Bm%20-%201%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1%2C%203%2C%201%2C%205%5D%2C%20%5B2%2C%202%2C%204%2C%202%5D%2C%20%5B5%2C%203%2C%202%2C%201%5D%2C%20%5B4%2C%203%2C%205%2C%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28grid%29%2C%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dp%28grid%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%BE%9E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%E5%8F%B3%E4%B8%8B%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%81%9A%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E5%92%8C%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dp%28grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E5%92%8C%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28grid%29%2C%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%20m%20for%20_%20in%20range%28n%29%5D%0A%20%20%20%20dp%5B0%5D%5B0%5D%20%3D%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%5Bj%5D%20%3D%20dp%5B0%5D%5Bj%20-%201%5D%20%2B%20grid%5B0%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B0%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5B0%5D%20%2B%20grid%5Bi%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E9%A4%98%E8%A1%8C%E5%92%8C%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%5D%5Bj%20-%201%5D%2C%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%5D%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%20-%201%5D%5Bm%20-%201%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1%2C%203%2C%201%2C%205%5D%2C%20%5B2%2C%202%2C%204%2C%202%5D%2C%20%5B5%2C%203%2C%202%2C%201%5D%2C%20%5B4%2C%203%2C%205%2C%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28grid%29%2C%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dp%28grid%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%BE%9E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%E5%8F%B3%E4%B8%8B%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%81%9A%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E5%92%8C%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<p>圖 14-16 展示了最小路徑和的狀態轉移過程，其走訪了整個網格，<strong>因此時間複雜度為 <span class="arithmatex">\(O(nm)\)</span></strong> 。</p>
<p>陣列 <code>dp</code> 大小為 <span class="arithmatex">\(n \times m\)</span> ，<strong>因此空間複雜度為 <span class="arithmatex">\(O(nm)\)</span></strong> 。</p>
@@ -5044,7 +5039,7 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
</div>
<div class="tabbed-block">
<div class="highlight"><span class="filename">min_path_sum.kt</span><pre><span></span><code><a id="__codelineno-53-1" name="__codelineno-53-1" href="#__codelineno-53-1"></a><span class="cm">/* 最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃 */</span>
<a id="__codelineno-53-2" name="__codelineno-53-2" href="#__codelineno-53-2"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">minPathSumDPComp</span><span class="p">(</span><span class="n">grid</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">Array</span><span class="o">&lt;</span><span class="n">Array</span><span class="o">&lt;</span><span class="kt">Int</span><span class="o">&gt;&gt;</span><span class="p">):</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-53-2" name="__codelineno-53-2" href="#__codelineno-53-2"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">minPathSumDPComp</span><span class="p">(</span><span class="n">grid</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">Array</span><span class="o">&lt;</span><span class="n">IntArray</span><span class="o">&gt;</span><span class="p">):</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-53-3" name="__codelineno-53-3" href="#__codelineno-53-3"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">n</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="p">.</span><span class="na">size</span>
<a id="__codelineno-53-4" name="__codelineno-53-4" href="#__codelineno-53-4"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">m</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="o">[</span><span class="m">0</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">size</span>
<a id="__codelineno-53-5" name="__codelineno-53-5" href="#__codelineno-53-5"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 初始化 dp 表</span>
@@ -5060,7 +5055,7 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
<a id="__codelineno-53-15" name="__codelineno-53-15" href="#__codelineno-53-15"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="m">0</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="m">0</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="m">0</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-53-16" name="__codelineno-53-16" href="#__codelineno-53-16"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 狀態轉移：其餘列</span>
<a id="__codelineno-53-17" name="__codelineno-53-17" href="#__codelineno-53-17"></a><span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="k">in</span><span class="w"> </span><span class="m">1.</span><span class="p">.</span><span class="o">&lt;</span><span class="n">m</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-53-18" name="__codelineno-53-18" href="#__codelineno-53-18"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">(),</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">())</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="p">).</span><span class="na">toInt</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-53-18" name="__codelineno-53-18" href="#__codelineno-53-18"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">grid</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-53-19" name="__codelineno-53-19" href="#__codelineno-53-19"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-53-20" name="__codelineno-53-20" href="#__codelineno-53-20"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-53-21" name="__codelineno-53-21" href="#__codelineno-53-21"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">m</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span>
@@ -5099,8 +5094,8 @@ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dp_comp%28grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E5%92%8C%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28grid%29,%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20m%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%3D%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20dp%5Bj%20-%201%5D%20%2B%20grid%5B0%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%3D%20dp%5B0%5D%20%2B%20grid%5Bi%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bj%20-%201%5D,%20dp%5Bj%5D%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bm%20-%201%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1,%203,%201,%205%5D,%20%5B2,%202,%204,%202%5D,%20%5B5,%203,%202,%201%5D,%20%5B4,%203,%205,%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28grid%29,%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dp_comp%28grid%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%BB%8E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%E5%8F%B3%E4%B8%8B%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%81%9A%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E5%92%8C%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dp_comp%28grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E5%92%8C%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28grid%29,%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20m%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%3D%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20dp%5Bj%20-%201%5D%20%2B%20grid%5B0%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%3D%20dp%5B0%5D%20%2B%20grid%5Bi%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bj%20-%201%5D,%20dp%5Bj%5D%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bm%20-%201%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1,%203,%201,%205%5D,%20%5B2,%202,%204,%202%5D,%20%5B5,%203,%202,%201%5D,%20%5B4,%203,%205,%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28grid%29,%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dp_comp%28grid%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%BB%8E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%E5%8F%B3%E4%B8%8B%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%81%9A%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%84%E5%92%8C%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dp_comp%28grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E5%92%8C%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28grid%29%2C%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20m%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%3D%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20dp%5Bj%20-%201%5D%20%2B%20grid%5B0%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E9%A4%98%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%3D%20dp%5B0%5D%20%2B%20grid%5Bi%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E9%A4%98%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bj%20-%201%5D%2C%20dp%5Bj%5D%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bm%20-%201%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1%2C%203%2C%201%2C%205%5D%2C%20%5B2%2C%202%2C%204%2C%202%5D%2C%20%5B5%2C%203%2C%202%2C%201%5D%2C%20%5B4%2C%203%2C%205%2C%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28grid%29%2C%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dp_comp%28grid%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%BE%9E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%E5%8F%B3%E4%B8%8B%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%81%9A%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E5%92%8C%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20math%20import%20inf%0A%0Adef%20min_path_sum_dp_comp%28grid%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E5%92%8C%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28grid%29%2C%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20m%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%3D%20grid%5B0%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20dp%5Bj%20-%201%5D%20%2B%20grid%5B0%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E9%A4%98%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%3D%20dp%5B0%5D%20%2B%20grid%5Bi%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E9%A4%98%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20m%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bj%20-%201%5D%2C%20dp%5Bj%5D%29%20%2B%20grid%5Bi%5D%5Bj%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bm%20-%201%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20%5B%5B1%2C%203%2C%201%2C%205%5D%2C%20%5B2%2C%202%2C%204%2C%202%5D%2C%20%5B5%2C%203%2C%202%2C%201%5D%2C%20%5B4%2C%203%2C%205%2C%202%5D%5D%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28grid%29%2C%20len%28grid%5B0%5D%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20min_path_sum_dp_comp%28grid%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%BE%9E%E5%B7%A6%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%88%B0%E5%8F%B3%E4%B8%8B%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%81%9A%E5%B0%8F%E8%B7%AF%E5%BE%91%E5%92%8C%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<!-- Source file information -->
zh-hant/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem/index.html
+11 -15
View File
@@ -4010,16 +4010,12 @@ dp[i, j] = dp[i-1, j-1]
<a id="__codelineno-11-18" name="__codelineno-11-18" href="#__codelineno-11-18"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-11-19" name="__codelineno-11-19" href="#__codelineno-11-19"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span><span class="w"> </span><span class="k">else</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-20" name="__codelineno-11-20" href="#__codelineno-11-20"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1</span>
<a id="__codelineno-11-21" name="__codelineno-11-21" href="#__codelineno-11-21"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span>
<a id="__codelineno-11-22" name="__codelineno-11-22" href="#__codelineno-11-22"></a><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">min</span><span class="p">(</span>
<a id="__codelineno-11-23" name="__codelineno-11-23" href="#__codelineno-11-23"></a><span class="w"> </span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">(),</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">()),</span>
<a id="__codelineno-11-24" name="__codelineno-11-24" href="#__codelineno-11-24"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-11-25" name="__codelineno-11-25" href="#__codelineno-11-25"></a><span class="w"> </span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">).</span><span class="na">toInt</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-11-26" name="__codelineno-11-26" href="#__codelineno-11-26"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-27" name="__codelineno-11-27" href="#__codelineno-11-27"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-28" name="__codelineno-11-28" href="#__codelineno-11-28"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-29" name="__codelineno-11-29" href="#__codelineno-11-29"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">n</span><span class="o">][</span><span class="n">m</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-11-30" name="__codelineno-11-30" href="#__codelineno-11-30"></a><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-21" name="__codelineno-11-21" href="#__codelineno-11-21"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="p">),</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span>
<a id="__codelineno-11-22" name="__codelineno-11-22" href="#__codelineno-11-22"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-23" name="__codelineno-11-23" href="#__codelineno-11-23"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-24" name="__codelineno-11-24" href="#__codelineno-11-24"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-25" name="__codelineno-11-25" href="#__codelineno-11-25"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">n</span><span class="o">][</span><span class="n">m</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-11-26" name="__codelineno-11-26" href="#__codelineno-11-26"></a><span class="p">}</span>
</code></pre></div>
</div>
<div class="tabbed-block">
@@ -4059,8 +4055,8 @@ dp[i, j] = dp[i-1, j-1]
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20edit_distance_dp%28s%3A%20str,%20t%3A%20str%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BC%96%E8%BE%91%E8%B7%9D%E7%A6%BB%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28s%29,%20len%28t%29%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%20%28m%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B0%5D%20%3D%20i%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%5Bj%5D%20%3D%20j%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E8%A1%8C%E5%92%8C%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20s%5Bi%20-%201%5D%20%3D%3D%20t%5Bj%20-%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E4%B8%A4%E5%AD%97%E7%AC%A6%E7%9B%B8%E7%AD%89%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%B7%B3%E8%BF%87%E6%AD%A4%E4%B8%A4%E5%AD%97%E7%AC%A6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%BC%96%E8%BE%91%E6%AD%A5%E6%95%B0%20%3D%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E3%80%81%E5%88%A0%E9%99%A4%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E8%BF%99%E4%B8%89%E7%A7%8D%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%BC%96%E8%BE%91%E6%AD%A5%E6%95%B0%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%5D%5Bj%20-%201%5D,%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%5D,%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%20-%201%5D%29%20%2B%201%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bm%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20s%20%3D%20%22bag%22%0A%20%20%20%20t%20%3D%20%22pack%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28s%29,%20len%28t%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20edit_distance_dp%28s,%20t%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%B0%86%20%7Bs%7D%20%E6%9B%B4%E6%94%B9%E4%B8%BA%20%7Bt%7D%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E9%9C%80%E8%A6%81%E7%BC%96%E8%BE%91%20%7Bres%7D%20%E6%AD%A5%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20edit_distance_dp%28s%3A%20str,%20t%3A%20str%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BC%96%E8%BE%91%E8%B7%9D%E7%A6%BB%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28s%29,%20len%28t%29%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%20%28m%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B0%5D%20%3D%20i%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%5Bj%5D%20%3D%20j%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E8%A1%8C%E5%92%8C%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20s%5Bi%20-%201%5D%20%3D%3D%20t%5Bj%20-%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E4%B8%A4%E5%AD%97%E7%AC%A6%E7%9B%B8%E7%AD%89%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%B7%B3%E8%BF%87%E6%AD%A4%E4%B8%A4%E5%AD%97%E7%AC%A6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%BC%96%E8%BE%91%E6%AD%A5%E6%95%B0%20%3D%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E3%80%81%E5%88%A0%E9%99%A4%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E8%BF%99%E4%B8%89%E7%A7%8D%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%BC%96%E8%BE%91%E6%AD%A5%E6%95%B0%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%5D%5Bj%20-%201%5D,%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%5D,%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%20-%201%5D%29%20%2B%201%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bm%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20s%20%3D%20%22bag%22%0A%20%20%20%20t%20%3D%20%22pack%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28s%29,%20len%28t%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20edit_distance_dp%28s,%20t%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%B0%86%20%7Bs%7D%20%E6%9B%B4%E6%94%B9%E4%B8%BA%20%7Bt%7D%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E9%9C%80%E8%A6%81%E7%BC%96%E8%BE%91%20%7Bres%7D%20%E6%AD%A5%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20edit_distance_dp%28s%3A%20str%2C%20t%3A%20str%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%B7%A8%E8%BC%AF%E8%B7%9D%E9%9B%A2%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28s%29%2C%20len%28t%29%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%20%28m%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B0%5D%20%3D%20i%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%5Bj%5D%20%3D%20j%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E9%A4%98%E8%A1%8C%E5%92%8C%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20s%5Bi%20-%201%5D%20%3D%3D%20t%5Bj%20-%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%85%A9%E5%AD%97%E5%85%83%E7%9B%B8%E7%AD%89%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%B7%B3%E9%81%8E%E6%AD%A4%E5%85%A9%E5%AD%97%E5%85%83%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%B7%A8%E8%BC%AF%E6%AD%A5%E6%95%B8%20%3D%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E3%80%81%E5%88%AA%E9%99%A4%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8F%9B%E9%80%99%E4%B8%89%E7%A8%AE%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%B7%A8%E8%BC%AF%E6%AD%A5%E6%95%B8%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%5D%5Bj%20-%201%5D%2C%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%5D%2C%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%20-%201%5D%29%20%2B%201%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bm%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20s%20%3D%20%22bag%22%0A%20%20%20%20t%20%3D%20%22pack%22%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28s%29%2C%20len%28t%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20edit_distance_dp%28s%2C%20t%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%B0%87%20%7Bs%7D%20%E6%9B%B4%E6%94%B9%E7%82%BA%20%7Bt%7D%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E9%9C%80%E8%A6%81%E7%B7%A8%E8%BC%AF%20%7Bres%7D%20%E6%AD%A5%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20edit_distance_dp%28s%3A%20str%2C%20t%3A%20str%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%B7%A8%E8%BC%AF%E8%B7%9D%E9%9B%A2%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28s%29%2C%20len%28t%29%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%20%28m%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B0%5D%20%3D%20i%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%5Bj%5D%20%3D%20j%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E9%A4%98%E8%A1%8C%E5%92%8C%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20s%5Bi%20-%201%5D%20%3D%3D%20t%5Bj%20-%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%85%A9%E5%AD%97%E5%85%83%E7%9B%B8%E7%AD%89%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%B7%B3%E9%81%8E%E6%AD%A4%E5%85%A9%E5%AD%97%E5%85%83%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%B7%A8%E8%BC%AF%E6%AD%A5%E6%95%B8%20%3D%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E3%80%81%E5%88%AA%E9%99%A4%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8F%9B%E9%80%99%E4%B8%89%E7%A8%AE%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%B7%A8%E8%BC%AF%E6%AD%A5%E6%95%B8%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%5D%5Bj%20-%201%5D%2C%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%5D%2C%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bj%20-%201%5D%29%20%2B%201%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bm%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20s%20%3D%20%22bag%22%0A%20%20%20%20t%20%3D%20%22pack%22%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28s%29%2C%20len%28t%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20edit_distance_dp%28s%2C%20t%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%B0%87%20%7Bs%7D%20%E6%9B%B4%E6%94%B9%E7%82%BA%20%7Bt%7D%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E9%9C%80%E8%A6%81%E7%B7%A8%E8%BC%AF%20%7Bres%7D%20%E6%AD%A5%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<p>如圖 14-30 所示，編輯距離問題的狀態轉移過程與背包問題非常類似，都可以看作填寫一個二維網格的過程。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:15"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_11" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_12" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_13" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_14" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_15" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_2_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_2_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_2_4">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_2_5">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_2_6">&lt;6&gt;</label><label for="__tabbed_2_7">&lt;7&gt;</label><label for="__tabbed_2_8">&lt;8&gt;</label><label for="__tabbed_2_9">&lt;9&gt;</label><label for="__tabbed_2_10">&lt;10&gt;</label><label for="__tabbed_2_11">&lt;11&gt;</label><label for="__tabbed_2_12">&lt;12&gt;</label><label for="__tabbed_2_13">&lt;13&gt;</label><label for="__tabbed_2_14">&lt;14&gt;</label><label for="__tabbed_2_15">&lt;15&gt;</label></div>
@@ -4484,7 +4480,7 @@ dp[i, j] = dp[i-1, j-1]
<a id="__codelineno-25-20" name="__codelineno-25-20" href="#__codelineno-25-20"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">leftup</span>
<a id="__codelineno-25-21" name="__codelineno-25-21" href="#__codelineno-25-21"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span><span class="w"> </span><span class="k">else</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-25-22" name="__codelineno-25-22" href="#__codelineno-25-22"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1</span>
<a id="__codelineno-25-23" name="__codelineno-25-23" href="#__codelineno-25-23"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">(),</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">()),</span><span class="w"> </span><span class="n">leftup</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">())</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">).</span><span class="na">toInt</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-25-23" name="__codelineno-25-23" href="#__codelineno-25-23"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">j</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">j</span><span class="o">]</span><span class="p">),</span><span class="w"> </span><span class="n">leftup</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span>
<a id="__codelineno-25-24" name="__codelineno-25-24" href="#__codelineno-25-24"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-25-25" name="__codelineno-25-25" href="#__codelineno-25-25"></a><span class="w"> </span><span class="n">leftup</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">temp</span><span class="w"> </span><span class="c1">// 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]</span>
<a id="__codelineno-25-26" name="__codelineno-25-26" href="#__codelineno-25-26"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
@@ -4533,8 +4529,8 @@ dp[i, j] = dp[i-1, j-1]
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20edit_distance_dp_comp%28s%3A%20str,%20t%3A%20str%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BC%96%E8%BE%91%E8%B7%9D%E7%A6%BB%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28s%29,%20len%28t%29%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20%28m%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20j%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20leftup%20%3D%20dp%5B0%5D%20%20%23%20%E6%9A%82%E5%AD%98%20dp%5Bi-1,%20j-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temp%20%3D%20dp%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20s%5Bi%20-%201%5D%20%3D%3D%20t%5Bj%20-%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E4%B8%A4%E5%AD%97%E7%AC%A6%E7%9B%B8%E7%AD%89%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%B7%B3%E8%BF%87%E6%AD%A4%E4%B8%A4%E5%AD%97%E7%AC%A6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20leftup%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%BC%96%E8%BE%91%E6%AD%A5%E6%95%B0%20%3D%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E3%80%81%E5%88%A0%E9%99%A4%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E8%BF%99%E4%B8%89%E7%A7%8D%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%BC%96%E8%BE%91%E6%AD%A5%E6%95%B0%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bj%20-%201%5D,%20dp%5Bj%5D,%20leftup%29%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leftup%20%3D%20temp%20%20%23%20%E6%9B%B4%E6%96%B0%E4%B8%BA%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BD%AE%E7%9A%84%20dp%5Bi-1,%20j-1%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bm%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20s%20%3D%20%22bag%22%0A%20%20%20%20t%20%3D%20%22pack%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28s%29,%20len%28t%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20edit_distance_dp_comp%28s,%20t%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%B0%86%20%7Bs%7D%20%E6%9B%B4%E6%94%B9%E4%B8%BA%20%7Bt%7D%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E9%9C%80%E8%A6%81%E7%BC%96%E8%BE%91%20%7Bres%7D%20%E6%AD%A5%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20edit_distance_dp_comp%28s%3A%20str,%20t%3A%20str%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BC%96%E8%BE%91%E8%B7%9D%E7%A6%BB%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28s%29,%20len%28t%29%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20%28m%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20j%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20leftup%20%3D%20dp%5B0%5D%20%20%23%20%E6%9A%82%E5%AD%98%20dp%5Bi-1,%20j-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281,%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temp%20%3D%20dp%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20s%5Bi%20-%201%5D%20%3D%3D%20t%5Bj%20-%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E4%B8%A4%E5%AD%97%E7%AC%A6%E7%9B%B8%E7%AD%89%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%B7%B3%E8%BF%87%E6%AD%A4%E4%B8%A4%E5%AD%97%E7%AC%A6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20leftup%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%BC%96%E8%BE%91%E6%AD%A5%E6%95%B0%20%3D%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E3%80%81%E5%88%A0%E9%99%A4%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8D%A2%E8%BF%99%E4%B8%89%E7%A7%8D%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%BC%96%E8%BE%91%E6%AD%A5%E6%95%B0%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bj%20-%201%5D,%20dp%5Bj%5D,%20leftup%29%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leftup%20%3D%20temp%20%20%23%20%E6%9B%B4%E6%96%B0%E4%B8%BA%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BD%AE%E7%9A%84%20dp%5Bi-1,%20j-1%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bm%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20s%20%3D%20%22bag%22%0A%20%20%20%20t%20%3D%20%22pack%22%0A%20%20%20%20n,%20m%20%3D%20len%28s%29,%20len%28t%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20edit_distance_dp_comp%28s,%20t%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%B0%86%20%7Bs%7D%20%E6%9B%B4%E6%94%B9%E4%B8%BA%20%7Bt%7D%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E9%9C%80%E8%A6%81%E7%BC%96%E8%BE%91%20%7Bres%7D%20%E6%AD%A5%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20edit_distance_dp_comp%28s%3A%20str%2C%20t%3A%20str%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%B7%A8%E8%BC%AF%E8%B7%9D%E9%9B%A2%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28s%29%2C%20len%28t%29%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20%28m%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20j%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E9%A4%98%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20leftup%20%3D%20dp%5B0%5D%20%20%23%20%E6%9A%AB%E5%AD%98%20dp%5Bi-1%2C%20j-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E9%A4%98%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temp%20%3D%20dp%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20s%5Bi%20-%201%5D%20%3D%3D%20t%5Bj%20-%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%85%A9%E5%AD%97%E5%85%83%E7%9B%B8%E7%AD%89%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%B7%B3%E9%81%8E%E6%AD%A4%E5%85%A9%E5%AD%97%E5%85%83%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20leftup%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%B7%A8%E8%BC%AF%E6%AD%A5%E6%95%B8%20%3D%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E3%80%81%E5%88%AA%E9%99%A4%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8F%9B%E9%80%99%E4%B8%89%E7%A8%AE%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%B7%A8%E8%BC%AF%E6%AD%A5%E6%95%B8%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bj%20-%201%5D%2C%20dp%5Bj%5D%2C%20leftup%29%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leftup%20%3D%20temp%20%20%23%20%E6%9B%B4%E6%96%B0%E7%82%BA%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BC%AA%E7%9A%84%20dp%5Bi-1%2C%20j-1%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bm%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20s%20%3D%20%22bag%22%0A%20%20%20%20t%20%3D%20%22pack%22%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28s%29%2C%20len%28t%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20edit_distance_dp_comp%28s%2C%20t%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%B0%87%20%7Bs%7D%20%E6%9B%B4%E6%94%B9%E7%82%BA%20%7Bt%7D%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E9%9C%80%E8%A6%81%E7%B7%A8%E8%BC%AF%20%7Bres%7D%20%E6%AD%A5%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20edit_distance_dp_comp%28s%3A%20str%2C%20t%3A%20str%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%B7%A8%E8%BC%AF%E8%B7%9D%E9%9B%A2%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28s%29%2C%20len%28t%29%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20%28m%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20j%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E9%A4%98%E8%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20leftup%20%3D%20dp%5B0%5D%20%20%23%20%E6%9A%AB%E5%AD%98%20dp%5Bi-1%2C%20j-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E9%A4%98%E5%88%97%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20m%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temp%20%3D%20dp%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20s%5Bi%20-%201%5D%20%3D%3D%20t%5Bj%20-%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%85%A9%E5%AD%97%E5%85%83%E7%9B%B8%E7%AD%89%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%B7%B3%E9%81%8E%E6%AD%A4%E5%85%A9%E5%AD%97%E5%85%83%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20leftup%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%B7%A8%E8%BC%AF%E6%AD%A5%E6%95%B8%20%3D%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E3%80%81%E5%88%AA%E9%99%A4%E3%80%81%E6%9B%BF%E6%8F%9B%E9%80%99%E4%B8%89%E7%A8%AE%E6%93%8D%E4%BD%9C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%B7%A8%E8%BC%AF%E6%AD%A5%E6%95%B8%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bj%5D%20%3D%20min%28dp%5Bj%20-%201%5D%2C%20dp%5Bj%5D%2C%20leftup%29%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leftup%20%3D%20temp%20%20%23%20%E6%9B%B4%E6%96%B0%E7%82%BA%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BC%AA%E7%9A%84%20dp%5Bi-1%2C%20j-1%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bm%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20s%20%3D%20%22bag%22%0A%20%20%20%20t%20%3D%20%22pack%22%0A%20%20%20%20n%2C%20m%20%3D%20len%28s%29%2C%20len%28t%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20edit_distance_dp_comp%28s%2C%20t%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%B0%87%20%7Bs%7D%20%E6%9B%B4%E6%94%B9%E7%82%BA%20%7Bt%7D%20%E6%9C%80%E5%B0%91%E9%9C%80%E8%A6%81%E7%B7%A8%E8%BC%AF%20%7Bres%7D%20%E6%AD%A5%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<!-- Source file information -->
zh-hant/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming/index.html
+37 -38
View File
@@ -3965,32 +3965,33 @@
<div class="tabbed-block">
<div class="highlight"><span class="filename">climbing_stairs_backtrack.kt</span><pre><span></span><code><a id="__codelineno-11-1" name="__codelineno-11-1" href="#__codelineno-11-1"></a><span class="cm">/* 回溯 */</span>
<a id="__codelineno-11-2" name="__codelineno-11-2" href="#__codelineno-11-2"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">backtrack</span><span class="p">(</span>
<a id="__codelineno-11-3" name="__codelineno-11-3" href="#__codelineno-11-3"></a><span class="w"> </span><span class="n">choices</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">List</span><span class="o">&lt;</span><span class="kt">Int</span><span class="o">&gt;</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-11-3" name="__codelineno-11-3" href="#__codelineno-11-3"></a><span class="w"> </span><span class="n">choices</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">MutableList</span><span class="o">&lt;</span><span class="kt">Int</span><span class="o">&gt;</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-11-4" name="__codelineno-11-4" href="#__codelineno-11-4"></a><span class="w"> </span><span class="n">state</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-11-5" name="__codelineno-11-5" href="#__codelineno-11-5"></a><span class="w"> </span><span class="n">n</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-11-6" name="__codelineno-11-6" href="#__codelineno-11-6"></a><span class="w"> </span><span class="n">res</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">MutableList</span><span class="o">&lt;</span><span class="kt">Int</span><span class="o">&gt;</span>
<a id="__codelineno-11-7" name="__codelineno-11-7" href="#__codelineno-11-7"></a><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-8" name="__codelineno-11-8" href="#__codelineno-11-8"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 當爬到第 n 階時，方案數量加 1</span>
<a id="__codelineno-11-9" name="__codelineno-11-9" href="#__codelineno-11-9"></a><span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">state</span><span class="w"> </span><span class="o">==</span><span class="w"> </span><span class="n">n</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="n">res</span><span class="o">[</span><span class="m">0</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">res</span><span class="o">[</span><span class="m">0</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span>
<a id="__codelineno-11-10" name="__codelineno-11-10" href="#__codelineno-11-10"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 走訪所有選擇</span>
<a id="__codelineno-11-11" name="__codelineno-11-11" href="#__codelineno-11-11"></a><span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">choice</span><span class="w"> </span><span class="k">in</span><span class="w"> </span><span class="n">choices</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-12" name="__codelineno-11-12" href="#__codelineno-11-12"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 剪枝：不允許越過第 n 階</span>
<a id="__codelineno-11-13" name="__codelineno-11-13" href="#__codelineno-11-13"></a><span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">state</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">choice</span><span class="w"> </span><span class="o">&gt;</span><span class="w"> </span><span class="n">n</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="k">continue</span>
<a id="__codelineno-11-14" name="__codelineno-11-14" href="#__codelineno-11-14"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 嘗試：做出選擇，更新狀態</span>
<a id="__codelineno-11-15" name="__codelineno-11-15" href="#__codelineno-11-15"></a><span class="w"> </span><span class="n">backtrack</span><span class="p">(</span><span class="n">choices</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">state</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">choice</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">n</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">res</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-11-16" name="__codelineno-11-16" href="#__codelineno-11-16"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 回退</span>
<a id="__codelineno-11-17" name="__codelineno-11-17" href="#__codelineno-11-17"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-18" name="__codelineno-11-18" href="#__codelineno-11-18"></a><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-19" name="__codelineno-11-19" href="#__codelineno-11-19"></a>
<a id="__codelineno-11-20" name="__codelineno-11-20" href="#__codelineno-11-20"></a><span class="cm">/* 爬樓梯：回溯 */</span>
<a id="__codelineno-11-21" name="__codelineno-11-21" href="#__codelineno-11-21"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">climbingStairsBacktrack</span><span class="p">(</span><span class="n">n</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="p">):</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-22" name="__codelineno-11-22" href="#__codelineno-11-22"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">choices</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">mutableListOf</span><span class="p">(</span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="m">2</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="c1">// 可選擇向上爬 1 階或 2 階</span>
<a id="__codelineno-11-23" name="__codelineno-11-23" href="#__codelineno-11-23"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">state</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="m">0</span><span class="w"> </span><span class="c1">// 從第 0 階開始爬</span>
<a id="__codelineno-11-24" name="__codelineno-11-24" href="#__codelineno-11-24"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">res</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">ArrayList</span><span class="o">&lt;</span><span class="kt">Int</span><span class="o">&gt;</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-11-25" name="__codelineno-11-25" href="#__codelineno-11-25"></a><span class="w"> </span><span class="n">res</span><span class="p">.</span><span class="na">add</span><span class="p">(</span><span class="m">0</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="c1">// 使用 res[0] 記錄方案數量</span>
<a id="__codelineno-11-26" name="__codelineno-11-26" href="#__codelineno-11-26"></a><span class="w"> </span><span class="n">backtrack</span><span class="p">(</span><span class="n">choices</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">state</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">n</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">res</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-11-27" name="__codelineno-11-27" href="#__codelineno-11-27"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">res</span><span class="o">[</span><span class="m">0</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-11-28" name="__codelineno-11-28" href="#__codelineno-11-28"></a><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-9" name="__codelineno-11-9" href="#__codelineno-11-9"></a><span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">state</span><span class="w"> </span><span class="o">==</span><span class="w"> </span><span class="n">n</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-11-10" name="__codelineno-11-10" href="#__codelineno-11-10"></a><span class="w"> </span><span class="n">res</span><span class="o">[</span><span class="m">0</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">res</span><span class="o">[</span><span class="m">0</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span>
<a id="__codelineno-11-11" name="__codelineno-11-11" href="#__codelineno-11-11"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 走訪所有選擇</span>
<a id="__codelineno-11-12" name="__codelineno-11-12" href="#__codelineno-11-12"></a><span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">choice</span><span class="w"> </span><span class="k">in</span><span class="w"> </span><span class="n">choices</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-13" name="__codelineno-11-13" href="#__codelineno-11-13"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 剪枝：不允許越過第 n 階</span>
<a id="__codelineno-11-14" name="__codelineno-11-14" href="#__codelineno-11-14"></a><span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">state</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">choice</span><span class="w"> </span><span class="o">&gt;</span><span class="w"> </span><span class="n">n</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="k">continue</span>
<a id="__codelineno-11-15" name="__codelineno-11-15" href="#__codelineno-11-15"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 嘗試：做出選擇，更新狀態</span>
<a id="__codelineno-11-16" name="__codelineno-11-16" href="#__codelineno-11-16"></a><span class="w"> </span><span class="n">backtrack</span><span class="p">(</span><span class="n">choices</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">state</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">choice</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">n</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">res</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-11-17" name="__codelineno-11-17" href="#__codelineno-11-17"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 回退</span>
<a id="__codelineno-11-18" name="__codelineno-11-18" href="#__codelineno-11-18"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-19" name="__codelineno-11-19" href="#__codelineno-11-19"></a><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-20" name="__codelineno-11-20" href="#__codelineno-11-20"></a>
<a id="__codelineno-11-21" name="__codelineno-11-21" href="#__codelineno-11-21"></a><span class="cm">/* 爬樓梯：回溯 */</span>
<a id="__codelineno-11-22" name="__codelineno-11-22" href="#__codelineno-11-22"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">climbingStairsBacktrack</span><span class="p">(</span><span class="n">n</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="p">):</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-23" name="__codelineno-11-23" href="#__codelineno-11-23"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">choices</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">mutableListOf</span><span class="p">(</span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="m">2</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="c1">// 可選擇向上爬 1 階或 2 階</span>
<a id="__codelineno-11-24" name="__codelineno-11-24" href="#__codelineno-11-24"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">state</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="m">0</span><span class="w"> </span><span class="c1">// 從第 0 階開始爬</span>
<a id="__codelineno-11-25" name="__codelineno-11-25" href="#__codelineno-11-25"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">res</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">mutableListOf</span><span class="o">&lt;</span><span class="kt">Int</span><span class="o">&gt;</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-11-26" name="__codelineno-11-26" href="#__codelineno-11-26"></a><span class="w"> </span><span class="n">res</span><span class="p">.</span><span class="na">add</span><span class="p">(</span><span class="m">0</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="c1">// 使用 res[0] 記錄方案數量</span>
<a id="__codelineno-11-27" name="__codelineno-11-27" href="#__codelineno-11-27"></a><span class="w"> </span><span class="n">backtrack</span><span class="p">(</span><span class="n">choices</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">state</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">n</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">res</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-11-28" name="__codelineno-11-28" href="#__codelineno-11-28"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">res</span><span class="o">[</span><span class="m">0</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-11-29" name="__codelineno-11-29" href="#__codelineno-11-29"></a><span class="p">}</span>
</code></pre></div>
</div>
<div class="tabbed-block">
@@ -4034,8 +4035,8 @@
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28choices%3A%20list%5Bint%5D,%20state%3A%20int,%20n%3A%20int,%20res%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E7%88%AC%E5%88%B0%E7%AC%AC%20n%20%E9%98%B6%E6%97%B6%EF%BC%8C%E6%96%B9%E6%A1%88%E6%95%B0%E9%87%8F%E5%8A%A0%201%0A%20%20%20%20if%20state%20%3D%3D%20n%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%5B0%5D%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%89%80%E6%9C%89%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20for%20choice%20in%20choices%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%EF%BC%9A%E4%B8%8D%E5%85%81%E8%AE%B8%E8%B6%8A%E8%BF%87%E7%AC%AC%20n%20%E9%98%B6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20state%20%2B%20choice%20%3E%20n%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%9D%E8%AF%95%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%E7%8A%B6%E6%80%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28choices,%20state%20%2B%20choice,%20n,%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_backtrack%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E5%9B%9E%E6%BA%AF%22%22%22%0A%20%20%20%20choices%20%3D%20%5B1,%202%5D%20%20%23%20%E5%8F%AF%E9%80%89%E6%8B%A9%E5%90%91%E4%B8%8A%E7%88%AC%201%20%E9%98%B6%E6%88%96%202%20%E9%98%B6%0A%20%20%20%20state%20%3D%200%20%20%23%20%E4%BB%8E%E7%AC%AC%200%20%E9%98%B6%E5%BC%80%E5%A7%8B%E7%88%AC%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B0%5D%20%20%23%20%E4%BD%BF%E7%94%A8%20res%5B0%5D%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E6%96%B9%E6%A1%88%E6%95%B0%E9%87%8F%0A%20%20%20%20backtrack%28choices,%20state,%20n,%20res%29%0A%20%20%20%20return%20res%5B0%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_backtrack%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%98%B6%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28choices%3A%20list%5Bint%5D,%20state%3A%20int,%20n%3A%20int,%20res%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E7%88%AC%E5%88%B0%E7%AC%AC%20n%20%E9%98%B6%E6%97%B6%EF%BC%8C%E6%96%B9%E6%A1%88%E6%95%B0%E9%87%8F%E5%8A%A0%201%0A%20%20%20%20if%20state%20%3D%3D%20n%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%5B0%5D%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%89%80%E6%9C%89%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20for%20choice%20in%20choices%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%EF%BC%9A%E4%B8%8D%E5%85%81%E8%AE%B8%E8%B6%8A%E8%BF%87%E7%AC%AC%20n%20%E9%98%B6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20state%20%2B%20choice%20%3E%20n%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%9D%E8%AF%95%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%E7%8A%B6%E6%80%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28choices,%20state%20%2B%20choice,%20n,%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_backtrack%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E5%9B%9E%E6%BA%AF%22%22%22%0A%20%20%20%20choices%20%3D%20%5B1,%202%5D%20%20%23%20%E5%8F%AF%E9%80%89%E6%8B%A9%E5%90%91%E4%B8%8A%E7%88%AC%201%20%E9%98%B6%E6%88%96%202%20%E9%98%B6%0A%20%20%20%20state%20%3D%200%20%20%23%20%E4%BB%8E%E7%AC%AC%200%20%E9%98%B6%E5%BC%80%E5%A7%8B%E7%88%AC%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B0%5D%20%20%23%20%E4%BD%BF%E7%94%A8%20res%5B0%5D%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E6%96%B9%E6%A1%88%E6%95%B0%E9%87%8F%0A%20%20%20%20backtrack%28choices,%20state,%20n,%20res%29%0A%20%20%20%20return%20res%5B0%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_backtrack%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%98%B6%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28choices%3A%20list%5Bint%5D%2C%20state%3A%20int%2C%20n%3A%20int%2C%20res%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%95%B6%E7%88%AC%E5%88%B0%E7%AC%AC%20n%20%E9%9A%8E%E6%99%82%EF%BC%8C%E6%96%B9%E6%A1%88%E6%95%B8%E9%87%8F%E5%8A%A0%201%0A%20%20%20%20if%20state%20%3D%3D%20n%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%5B0%5D%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E8%B5%B0%E8%A8%AA%E6%89%80%E6%9C%89%E9%81%B8%E6%93%87%0A%20%20%20%20for%20choice%20in%20choices%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%EF%BC%9A%E4%B8%8D%E5%85%81%E8%A8%B1%E8%B6%8A%E9%81%8E%E7%AC%AC%20n%20%E9%9A%8E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20state%20%2B%20choice%20%3E%20n%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%98%97%E8%A9%A6%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%81%B8%E6%93%87%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%E7%8B%80%E6%85%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28choices%2C%20state%20%2B%20choice%2C%20n%2C%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_backtrack%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A8%93%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E5%9B%9E%E6%BA%AF%22%22%22%0A%20%20%20%20choices%20%3D%20%5B1%2C%202%5D%20%20%23%20%E5%8F%AF%E9%81%B8%E6%93%87%E5%90%91%E4%B8%8A%E7%88%AC%201%20%E9%9A%8E%E6%88%96%202%20%E9%9A%8E%0A%20%20%20%20state%20%3D%200%20%20%23%20%E5%BE%9E%E7%AC%AC%200%20%E9%9A%8E%E9%96%8B%E5%A7%8B%E7%88%AC%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B0%5D%20%20%23%20%E4%BD%BF%E7%94%A8%20res%5B0%5D%20%E8%A8%98%E9%8C%84%E6%96%B9%E6%A1%88%E6%95%B8%E9%87%8F%0A%20%20%20%20backtrack%28choices%2C%20state%2C%20n%2C%20res%29%0A%20%20%20%20return%20res%5B0%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_backtrack%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%9A%8E%E6%A8%93%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28choices%3A%20list%5Bint%5D%2C%20state%3A%20int%2C%20n%3A%20int%2C%20res%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%95%B6%E7%88%AC%E5%88%B0%E7%AC%AC%20n%20%E9%9A%8E%E6%99%82%EF%BC%8C%E6%96%B9%E6%A1%88%E6%95%B8%E9%87%8F%E5%8A%A0%201%0A%20%20%20%20if%20state%20%3D%3D%20n%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%5B0%5D%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E8%B5%B0%E8%A8%AA%E6%89%80%E6%9C%89%E9%81%B8%E6%93%87%0A%20%20%20%20for%20choice%20in%20choices%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%EF%BC%9A%E4%B8%8D%E5%85%81%E8%A8%B1%E8%B6%8A%E9%81%8E%E7%AC%AC%20n%20%E9%9A%8E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20state%20%2B%20choice%20%3E%20n%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%98%97%E8%A9%A6%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%81%B8%E6%93%87%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%E7%8B%80%E6%85%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28choices%2C%20state%20%2B%20choice%2C%20n%2C%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_backtrack%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A8%93%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E5%9B%9E%E6%BA%AF%22%22%22%0A%20%20%20%20choices%20%3D%20%5B1%2C%202%5D%20%20%23%20%E5%8F%AF%E9%81%B8%E6%93%87%E5%90%91%E4%B8%8A%E7%88%AC%201%20%E9%9A%8E%E6%88%96%202%20%E9%9A%8E%0A%20%20%20%20state%20%3D%200%20%20%23%20%E5%BE%9E%E7%AC%AC%200%20%E9%9A%8E%E9%96%8B%E5%A7%8B%E7%88%AC%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B0%5D%20%20%23%20%E4%BD%BF%E7%94%A8%20res%5B0%5D%20%E8%A8%98%E9%8C%84%E6%96%B9%E6%A1%88%E6%95%B8%E9%87%8F%0A%20%20%20%20backtrack%28choices%2C%20state%2C%20n%2C%20res%29%0A%20%20%20%20return%20res%5B0%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_backtrack%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%9A%8E%E6%A8%93%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<h2 id="1411">14.1.1 &nbsp; 方法一：暴力搜尋<a class="headerlink" href="#1411" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>回溯演算法通常並不顯式地對問題進行拆解，而是將求解問題看作一系列決策步驟，透過試探和剪枝，搜尋所有可能的解。</p>
@@ -4285,8 +4286,8 @@ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20dfs%28i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%90%9C%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B7%B2%E7%9F%A5%20dp%5B1%5D%20%E5%92%8C%20dp%5B2%5D%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%B9%8B%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%20or%20i%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20%23%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi-1%5D%20%2B%20dp%5Bi-2%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20dfs%28i%20-%201%29%20%2B%20dfs%28i%20-%202%29%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_dfs%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E6%90%9C%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20dfs%28n%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dfs%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%98%B6%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20dfs%28i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%90%9C%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B7%B2%E7%9F%A5%20dp%5B1%5D%20%E5%92%8C%20dp%5B2%5D%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%B9%8B%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%20or%20i%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20%23%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi-1%5D%20%2B%20dp%5Bi-2%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20dfs%28i%20-%201%29%20%2B%20dfs%28i%20-%202%29%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_dfs%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E6%90%9C%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20dfs%28n%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dfs%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%98%B6%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20dfs%28i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%90%9C%E5%B0%8B%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B7%B2%E7%9F%A5%20dp%5B1%5D%20%E5%92%8C%20dp%5B2%5D%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%B9%8B%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%20or%20i%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20%23%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi-1%5D%20%2B%20dp%5Bi-2%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20dfs%28i%20-%201%29%20%2B%20dfs%28i%20-%202%29%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_dfs%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A8%93%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E6%90%9C%E5%B0%8B%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20dfs%28n%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dfs%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%9A%8E%E6%A8%93%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20dfs%28i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%90%9C%E5%B0%8B%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B7%B2%E7%9F%A5%20dp%5B1%5D%20%E5%92%8C%20dp%5B2%5D%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%B9%8B%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%20or%20i%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20%23%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi-1%5D%20%2B%20dp%5Bi-2%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20dfs%28i%20-%201%29%20%2B%20dfs%28i%20-%202%29%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_dfs%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A8%93%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E6%90%9C%E5%B0%8B%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20dfs%28n%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dfs%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%9A%8E%E6%A8%93%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<p>圖 14-3 展示了暴力搜尋形成的遞迴樹。對於問題 <span class="arithmatex">\(dp[n]\)</span> ，其遞迴樹的深度為 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，時間複雜度為 <span class="arithmatex">\(O(2^n)\)</span> 。指數階屬於爆炸式增長，如果我們輸入一個比較大的 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，則會陷入漫長的等待之中。</p>
<p><a class="glightbox" href="../intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dfs_tree.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="爬樓梯對應遞迴樹" class="animation-figure" src="../intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dfs_tree.png" /></a></p>
@@ -4593,7 +4594,7 @@ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
<a id="__codelineno-39-15" name="__codelineno-39-15" href="#__codelineno-39-15"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">climbingStairsDFSMem</span><span class="p">(</span><span class="n">n</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="p">):</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-39-16" name="__codelineno-39-16" href="#__codelineno-39-16"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// mem[i] 記錄爬到第 i 階的方案總數，-1 代表無記錄</span>
<a id="__codelineno-39-17" name="__codelineno-39-17" href="#__codelineno-39-17"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">mem</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">(</span><span class="n">n</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-39-18" name="__codelineno-39-18" href="#__codelineno-39-18"></a><span class="w"> </span><span class="n">Arrays</span><span class="p">.</span><span class="na">fill</span><span class="p">(</span><span class="n">mem</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="m">1</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-39-18" name="__codelineno-39-18" href="#__codelineno-39-18"></a><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="p">.</span><span class="na">fill</span><span class="p">(</span><span class="o">-</span><span class="m">1</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-39-19" name="__codelineno-39-19" href="#__codelineno-39-19"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">dfs</span><span class="p">(</span><span class="n">n</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-39-20" name="__codelineno-39-20" href="#__codelineno-39-20"></a><span class="p">}</span>
</code></pre></div>
@@ -4634,8 +4635,8 @@ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20dfs%28i%3A%20int,%20mem%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E8%AE%B0%E5%BF%86%E5%8C%96%E6%90%9C%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B7%B2%E7%9F%A5%20dp%5B1%5D%20%E5%92%8C%20dp%5B2%5D%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%B9%8B%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%20or%20i%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%AD%98%E5%9C%A8%E8%AE%B0%E5%BD%95%20dp%5Bi%5D%20%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%B9%8B%0A%20%20%20%20if%20mem%5Bi%5D%20!%3D%20-1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%0A%20%20%20%20%23%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi-1%5D%20%2B%20dp%5Bi-2%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20dfs%28i%20-%201,%20mem%29%20%2B%20dfs%28i%20-%202,%20mem%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%20dp%5Bi%5D%0A%20%20%20%20mem%5Bi%5D%20%3D%20count%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_dfs_mem%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E8%AE%B0%E5%BF%86%E5%8C%96%E6%90%9C%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20mem%5Bi%5D%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E7%88%AC%E5%88%B0%E7%AC%AC%20i%20%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%A1%88%E6%80%BB%E6%95%B0%EF%BC%8C-1%20%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E6%97%A0%E8%AE%B0%E5%BD%95%0A%20%20%20%20mem%20%3D%20%5B-1%5D%20*%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20return%20dfs%28n,%20mem%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dfs_mem%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%98%B6%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20dfs%28i%3A%20int,%20mem%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E8%AE%B0%E5%BF%86%E5%8C%96%E6%90%9C%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B7%B2%E7%9F%A5%20dp%5B1%5D%20%E5%92%8C%20dp%5B2%5D%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%B9%8B%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%20or%20i%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%AD%98%E5%9C%A8%E8%AE%B0%E5%BD%95%20dp%5Bi%5D%20%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%B9%8B%0A%20%20%20%20if%20mem%5Bi%5D%20!%3D%20-1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%0A%20%20%20%20%23%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi-1%5D%20%2B%20dp%5Bi-2%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20dfs%28i%20-%201,%20mem%29%20%2B%20dfs%28i%20-%202,%20mem%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%20dp%5Bi%5D%0A%20%20%20%20mem%5Bi%5D%20%3D%20count%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_dfs_mem%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E8%AE%B0%E5%BF%86%E5%8C%96%E6%90%9C%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20mem%5Bi%5D%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E7%88%AC%E5%88%B0%E7%AC%AC%20i%20%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%A1%88%E6%80%BB%E6%95%B0%EF%BC%8C-1%20%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E6%97%A0%E8%AE%B0%E5%BD%95%0A%20%20%20%20mem%20%3D%20%5B-1%5D%20*%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20return%20dfs%28n,%20mem%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dfs_mem%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%98%B6%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20dfs%28i%3A%20int%2C%20mem%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E8%A8%98%E6%86%B6%E5%8C%96%E6%90%9C%E5%B0%8B%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B7%B2%E7%9F%A5%20dp%5B1%5D%20%E5%92%8C%20dp%5B2%5D%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%B9%8B%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%20or%20i%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%AD%98%E5%9C%A8%E8%A8%98%E9%8C%84%20dp%5Bi%5D%20%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%B9%8B%0A%20%20%20%20if%20mem%5Bi%5D%20%21%3D%20-1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%0A%20%20%20%20%23%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi-1%5D%20%2B%20dp%5Bi-2%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20dfs%28i%20-%201%2C%20mem%29%20%2B%20dfs%28i%20-%202%2C%20mem%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%A8%98%E9%8C%84%20dp%5Bi%5D%0A%20%20%20%20mem%5Bi%5D%20%3D%20count%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_dfs_mem%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A8%93%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E8%A8%98%E6%86%B6%E5%8C%96%E6%90%9C%E5%B0%8B%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20mem%5Bi%5D%20%E8%A8%98%E9%8C%84%E7%88%AC%E5%88%B0%E7%AC%AC%20i%20%E9%9A%8E%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%B8%BD%E6%95%B8%EF%BC%8C-1%20%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E7%84%A1%E8%A8%98%E9%8C%84%0A%20%20%20%20mem%20%3D%20%5B-1%5D%20%2A%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20return%20dfs%28n%2C%20mem%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dfs_mem%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%9A%8E%E6%A8%93%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20dfs%28i%3A%20int%2C%20mem%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E8%A8%98%E6%86%B6%E5%8C%96%E6%90%9C%E5%B0%8B%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B7%B2%E7%9F%A5%20dp%5B1%5D%20%E5%92%8C%20dp%5B2%5D%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%B9%8B%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%20or%20i%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%AD%98%E5%9C%A8%E8%A8%98%E9%8C%84%20dp%5Bi%5D%20%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%B9%8B%0A%20%20%20%20if%20mem%5Bi%5D%20%21%3D%20-1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%0A%20%20%20%20%23%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi-1%5D%20%2B%20dp%5Bi-2%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20dfs%28i%20-%201%2C%20mem%29%20%2B%20dfs%28i%20-%202%2C%20mem%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%A8%98%E9%8C%84%20dp%5Bi%5D%0A%20%20%20%20mem%5Bi%5D%20%3D%20count%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%0Adef%20climbing_stairs_dfs_mem%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A8%93%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E8%A8%98%E6%86%B6%E5%8C%96%E6%90%9C%E5%B0%8B%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20mem%5Bi%5D%20%E8%A8%98%E9%8C%84%E7%88%AC%E5%88%B0%E7%AC%AC%20i%20%E9%9A%8E%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%B8%BD%E6%95%B8%EF%BC%8C-1%20%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E7%84%A1%E8%A8%98%E9%8C%84%0A%20%20%20%20mem%20%3D%20%5B-1%5D%20%2A%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20return%20dfs%28n%2C%20mem%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dfs_mem%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%9A%8E%E6%A8%93%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<p>觀察圖 14-4 ，<strong>經過記憶化處理後，所有重疊子問題都只需計算一次，時間複雜度最佳化至 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span></strong> ，這是一個巨大的飛躍。</p>
<p><a class="glightbox" href="../intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dfs_memo_tree.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="記憶化搜尋對應遞迴樹" class="animation-figure" src="../intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dfs_memo_tree.png" /></a></p>
@@ -4890,8 +4891,8 @@ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_dp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20n%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E5%AD%98%E5%82%A8%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%9A%E9%A2%84%E8%AE%BE%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D,%20dp%5B2%5D%20%3D%201,%202%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E4%BB%8E%E8%BE%83%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E9%80%90%E6%AD%A5%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%20%2B%20dp%5Bi%20-%202%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%98%B6%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_dp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20n%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E5%AD%98%E5%82%A8%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%9A%E9%A2%84%E8%AE%BE%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D,%20dp%5B2%5D%20%3D%201,%202%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E4%BB%8E%E8%BE%83%E5%B0%8F%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%E9%80%90%E6%AD%A5%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%20%2B%20dp%5Bi%20-%202%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%98%B6%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_dp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A8%93%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20n%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E6%96%BC%E5%84%B2%E5%AD%98%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8B%80%E6%85%8B%EF%BC%9A%E9%A0%90%E8%A8%AD%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D%2C%20dp%5B2%5D%20%3D%201%2C%202%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%BE%9E%E8%BC%83%E5%B0%8F%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E9%80%90%E6%AD%A5%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%BC%83%E5%A4%A7%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%20%2B%20dp%5Bi%20-%202%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%9A%8E%E6%A8%93%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_dp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A8%93%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20n%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E6%96%BC%E5%84%B2%E5%AD%98%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20%28n%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8B%80%E6%85%8B%EF%BC%9A%E9%A0%90%E8%A8%AD%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E7%9A%84%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D%2C%20dp%5B2%5D%20%3D%201%2C%202%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%BE%9E%E8%BC%83%E5%B0%8F%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%E9%80%90%E6%AD%A5%E6%B1%82%E8%A7%A3%E8%BC%83%E5%A4%A7%E5%AD%90%E5%95%8F%E9%A1%8C%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%20%2B%20dp%5Bi%20-%202%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%9A%8E%E6%A8%93%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<p>圖 14-5 模擬了以上程式碼的執行過程。</p>
<p><a class="glightbox" href="../intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dp.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="爬樓梯的動態規劃過程" class="animation-figure" src="../intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dp.png" /></a></p>
@@ -5076,12 +5077,10 @@ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
<a id="__codelineno-67-4" name="__codelineno-67-4" href="#__codelineno-67-4"></a><span class="w"> </span><span class="kd">var</span><span class="w"> </span><span class="nv">a</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span>
<a id="__codelineno-67-5" name="__codelineno-67-5" href="#__codelineno-67-5"></a><span class="w"> </span><span class="kd">var</span><span class="w"> </span><span class="nv">b</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="m">2</span>
<a id="__codelineno-67-6" name="__codelineno-67-6" href="#__codelineno-67-6"></a><span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="k">in</span><span class="w"> </span><span class="m">3.</span><span class="p">.</span><span class="na">n</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-67-7" name="__codelineno-67-7" href="#__codelineno-67-7"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">tmp</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">b</span>
<a id="__codelineno-67-8" name="__codelineno-67-8" href="#__codelineno-67-8"></a><span class="w"> </span><span class="n">b</span><span class="w"> </span><span class="o">+=</span><span class="w"> </span><span class="n">a</span>
<a id="__codelineno-67-9" name="__codelineno-67-9" href="#__codelineno-67-9"></a><span class="w"> </span><span class="n">a</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">tmp</span>
<a id="__codelineno-67-10" name="__codelineno-67-10" href="#__codelineno-67-10"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-67-11" name="__codelineno-67-11" href="#__codelineno-67-11"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">b</span>
<a id="__codelineno-67-12" name="__codelineno-67-12" href="#__codelineno-67-12"></a><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-67-7" name="__codelineno-67-7" href="#__codelineno-67-7"></a><span class="w"> </span><span class="n">b</span><span class="w"> </span><span class="o">+=</span><span class="w"> </span><span class="n">a</span><span class="p">.</span><span class="na">also</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span><span class="w"> </span><span class="n">a</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">b</span><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-67-8" name="__codelineno-67-8" href="#__codelineno-67-8"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-67-9" name="__codelineno-67-9" href="#__codelineno-67-9"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">b</span>
<a id="__codelineno-67-10" name="__codelineno-67-10" href="#__codelineno-67-10"></a><span class="p">}</span>
</code></pre></div>
</div>
<div class="tabbed-block">
@@ -5109,8 +5108,8 @@ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 477px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_dp_comp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20n%0A%20%20%20%20a,%20b%20%3D%201,%202%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%283,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a,%20b%20%3D%20b,%20a%20%2B%20b%0A%20%20%20%20return%20b%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dp_comp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%98%B6%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_dp_comp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A5%BC%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20n%0A%20%20%20%20a,%20b%20%3D%201,%202%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%283,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a,%20b%20%3D%20b,%20a%20%2B%20b%0A%20%20%20%20return%20b%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dp_comp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%98%B6%E6%A5%BC%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 477px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_dp_comp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A8%93%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20n%0A%20%20%20%20a%2C%20b%20%3D%201%2C%202%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a%2C%20b%20%3D%20b%2C%20a%20%2B%20b%0A%20%20%20%20return%20b%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dp_comp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%9A%8E%E6%A8%93%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_dp_comp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%88%AC%E6%A8%93%E6%A2%AF%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20n%0A%20%20%20%20a%2C%20b%20%3D%201%2C%202%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a%2C%20b%20%3D%20b%2C%20a%20%2B%20b%0A%20%20%20%20return%20b%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_dp_comp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E7%88%AC%20%7Bn%7D%20%E9%9A%8E%E6%A8%93%E6%A2%AF%E5%85%B1%E6%9C%89%20%7Bres%7D%20%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<p>觀察以上程式碼，由於省去了陣列 <code>dp</code> 佔用的空間，因此空間複雜度從 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 降至 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。</p>
<p>在動態規劃問題中，當前狀態往往僅與前面有限個狀態有關，這時我們可以只保留必要的狀態，透過“降維”來節省記憶體空間。<strong>這種空間最佳化技巧被稱為“滾動變數”或“滾動陣列”</strong>。</p>
zh-hant/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem/index.html
+27 -28
View File
@@ -3891,7 +3891,7 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
<div class="highlight"><span class="filename">knapsack.kt</span><pre><span></span><code><a id="__codelineno-11-1" name="__codelineno-11-1" href="#__codelineno-11-1"></a><span class="cm">/* 0-1 背包：暴力搜尋 */</span>
<a id="__codelineno-11-2" name="__codelineno-11-2" href="#__codelineno-11-2"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">knapsackDFS</span><span class="p">(</span>
<a id="__codelineno-11-3" name="__codelineno-11-3" href="#__codelineno-11-3"></a><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-11-4" name="__codelineno-11-4" href="#__codelineno-11-4"></a><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-11-4" name="__codelineno-11-4" href="#__codelineno-11-4"></a><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-11-5" name="__codelineno-11-5" href="#__codelineno-11-5"></a><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-11-6" name="__codelineno-11-6" href="#__codelineno-11-6"></a><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span>
<a id="__codelineno-11-7" name="__codelineno-11-7" href="#__codelineno-11-7"></a><span class="p">):</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
@@ -3901,13 +3901,13 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
<a id="__codelineno-11-11" name="__codelineno-11-11" href="#__codelineno-11-11"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-12" name="__codelineno-11-12" href="#__codelineno-11-12"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 若超過背包容量，則只能選擇不放入背包</span>
<a id="__codelineno-11-13" name="__codelineno-11-13" href="#__codelineno-11-13"></a><span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">&gt;</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-14" name="__codelineno-11-14" href="#__codelineno-11-14"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">knapsackDFS</span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-11-14" name="__codelineno-11-14" href="#__codelineno-11-14"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">knapsackDFS</span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-11-15" name="__codelineno-11-15" href="#__codelineno-11-15"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-16" name="__codelineno-11-16" href="#__codelineno-11-16"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 計算不放入和放入物品 i 的最大價值</span>
<a id="__codelineno-11-17" name="__codelineno-11-17" href="#__codelineno-11-17"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">no</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">knapsackDFS</span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-11-18" name="__codelineno-11-18" href="#__codelineno-11-18"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">yes</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">knapsackDFS</span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-11-17" name="__codelineno-11-17" href="#__codelineno-11-17"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">no</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">knapsackDFS</span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-11-18" name="__codelineno-11-18" href="#__codelineno-11-18"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">yes</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">knapsackDFS</span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-11-19" name="__codelineno-11-19" href="#__codelineno-11-19"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 返回兩種方案中價值更大的那一個</span>
<a id="__codelineno-11-20" name="__codelineno-11-20" href="#__codelineno-11-20"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">max</span><span class="p">(</span><span class="n">no</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">(),</span><span class="w"> </span><span class="n">yes</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">()).</span><span class="na">toInt</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-11-20" name="__codelineno-11-20" href="#__codelineno-11-20"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">max</span><span class="p">(</span><span class="n">no</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">yes</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-11-21" name="__codelineno-11-21" href="#__codelineno-11-21"></a><span class="p">}</span>
</code></pre></div>
</div>
@@ -3938,8 +3938,8 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dfs%28wgt%3A%20list%5Bint%5D,%20val%3A%20list%5Bint%5D,%20i%3A%20int,%20c%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%220-1%20%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E6%9A%B4%E5%8A%9B%E6%90%9C%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%B7%B2%E9%80%89%E5%AE%8C%E6%89%80%E6%9C%89%E7%89%A9%E5%93%81%E6%88%96%E8%83%8C%E5%8C%85%E6%97%A0%E5%89%A9%E4%BD%99%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%88%99%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%BB%B7%E5%80%BC%200%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20or%20c%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%8F%AA%E8%83%BD%E9%80%89%E6%8B%A9%E4%B8%8D%E6%94%BE%E5%85%A5%E8%83%8C%E5%8C%85%0A%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20knapsack_dfs%28wgt,%20val,%20i%20-%201,%20c%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AE%A1%E7%AE%97%E4%B8%8D%E6%94%BE%E5%85%A5%E5%92%8C%E6%94%BE%E5%85%A5%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BB%B7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20no%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt,%20val,%20i%20-%201,%20c%29%0A%20%20%20%20yes%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt,%20val,%20i%20-%201,%20c%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%29%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E4%B8%AD%E4%BB%B7%E5%80%BC%E6%9B%B4%E5%A4%A7%E7%9A%84%E9%82%A3%E4%B8%80%E4%B8%AA%0A%20%20%20%20return%20max%28no,%20yes%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10,%2020,%2030,%2040,%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50,%20120,%20150,%20210,%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9A%B4%E5%8A%9B%E6%90%9C%E7%B4%A2%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt,%20val,%20n,%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dfs%28wgt%3A%20list%5Bint%5D,%20val%3A%20list%5Bint%5D,%20i%3A%20int,%20c%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%220-1%20%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E6%9A%B4%E5%8A%9B%E6%90%9C%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%B7%B2%E9%80%89%E5%AE%8C%E6%89%80%E6%9C%89%E7%89%A9%E5%93%81%E6%88%96%E8%83%8C%E5%8C%85%E6%97%A0%E5%89%A9%E4%BD%99%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%88%99%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%BB%B7%E5%80%BC%200%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20or%20c%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%8F%AA%E8%83%BD%E9%80%89%E6%8B%A9%E4%B8%8D%E6%94%BE%E5%85%A5%E8%83%8C%E5%8C%85%0A%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20knapsack_dfs%28wgt,%20val,%20i%20-%201,%20c%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AE%A1%E7%AE%97%E4%B8%8D%E6%94%BE%E5%85%A5%E5%92%8C%E6%94%BE%E5%85%A5%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BB%B7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20no%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt,%20val,%20i%20-%201,%20c%29%0A%20%20%20%20yes%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt,%20val,%20i%20-%201,%20c%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%29%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E4%B8%AD%E4%BB%B7%E5%80%BC%E6%9B%B4%E5%A4%A7%E7%9A%84%E9%82%A3%E4%B8%80%E4%B8%AA%0A%20%20%20%20return%20max%28no,%20yes%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10,%2020,%2030,%2040,%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50,%20120,%20150,%20210,%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9A%B4%E5%8A%9B%E6%90%9C%E7%B4%A2%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt,%20val,%20n,%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dfs%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20i%3A%20int%2C%20c%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%220-1%20%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E6%9A%B4%E5%8A%9B%E6%90%9C%E5%B0%8B%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%B7%B2%E9%81%B8%E5%AE%8C%E6%89%80%E6%9C%89%E7%89%A9%E5%93%81%E6%88%96%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%84%A1%E5%89%A9%E9%A4%98%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%89%87%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%83%B9%E5%80%BC%200%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20or%20c%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%89%87%E5%8F%AA%E8%83%BD%E9%81%B8%E6%93%87%E4%B8%8D%E6%94%BE%E5%85%A5%E8%83%8C%E5%8C%85%0A%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%A8%88%E7%AE%97%E4%B8%8D%E6%94%BE%E5%85%A5%E5%92%8C%E6%94%BE%E5%85%A5%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%83%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20no%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20yes%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%29%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E4%B8%AD%E5%83%B9%E5%80%BC%E6%9B%B4%E5%A4%A7%E7%9A%84%E9%82%A3%E4%B8%80%E5%80%8B%0A%20%20%20%20return%20max%28no%2C%20yes%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10%2C%2020%2C%2030%2C%2040%2C%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50%2C%20120%2C%20150%2C%20210%2C%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9A%B4%E5%8A%9B%E6%90%9C%E5%B0%8B%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20n%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E5%83%B9%E5%80%BC%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dfs%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20i%3A%20int%2C%20c%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%220-1%20%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E6%9A%B4%E5%8A%9B%E6%90%9C%E5%B0%8B%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%B7%B2%E9%81%B8%E5%AE%8C%E6%89%80%E6%9C%89%E7%89%A9%E5%93%81%E6%88%96%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%84%A1%E5%89%A9%E9%A4%98%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%89%87%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%83%B9%E5%80%BC%200%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20or%20c%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%89%87%E5%8F%AA%E8%83%BD%E9%81%B8%E6%93%87%E4%B8%8D%E6%94%BE%E5%85%A5%E8%83%8C%E5%8C%85%0A%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%A8%88%E7%AE%97%E4%B8%8D%E6%94%BE%E5%85%A5%E5%92%8C%E6%94%BE%E5%85%A5%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%83%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20no%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20yes%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%29%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E4%B8%AD%E5%83%B9%E5%80%BC%E6%9B%B4%E5%A4%A7%E7%9A%84%E9%82%A3%E4%B8%80%E5%80%8B%0A%20%20%20%20return%20max%28no%2C%20yes%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10%2C%2020%2C%2030%2C%2040%2C%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50%2C%20120%2C%20150%2C%20210%2C%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9A%B4%E5%8A%9B%E6%90%9C%E5%B0%8B%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20n%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E5%83%B9%E5%80%BC%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<p>如圖 14-18 所示，由於每個物品都會產生不選和選兩條搜尋分支，因此時間複雜度為 <span class="arithmatex">\(O(2^n)\)</span> 。</p>
<p>觀察遞迴樹，容易發現其中存在重疊子問題，例如 <span class="arithmatex">\(dp[1, 10]\)</span> 等。而當物品較多、背包容量較大，尤其是相同重量的物品較多時，重疊子問題的數量將會大幅增多。</p>
@@ -4231,7 +4231,7 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
<div class="highlight"><span class="filename">knapsack.kt</span><pre><span></span><code><a id="__codelineno-25-1" name="__codelineno-25-1" href="#__codelineno-25-1"></a><span class="cm">/* 0-1 背包：記憶化搜尋 */</span>
<a id="__codelineno-25-2" name="__codelineno-25-2" href="#__codelineno-25-2"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">knapsackDFSMem</span><span class="p">(</span>
<a id="__codelineno-25-3" name="__codelineno-25-3" href="#__codelineno-25-3"></a><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-25-4" name="__codelineno-25-4" href="#__codelineno-25-4"></a><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-25-4" name="__codelineno-25-4" href="#__codelineno-25-4"></a><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-25-5" name="__codelineno-25-5" href="#__codelineno-25-5"></a><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">Array</span><span class="o">&lt;</span><span class="n">IntArray</span><span class="o">&gt;</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-25-6" name="__codelineno-25-6" href="#__codelineno-25-6"></a><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-25-7" name="__codelineno-25-7" href="#__codelineno-25-7"></a><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span>
@@ -4246,13 +4246,13 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
<a id="__codelineno-25-16" name="__codelineno-25-16" href="#__codelineno-25-16"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-25-17" name="__codelineno-25-17" href="#__codelineno-25-17"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 若超過背包容量，則只能選擇不放入背包</span>
<a id="__codelineno-25-18" name="__codelineno-25-18" href="#__codelineno-25-18"></a><span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">&gt;</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-25-19" name="__codelineno-25-19" href="#__codelineno-25-19"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">knapsackDFSMem</span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-25-19" name="__codelineno-25-19" href="#__codelineno-25-19"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">knapsackDFSMem</span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-25-20" name="__codelineno-25-20" href="#__codelineno-25-20"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-25-21" name="__codelineno-25-21" href="#__codelineno-25-21"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 計算不放入和放入物品 i 的最大價值</span>
<a id="__codelineno-25-22" name="__codelineno-25-22" href="#__codelineno-25-22"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">no</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">knapsackDFSMem</span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-25-23" name="__codelineno-25-23" href="#__codelineno-25-23"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">yes</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">knapsackDFSMem</span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-25-22" name="__codelineno-25-22" href="#__codelineno-25-22"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">no</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">knapsackDFSMem</span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-25-23" name="__codelineno-25-23" href="#__codelineno-25-23"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">yes</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">knapsackDFSMem</span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-25-24" name="__codelineno-25-24" href="#__codelineno-25-24"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 記錄並返回兩種方案中價值更大的那一個</span>
<a id="__codelineno-25-25" name="__codelineno-25-25" href="#__codelineno-25-25"></a><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">max</span><span class="p">(</span><span class="n">no</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">(),</span><span class="w"> </span><span class="n">yes</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">()).</span><span class="na">toInt</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-25-25" name="__codelineno-25-25" href="#__codelineno-25-25"></a><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">max</span><span class="p">(</span><span class="n">no</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">yes</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-25-26" name="__codelineno-25-26" href="#__codelineno-25-26"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">mem</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-25-27" name="__codelineno-25-27" href="#__codelineno-25-27"></a><span class="p">}</span>
</code></pre></div>
@@ -4289,8 +4289,8 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dfs_mem%28%0A%20%20%20%20wgt%3A%20list%5Bint%5D,%20val%3A%20list%5Bint%5D,%20mem%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D,%20i%3A%20int,%20c%3A%20int%0A%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%220-1%20%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E8%AE%B0%E5%BF%86%E5%8C%96%E6%90%9C%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%B7%B2%E9%80%89%E5%AE%8C%E6%89%80%E6%9C%89%E7%89%A9%E5%93%81%E6%88%96%E8%83%8C%E5%8C%85%E6%97%A0%E5%89%A9%E4%BD%99%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%88%99%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%BB%B7%E5%80%BC%200%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20or%20c%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%B7%B2%E6%9C%89%E8%AE%B0%E5%BD%95%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%0A%20%20%20%20if%20mem%5Bi%5D%5Bc%5D%20!%3D%20-1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%8F%AA%E8%83%BD%E9%80%89%E6%8B%A9%E4%B8%8D%E6%94%BE%E5%85%A5%E8%83%8C%E5%8C%85%0A%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20knapsack_dfs_mem%28wgt,%20val,%20mem,%20i%20-%201,%20c%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AE%A1%E7%AE%97%E4%B8%8D%E6%94%BE%E5%85%A5%E5%92%8C%E6%94%BE%E5%85%A5%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BB%B7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20no%20%3D%20knapsack_dfs_mem%28wgt,%20val,%20mem,%20i%20-%201,%20c%29%0A%20%20%20%20yes%20%3D%20knapsack_dfs_mem%28wgt,%20val,%20mem,%20i%20-%201,%20c%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%29%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E5%B9%B6%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E4%B8%AD%E4%BB%B7%E5%80%BC%E6%9B%B4%E5%A4%A7%E7%9A%84%E9%82%A3%E4%B8%80%E4%B8%AA%0A%20%20%20%20mem%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20max%28no,%20yes%29%0A%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%5Bc%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10,%2020,%2030,%2040,%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50,%20120,%20150,%20210,%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BF%86%E5%8C%96%E6%90%9C%E7%B4%A2%0A%20%20%20%20mem%20%3D%20%5B%5B-1%5D%20*%20%28cap%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dfs_mem%28wgt,%20val,%20mem,%20n,%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=20&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dfs_mem%28%0A%20%20%20%20wgt%3A%20list%5Bint%5D,%20val%3A%20list%5Bint%5D,%20mem%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D,%20i%3A%20int,%20c%3A%20int%0A%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%220-1%20%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E8%AE%B0%E5%BF%86%E5%8C%96%E6%90%9C%E7%B4%A2%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%B7%B2%E9%80%89%E5%AE%8C%E6%89%80%E6%9C%89%E7%89%A9%E5%93%81%E6%88%96%E8%83%8C%E5%8C%85%E6%97%A0%E5%89%A9%E4%BD%99%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%88%99%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%BB%B7%E5%80%BC%200%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20or%20c%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%B7%B2%E6%9C%89%E8%AE%B0%E5%BD%95%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%0A%20%20%20%20if%20mem%5Bi%5D%5Bc%5D%20!%3D%20-1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%8F%AA%E8%83%BD%E9%80%89%E6%8B%A9%E4%B8%8D%E6%94%BE%E5%85%A5%E8%83%8C%E5%8C%85%0A%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20knapsack_dfs_mem%28wgt,%20val,%20mem,%20i%20-%201,%20c%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AE%A1%E7%AE%97%E4%B8%8D%E6%94%BE%E5%85%A5%E5%92%8C%E6%94%BE%E5%85%A5%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BB%B7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20no%20%3D%20knapsack_dfs_mem%28wgt,%20val,%20mem,%20i%20-%201,%20c%29%0A%20%20%20%20yes%20%3D%20knapsack_dfs_mem%28wgt,%20val,%20mem,%20i%20-%201,%20c%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%29%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E5%B9%B6%E8%BF%94%E5%9B%9E%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E4%B8%AD%E4%BB%B7%E5%80%BC%E6%9B%B4%E5%A4%A7%E7%9A%84%E9%82%A3%E4%B8%80%E4%B8%AA%0A%20%20%20%20mem%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20max%28no,%20yes%29%0A%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%5Bc%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10,%2020,%2030,%2040,%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50,%20120,%20150,%20210,%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BF%86%E5%8C%96%E6%90%9C%E7%B4%A2%0A%20%20%20%20mem%20%3D%20%5B%5B-1%5D%20*%20%28cap%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dfs_mem%28wgt,%20val,%20mem,%20n,%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=20&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dfs_mem%28%0A%20%20%20%20wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20mem%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%2C%20i%3A%20int%2C%20c%3A%20int%0A%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%220-1%20%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E8%A8%98%E6%86%B6%E5%8C%96%E6%90%9C%E5%B0%8B%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%B7%B2%E9%81%B8%E5%AE%8C%E6%89%80%E6%9C%89%E7%89%A9%E5%93%81%E6%88%96%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%84%A1%E5%89%A9%E9%A4%98%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%89%87%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%83%B9%E5%80%BC%200%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20or%20c%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%B7%B2%E6%9C%89%E8%A8%98%E9%8C%84%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%0A%20%20%20%20if%20mem%5Bi%5D%5Bc%5D%20%21%3D%20-1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%89%87%E5%8F%AA%E8%83%BD%E9%81%B8%E6%93%87%E4%B8%8D%E6%94%BE%E5%85%A5%E8%83%8C%E5%8C%85%0A%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20knapsack_dfs_mem%28wgt%2C%20val%2C%20mem%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%A8%88%E7%AE%97%E4%B8%8D%E6%94%BE%E5%85%A5%E5%92%8C%E6%94%BE%E5%85%A5%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%83%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20no%20%3D%20knapsack_dfs_mem%28wgt%2C%20val%2C%20mem%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20yes%20%3D%20knapsack_dfs_mem%28wgt%2C%20val%2C%20mem%2C%20i%20-%201%2C%20c%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%29%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%A8%98%E9%8C%84%E4%B8%A6%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E4%B8%AD%E5%83%B9%E5%80%BC%E6%9B%B4%E5%A4%A7%E7%9A%84%E9%82%A3%E4%B8%80%E5%80%8B%0A%20%20%20%20mem%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20max%28no%2C%20yes%29%0A%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%5Bc%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10%2C%2020%2C%2030%2C%2040%2C%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50%2C%20120%2C%20150%2C%20210%2C%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E8%A8%98%E6%86%B6%E5%8C%96%E6%90%9C%E5%B0%8B%0A%20%20%20%20mem%20%3D%20%5B%5B-1%5D%20%2A%20%28cap%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dfs_mem%28wgt%2C%20val%2C%20mem%2C%20n%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E5%83%B9%E5%80%BC%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=20&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dfs_mem%28%0A%20%20%20%20wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20mem%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%2C%20i%3A%20int%2C%20c%3A%20int%0A%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%220-1%20%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E8%A8%98%E6%86%B6%E5%8C%96%E6%90%9C%E5%B0%8B%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%B7%B2%E9%81%B8%E5%AE%8C%E6%89%80%E6%9C%89%E7%89%A9%E5%93%81%E6%88%96%E8%83%8C%E5%8C%85%E7%84%A1%E5%89%A9%E9%A4%98%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%89%87%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%83%B9%E5%80%BC%200%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20or%20c%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%B7%B2%E6%9C%89%E8%A8%98%E9%8C%84%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%0A%20%20%20%20if%20mem%5Bi%5D%5Bc%5D%20%21%3D%20-1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%89%87%E5%8F%AA%E8%83%BD%E9%81%B8%E6%93%87%E4%B8%8D%E6%94%BE%E5%85%A5%E8%83%8C%E5%8C%85%0A%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20knapsack_dfs_mem%28wgt%2C%20val%2C%20mem%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%A8%88%E7%AE%97%E4%B8%8D%E6%94%BE%E5%85%A5%E5%92%8C%E6%94%BE%E5%85%A5%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%83%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20no%20%3D%20knapsack_dfs_mem%28wgt%2C%20val%2C%20mem%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20yes%20%3D%20knapsack_dfs_mem%28wgt%2C%20val%2C%20mem%2C%20i%20-%201%2C%20c%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%29%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%A8%98%E9%8C%84%E4%B8%A6%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E4%B8%AD%E5%83%B9%E5%80%BC%E6%9B%B4%E5%A4%A7%E7%9A%84%E9%82%A3%E4%B8%80%E5%80%8B%0A%20%20%20%20mem%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20max%28no%2C%20yes%29%0A%20%20%20%20return%20mem%5Bi%5D%5Bc%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10%2C%2020%2C%2030%2C%2040%2C%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50%2C%20120%2C%20150%2C%20210%2C%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E8%A8%98%E6%86%B6%E5%8C%96%E6%90%9C%E5%B0%8B%0A%20%20%20%20mem%20%3D%20%5B%5B-1%5D%20%2A%20%28cap%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dfs_mem%28wgt%2C%20val%2C%20mem%2C%20n%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E5%83%B9%E5%80%BC%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=20&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<p>圖 14-19 展示了在記憶化搜尋中被剪掉的搜尋分支。</p>
<p><a class="glightbox" href="../knapsack_problem.assets/knapsack_dfs_mem.png" data-type="image" data-width="100%" data-height="auto" data-desc-position="bottom"><img alt="0-1 背包問題的記憶化搜尋遞迴樹" class="animation-figure" src="../knapsack_problem.assets/knapsack_dfs_mem.png" /></a></p>
@@ -4570,7 +4570,7 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
<div class="highlight"><span class="filename">knapsack.kt</span><pre><span></span><code><a id="__codelineno-39-1" name="__codelineno-39-1" href="#__codelineno-39-1"></a><span class="cm">/* 0-1 背包：動態規劃 */</span>
<a id="__codelineno-39-2" name="__codelineno-39-2" href="#__codelineno-39-2"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">knapsackDP</span><span class="p">(</span>
<a id="__codelineno-39-3" name="__codelineno-39-3" href="#__codelineno-39-3"></a><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-39-4" name="__codelineno-39-4" href="#__codelineno-39-4"></a><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-39-4" name="__codelineno-39-4" href="#__codelineno-39-4"></a><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-39-5" name="__codelineno-39-5" href="#__codelineno-39-5"></a><span class="w"> </span><span class="n">cap</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span>
<a id="__codelineno-39-6" name="__codelineno-39-6" href="#__codelineno-39-6"></a><span class="p">):</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-39-7" name="__codelineno-39-7" href="#__codelineno-39-7"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">n</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="p">.</span><span class="na">size</span>
@@ -4584,13 +4584,12 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
<a id="__codelineno-39-15" name="__codelineno-39-15" href="#__codelineno-39-15"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-39-16" name="__codelineno-39-16" href="#__codelineno-39-16"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span><span class="w"> </span><span class="k">else</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-39-17" name="__codelineno-39-17" href="#__codelineno-39-17"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值</span>
<a id="__codelineno-39-18" name="__codelineno-39-18" href="#__codelineno-39-18"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">max</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">(),</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]]</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">).</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">())</span>
<a id="__codelineno-39-19" name="__codelineno-39-19" href="#__codelineno-39-19"></a><span class="w"> </span><span class="p">.</span><span class="na">toInt</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-39-20" name="__codelineno-39-20" href="#__codelineno-39-20"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-21" name="__codelineno-39-21" href="#__codelineno-39-21"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-22" name="__codelineno-39-22" href="#__codelineno-39-22"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-23" name="__codelineno-39-23" href="#__codelineno-39-23"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">n</span><span class="o">][</span><span class="n">cap</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-39-24" name="__codelineno-39-24" href="#__codelineno-39-24"></a><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-18" name="__codelineno-39-18" href="#__codelineno-39-18"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">max</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]]</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-39-19" name="__codelineno-39-19" href="#__codelineno-39-19"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-20" name="__codelineno-39-20" href="#__codelineno-39-20"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-21" name="__codelineno-39-21" href="#__codelineno-39-21"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-22" name="__codelineno-39-22" href="#__codelineno-39-22"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">n</span><span class="o">][</span><span class="n">cap</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-39-23" name="__codelineno-39-23" href="#__codelineno-39-23"></a><span class="p">}</span>
</code></pre></div>
</div>
<div class="tabbed-block">
@@ -4623,8 +4622,8 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dp%28wgt%3A%20list%5Bint%5D,%20val%3A%20list%5Bint%5D,%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%220-1%20%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%20%28cap%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20c%20in%20range%281,%20cap%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%88%99%E4%B8%8D%E9%80%89%E7%89%A9%E5%93%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%80%89%E5%92%8C%E9%80%89%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20max%28dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%5D,%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bcap%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10,%2020,%2030,%2040,%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50,%20120,%20150,%20210,%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dp%28wgt,%20val,%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dp%28wgt%3A%20list%5Bint%5D,%20val%3A%20list%5Bint%5D,%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%220-1%20%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%20%28cap%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20c%20in%20range%281,%20cap%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%88%99%E4%B8%8D%E9%80%89%E7%89%A9%E5%93%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%80%89%E5%92%8C%E9%80%89%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20max%28dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%5D,%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bcap%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10,%2020,%2030,%2040,%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50,%20120,%20150,%20210,%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dp%28wgt,%20val,%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dp%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%220-1%20%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%20%28cap%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20c%20in%20range%281%2C%20cap%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%89%87%E4%B8%8D%E9%81%B8%E7%89%A9%E5%93%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%81%B8%E5%92%8C%E9%81%B8%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E9%80%99%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BC%83%E5%A4%A7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20max%28dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%5D%2C%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bcap%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10%2C%2020%2C%2030%2C%2040%2C%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50%2C%20120%2C%20150%2C%20210%2C%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dp%28wgt%2C%20val%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E5%83%B9%E5%80%BC%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dp%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%220-1%20%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%20%28cap%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20c%20in%20range%281%2C%20cap%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%89%87%E4%B8%8D%E9%81%B8%E7%89%A9%E5%93%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%81%B8%E5%92%8C%E9%81%B8%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E9%80%99%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BC%83%E5%A4%A7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20max%28dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%5D%2C%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bcap%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10%2C%2020%2C%2030%2C%2040%2C%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50%2C%20120%2C%20150%2C%20210%2C%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dp%28wgt%2C%20val%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E5%83%B9%E5%80%BC%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<p>如圖 14-20 所示，時間複雜度和空間複雜度都由陣列 <code>dp</code> 大小決定，即 <span class="arithmatex">\(O(n \times cap)\)</span> 。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="4:14"><input checked="checked" id="__tabbed_4_1" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_2" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_3" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_4" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_5" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_6" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_7" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_8" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_9" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_10" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_11" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_12" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_13" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_14" name="__tabbed_4" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_4_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_4_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_4_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_4_4">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_4_5">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_4_6">&lt;6&gt;</label><label for="__tabbed_4_7">&lt;7&gt;</label><label for="__tabbed_4_8">&lt;8&gt;</label><label for="__tabbed_4_9">&lt;9&gt;</label><label for="__tabbed_4_10">&lt;10&gt;</label><label for="__tabbed_4_11">&lt;11&gt;</label><label for="__tabbed_4_12">&lt;12&gt;</label><label for="__tabbed_4_13">&lt;13&gt;</label><label for="__tabbed_4_14">&lt;14&gt;</label></div>
@@ -4943,7 +4942,7 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
<div class="highlight"><span class="filename">knapsack.kt</span><pre><span></span><code><a id="__codelineno-53-1" name="__codelineno-53-1" href="#__codelineno-53-1"></a><span class="cm">/* 0-1 背包：空間最佳化後的動態規劃 */</span>
<a id="__codelineno-53-2" name="__codelineno-53-2" href="#__codelineno-53-2"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">knapsackDPComp</span><span class="p">(</span>
<a id="__codelineno-53-3" name="__codelineno-53-3" href="#__codelineno-53-3"></a><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-53-4" name="__codelineno-53-4" href="#__codelineno-53-4"></a><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-53-4" name="__codelineno-53-4" href="#__codelineno-53-4"></a><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-53-5" name="__codelineno-53-5" href="#__codelineno-53-5"></a><span class="w"> </span><span class="n">cap</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span>
<a id="__codelineno-53-6" name="__codelineno-53-6" href="#__codelineno-53-6"></a><span class="p">):</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-53-7" name="__codelineno-53-7" href="#__codelineno-53-7"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">n</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="p">.</span><span class="na">size</span>
@@ -4956,7 +4955,7 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
<a id="__codelineno-53-14" name="__codelineno-53-14" href="#__codelineno-53-14"></a><span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">&lt;=</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-53-15" name="__codelineno-53-15" href="#__codelineno-53-15"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值</span>
<a id="__codelineno-53-16" name="__codelineno-53-16" href="#__codelineno-53-16"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span>
<a id="__codelineno-53-17" name="__codelineno-53-17" href="#__codelineno-53-17"></a><span class="w"> </span><span class="n">max</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">(),</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">c</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]]</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">).</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">()).</span><span class="na">toInt</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-53-17" name="__codelineno-53-17" href="#__codelineno-53-17"></a><span class="w"> </span><span class="n">max</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">c</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]]</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-53-18" name="__codelineno-53-18" href="#__codelineno-53-18"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-53-19" name="__codelineno-53-19" href="#__codelineno-53-19"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-53-20" name="__codelineno-53-20" href="#__codelineno-53-20"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
@@ -4993,8 +4992,8 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dp_comp%28wgt%3A%20list%5Bint%5D,%20val%3A%20list%5Bint%5D,%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%220-1%20%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20%28cap%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%80%92%E5%BA%8F%E9%81%8D%E5%8E%86%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20c%20in%20range%28cap,%200,%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%88%99%E4%B8%8D%E9%80%89%E7%89%A9%E5%93%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bc%5D%20%3D%20dp%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%80%89%E5%92%8C%E9%80%89%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bc%5D%20%3D%20max%28dp%5Bc%5D,%20dp%5Bc%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bcap%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10,%2020,%2030,%2040,%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50,%20120,%20150,%20210,%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dp_comp%28wgt,%20val,%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dp_comp%28wgt%3A%20list%5Bint%5D,%20val%3A%20list%5Bint%5D,%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%220-1%20%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20%28cap%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%80%92%E5%BA%8F%E9%81%8D%E5%8E%86%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20c%20in%20range%28cap,%200,%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%88%99%E4%B8%8D%E9%80%89%E7%89%A9%E5%93%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bc%5D%20%3D%20dp%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%80%89%E5%92%8C%E9%80%89%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bc%5D%20%3D%20max%28dp%5Bc%5D,%20dp%5Bc%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bcap%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10,%2020,%2030,%2040,%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50,%20120,%20150,%20210,%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dp_comp%28wgt,%20val,%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dp_comp%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%220-1%20%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20%28cap%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%80%92%E5%BA%8F%E8%B5%B0%E8%A8%AA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20c%20in%20range%28cap%2C%200%2C%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%89%87%E4%B8%8D%E9%81%B8%E7%89%A9%E5%93%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bc%5D%20%3D%20dp%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%81%B8%E5%92%8C%E9%81%B8%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E9%80%99%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BC%83%E5%A4%A7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bc%5D%20%3D%20max%28dp%5Bc%5D%2C%20dp%5Bc%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bcap%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10%2C%2020%2C%2030%2C%2040%2C%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50%2C%20120%2C%20150%2C%20210%2C%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dp_comp%28wgt%2C%20val%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E5%83%B9%E5%80%BC%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dp_comp%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%220-1%20%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20%28cap%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%80%92%E5%BA%8F%E8%B5%B0%E8%A8%AA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20c%20in%20range%28cap%2C%200%2C%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%89%87%E4%B8%8D%E9%81%B8%E7%89%A9%E5%93%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bc%5D%20%3D%20dp%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%81%B8%E5%92%8C%E9%81%B8%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E9%80%99%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BC%83%E5%A4%A7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bc%5D%20%3D%20max%28dp%5Bc%5D%2C%20dp%5Bc%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bcap%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10%2C%2020%2C%2030%2C%2040%2C%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50%2C%20120%2C%20150%2C%20210%2C%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dp_comp%28wgt%2C%20val%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E5%83%B9%E5%80%BC%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<!-- Source file information -->
zh-hant/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem/index.html
+47 -54
View File
@@ -4108,29 +4108,24 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
</div>
<div class="tabbed-block">
<div class="highlight"><span class="filename">unbounded_knapsack.kt</span><pre><span></span><code><a id="__codelineno-11-1" name="__codelineno-11-1" href="#__codelineno-11-1"></a><span class="cm">/* 完全背包：動態規劃 */</span>
<a id="__codelineno-11-2" name="__codelineno-11-2" href="#__codelineno-11-2"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">unboundedKnapsackDP</span><span class="p">(</span>
<a id="__codelineno-11-3" name="__codelineno-11-3" href="#__codelineno-11-3"></a><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-11-4" name="__codelineno-11-4" href="#__codelineno-11-4"></a><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-11-5" name="__codelineno-11-5" href="#__codelineno-11-5"></a><span class="w"> </span><span class="n">cap</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span>
<a id="__codelineno-11-6" name="__codelineno-11-6" href="#__codelineno-11-6"></a><span class="p">):</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-7" name="__codelineno-11-7" href="#__codelineno-11-7"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">n</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="p">.</span><span class="na">size</span>
<a id="__codelineno-11-8" name="__codelineno-11-8" href="#__codelineno-11-8"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 初始化 dp 表</span>
<a id="__codelineno-11-9" name="__codelineno-11-9" href="#__codelineno-11-9"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">dp</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">Array</span><span class="p">(</span><span class="n">n</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">(</span><span class="n">cap</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-10" name="__codelineno-11-10" href="#__codelineno-11-10"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 狀態轉移</span>
<a id="__codelineno-11-11" name="__codelineno-11-11" href="#__codelineno-11-11"></a><span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="k">in</span><span class="w"> </span><span class="m">1.</span><span class="p">.</span><span class="na">n</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-12" name="__codelineno-11-12" href="#__codelineno-11-12"></a><span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">c</span><span class="w"> </span><span class="k">in</span><span class="w"> </span><span class="m">1.</span><span class="p">.</span><span class="na">cap</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-13" name="__codelineno-11-13" href="#__codelineno-11-13"></a><span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">&gt;</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-14" name="__codelineno-11-14" href="#__codelineno-11-14"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 若超過背包容量，則不選物品 i</span>
<a id="__codelineno-11-15" name="__codelineno-11-15" href="#__codelineno-11-15"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-11-16" name="__codelineno-11-16" href="#__codelineno-11-16"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span><span class="w"> </span><span class="k">else</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-17" name="__codelineno-11-17" href="#__codelineno-11-17"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值</span>
<a id="__codelineno-11-18" name="__codelineno-11-18" href="#__codelineno-11-18"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">max</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">(),</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]]</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">).</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">())</span>
<a id="__codelineno-11-19" name="__codelineno-11-19" href="#__codelineno-11-19"></a><span class="w"> </span><span class="p">.</span><span class="na">toInt</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-11-20" name="__codelineno-11-20" href="#__codelineno-11-20"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-21" name="__codelineno-11-21" href="#__codelineno-11-21"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-22" name="__codelineno-11-22" href="#__codelineno-11-22"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-23" name="__codelineno-11-23" href="#__codelineno-11-23"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">n</span><span class="o">][</span><span class="n">cap</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-11-24" name="__codelineno-11-24" href="#__codelineno-11-24"></a><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-2" name="__codelineno-11-2" href="#__codelineno-11-2"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">unboundedKnapsackDP</span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">cap</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="p">):</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-3" name="__codelineno-11-3" href="#__codelineno-11-3"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">n</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="p">.</span><span class="na">size</span>
<a id="__codelineno-11-4" name="__codelineno-11-4" href="#__codelineno-11-4"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 初始化 dp 表</span>
<a id="__codelineno-11-5" name="__codelineno-11-5" href="#__codelineno-11-5"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">dp</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">Array</span><span class="p">(</span><span class="n">n</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">(</span><span class="n">cap</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-6" name="__codelineno-11-6" href="#__codelineno-11-6"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 狀態轉移</span>
<a id="__codelineno-11-7" name="__codelineno-11-7" href="#__codelineno-11-7"></a><span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="k">in</span><span class="w"> </span><span class="m">1.</span><span class="p">.</span><span class="na">n</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-8" name="__codelineno-11-8" href="#__codelineno-11-8"></a><span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">c</span><span class="w"> </span><span class="k">in</span><span class="w"> </span><span class="m">1.</span><span class="p">.</span><span class="na">cap</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-9" name="__codelineno-11-9" href="#__codelineno-11-9"></a><span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">wgt</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">&gt;</span><span class="w"> </span><span class="n">c</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-10" name="__codelineno-11-10" href="#__codelineno-11-10"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 若超過背包容量，則不選物品 i</span>
<a id="__codelineno-11-11" name="__codelineno-11-11" href="#__codelineno-11-11"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-11-12" name="__codelineno-11-12" href="#__codelineno-11-12"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span><span class="w"> </span><span class="k">else</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-11-13" name="__codelineno-11-13" href="#__codelineno-11-13"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值</span>
<a id="__codelineno-11-14" name="__codelineno-11-14" href="#__codelineno-11-14"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">max</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">c</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]]</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-11-15" name="__codelineno-11-15" href="#__codelineno-11-15"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-16" name="__codelineno-11-16" href="#__codelineno-11-16"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-17" name="__codelineno-11-17" href="#__codelineno-11-17"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-11-18" name="__codelineno-11-18" href="#__codelineno-11-18"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">n</span><span class="o">][</span><span class="n">cap</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-11-19" name="__codelineno-11-19" href="#__codelineno-11-19"></a><span class="p">}</span>
</code></pre></div>
</div>
<div class="tabbed-block">
@@ -4163,8 +4158,8 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20unbounded_knapsack_dp%28wgt%3A%20list%5Bint%5D,%20val%3A%20list%5Bint%5D,%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%20%28cap%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20c%20in%20range%281,%20cap%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%88%99%E4%B8%8D%E9%80%89%E7%89%A9%E5%93%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%80%89%E5%92%8C%E9%80%89%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20max%28dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%5D,%20dp%5Bi%5D%5Bc%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bcap%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B1,%202,%203%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B5,%2011,%2015%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20unbounded_knapsack_dp%28wgt,%20val,%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20unbounded_knapsack_dp%28wgt%3A%20list%5Bint%5D,%20val%3A%20list%5Bint%5D,%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%20%28cap%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20c%20in%20range%281,%20cap%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%88%99%E4%B8%8D%E9%80%89%E7%89%A9%E5%93%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%80%89%E5%92%8C%E9%80%89%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20max%28dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%5D,%20dp%5Bi%5D%5Bc%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bcap%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B1,%202,%203%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B5,%2011,%2015%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20unbounded_knapsack_dp%28wgt,%20val,%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20unbounded_knapsack_dp%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%20%28cap%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20c%20in%20range%281%2C%20cap%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%89%87%E4%B8%8D%E9%81%B8%E7%89%A9%E5%93%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%81%B8%E5%92%8C%E9%81%B8%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E9%80%99%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BC%83%E5%A4%A7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20max%28dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%5D%2C%20dp%5Bi%5D%5Bc%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bcap%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%203%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B5%2C%2011%2C%2015%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20unbounded_knapsack_dp%28wgt%2C%20val%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E5%83%B9%E5%80%BC%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20unbounded_knapsack_dp%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%20%28cap%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20c%20in%20range%281%2C%20cap%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%89%87%E4%B8%8D%E9%81%B8%E7%89%A9%E5%93%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%81%B8%E5%92%8C%E9%81%B8%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E9%80%99%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BC%83%E5%A4%A7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Bc%5D%20%3D%20max%28dp%5Bi%20-%201%5D%5Bc%5D%2C%20dp%5Bi%5D%5Bc%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bcap%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%203%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B5%2C%2011%2C%2015%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20unbounded_knapsack_dp%28wgt%2C%20val%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E5%83%B9%E5%80%BC%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<h3 id="3">3. &nbsp; 空間最佳化<a class="headerlink" href="#3" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>由於當前狀態是從左邊和上邊的狀態轉移而來的，<strong>因此空間最佳化後應該對 <span class="arithmatex">\(dp\)</span> 表中的每一行進行正序走訪</strong>。</p>
@@ -4446,7 +4441,7 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
<div class="highlight"><span class="filename">unbounded_knapsack.kt</span><pre><span></span><code><a id="__codelineno-25-1" name="__codelineno-25-1" href="#__codelineno-25-1"></a><span class="cm">/* 完全背包：空間最佳化後的動態規劃 */</span>
<a id="__codelineno-25-2" name="__codelineno-25-2" href="#__codelineno-25-2"></a><span class="kd">fun</span><span class="w"> </span><span class="nf">unboundedKnapsackDPComp</span><span class="p">(</span>
<a id="__codelineno-25-3" name="__codelineno-25-3" href="#__codelineno-25-3"></a><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-25-4" name="__codelineno-25-4" href="#__codelineno-25-4"></a><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-25-4" name="__codelineno-25-4" href="#__codelineno-25-4"></a><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">,</span>
<a id="__codelineno-25-5" name="__codelineno-25-5" href="#__codelineno-25-5"></a><span class="w"> </span><span class="n">cap</span><span class="p">:</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span>
<a id="__codelineno-25-6" name="__codelineno-25-6" href="#__codelineno-25-6"></a><span class="p">):</span><span class="w"> </span><span class="kt">Int</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-25-7" name="__codelineno-25-7" href="#__codelineno-25-7"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">n</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="p">.</span><span class="na">size</span>
@@ -4460,13 +4455,12 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
<a id="__codelineno-25-15" name="__codelineno-25-15" href="#__codelineno-25-15"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-25-16" name="__codelineno-25-16" href="#__codelineno-25-16"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span><span class="w"> </span><span class="k">else</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-25-17" name="__codelineno-25-17" href="#__codelineno-25-17"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 不選和選物品 i 這兩種方案的較大值</span>
<a id="__codelineno-25-18" name="__codelineno-25-18" href="#__codelineno-25-18"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span>
<a id="__codelineno-25-19" name="__codelineno-25-19" href="#__codelineno-25-19"></a><span class="w"> </span><span class="n">max</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">(),</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">c</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]]</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">value</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">).</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">()).</span><span class="na">toInt</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-25-20" name="__codelineno-25-20" href="#__codelineno-25-20"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-25-21" name="__codelineno-25-21" href="#__codelineno-25-21"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-25-22" name="__codelineno-25-22" href="#__codelineno-25-22"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-25-23" name="__codelineno-25-23" href="#__codelineno-25-23"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">cap</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-25-24" name="__codelineno-25-24" href="#__codelineno-25-24"></a><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-25-18" name="__codelineno-25-18" href="#__codelineno-25-18"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">max</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">c</span><span class="o">]</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">c</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="n">wgt</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]]</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="n">_val</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-25-19" name="__codelineno-25-19" href="#__codelineno-25-19"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-25-20" name="__codelineno-25-20" href="#__codelineno-25-20"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-25-21" name="__codelineno-25-21" href="#__codelineno-25-21"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-25-22" name="__codelineno-25-22" href="#__codelineno-25-22"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">cap</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-25-23" name="__codelineno-25-23" href="#__codelineno-25-23"></a><span class="p">}</span>
</code></pre></div>
</div>
<div class="tabbed-block">
@@ -4499,8 +4493,8 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20unbounded_knapsack_dp_comp%28wgt%3A%20list%5Bint%5D,%20val%3A%20list%5Bint%5D,%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20%28cap%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%AD%A3%E5%BA%8F%E9%81%8D%E5%8E%86%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20c%20in%20range%281,%20cap%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%88%99%E4%B8%8D%E9%80%89%E7%89%A9%E5%93%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bc%5D%20%3D%20dp%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%80%89%E5%92%8C%E9%80%89%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bc%5D%20%3D%20max%28dp%5Bc%5D,%20dp%5Bc%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bcap%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B1,%202,%203%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B5,%2011,%2015%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20unbounded_knapsack_dp_comp%28wgt,%20val,%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20unbounded_knapsack_dp_comp%28wgt%3A%20list%5Bint%5D,%20val%3A%20list%5Bint%5D,%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20%28cap%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%AD%A3%E5%BA%8F%E9%81%8D%E5%8E%86%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20c%20in%20range%281,%20cap%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%88%99%E4%B8%8D%E9%80%89%E7%89%A9%E5%93%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bc%5D%20%3D%20dp%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%80%89%E5%92%8C%E9%80%89%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bc%5D%20%3D%20max%28dp%5Bc%5D,%20dp%5Bc%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bcap%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B1,%202,%203%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B5,%2011,%2015%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20unbounded_knapsack_dp_comp%28wgt,%20val,%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20unbounded_knapsack_dp_comp%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20%28cap%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%AD%A3%E5%BA%8F%E8%B5%B0%E8%A8%AA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20c%20in%20range%281%2C%20cap%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%89%87%E4%B8%8D%E9%81%B8%E7%89%A9%E5%93%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bc%5D%20%3D%20dp%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%81%B8%E5%92%8C%E9%81%B8%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E9%80%99%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BC%83%E5%A4%A7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bc%5D%20%3D%20max%28dp%5Bc%5D%2C%20dp%5Bc%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bcap%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%203%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B5%2C%2011%2C%2015%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20unbounded_knapsack_dp_comp%28wgt%2C%20val%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E5%83%B9%E5%80%BC%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20unbounded_knapsack_dp_comp%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20%28cap%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%AD%A3%E5%BA%8F%E8%B5%B0%E8%A8%AA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20c%20in%20range%281%2C%20cap%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%89%87%E4%B8%8D%E9%81%B8%E7%89%A9%E5%93%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bc%5D%20%3D%20dp%5Bc%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%81%B8%E5%92%8C%E9%81%B8%E7%89%A9%E5%93%81%20i%20%E9%80%99%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BC%83%E5%A4%A7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bc%5D%20%3D%20max%28dp%5Bc%5D%2C%20dp%5Bc%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bcap%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%203%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B5%2C%2011%2C%2015%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20unbounded_knapsack_dp_comp%28wgt%2C%20val%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E9%81%8E%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E5%83%B9%E5%80%BC%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<h2 id="1452">14.5.2 &nbsp; 零錢兌換問題<a class="headerlink" href="#1452" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<p>背包問題是一大類動態規劃問題的代表，其擁有很多變種，例如零錢兌換問題。</p>
@@ -4872,13 +4866,12 @@ dp[i, a] = \min(dp[i-1, a], dp[i, a - coins[i-1]] + 1)
<a id="__codelineno-39-16" name="__codelineno-39-16" href="#__codelineno-39-16"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">a</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">a</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-39-17" name="__codelineno-39-17" href="#__codelineno-39-17"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span><span class="w"> </span><span class="k">else</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-39-18" name="__codelineno-39-18" href="#__codelineno-39-18"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 不選和選硬幣 i 這兩種方案的較小值</span>
<a id="__codelineno-39-19" name="__codelineno-39-19" href="#__codelineno-39-19"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">a</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">a</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">(),</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">a</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="n">coins</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]]</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">).</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">())</span>
<a id="__codelineno-39-20" name="__codelineno-39-20" href="#__codelineno-39-20"></a><span class="w"> </span><span class="p">.</span><span class="na">toInt</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-39-21" name="__codelineno-39-21" href="#__codelineno-39-21"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-22" name="__codelineno-39-22" href="#__codelineno-39-22"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-23" name="__codelineno-39-23" href="#__codelineno-39-23"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-24" name="__codelineno-39-24" href="#__codelineno-39-24"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">n</span><span class="o">][</span><span class="n">amt</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">!=</span><span class="w"> </span><span class="n">MAX</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">n</span><span class="o">][</span><span class="n">amt</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="k">else</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="m">1</span>
<a id="__codelineno-39-25" name="__codelineno-39-25" href="#__codelineno-39-25"></a><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-19" name="__codelineno-39-19" href="#__codelineno-39-19"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">a</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">][</span><span class="n">a</span><span class="o">]</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="o">][</span><span class="n">a</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="n">coins</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]]</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-39-20" name="__codelineno-39-20" href="#__codelineno-39-20"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-21" name="__codelineno-39-21" href="#__codelineno-39-21"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-22" name="__codelineno-39-22" href="#__codelineno-39-22"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-39-23" name="__codelineno-39-23" href="#__codelineno-39-23"></a><span class="w"> </span><span class="k">return</span><span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">n</span><span class="o">][</span><span class="n">amt</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">!=</span><span class="w"> </span><span class="n">MAX</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">n</span><span class="o">][</span><span class="n">amt</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="k">else</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="m">1</span>
<a id="__codelineno-39-24" name="__codelineno-39-24" href="#__codelineno-39-24"></a><span class="p">}</span>
</code></pre></div>
</div>
<div class="tabbed-block">
@@ -4920,8 +4913,8 @@ dp[i, a] = \min(dp[i-1, a], dp[i, a - coins[i-1]] + 1)
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_dp%28coins%3A%20list%5Bint%5D,%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28coins%29%0A%20%20%20%20MAX%20%3D%20amt%20%2B%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%20%28amt%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281,%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%5Ba%5D%20%3D%20MAX%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E8%A1%8C%E5%92%8C%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281,%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coins%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20a%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E7%9B%AE%E6%A0%87%E9%87%91%E9%A2%9D%EF%BC%8C%E5%88%99%E4%B8%8D%E9%80%89%E7%A1%AC%E5%B8%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Ba%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%80%89%E5%92%8C%E9%80%89%E7%A1%AC%E5%B8%81%20i%20%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BE%83%E5%B0%8F%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Ba%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%20-%201%5D%5Ba%5D,%20dp%5Bi%5D%5Ba%20-%20coins%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bamt%5D%20if%20dp%5Bn%5D%5Bamt%5D%20!%3D%20MAX%20else%20-1%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1,%202,%205%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_dp%28coins,%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%87%91%E5%88%B0%E7%9B%AE%E6%A0%87%E9%87%91%E9%A2%9D%E6%89%80%E9%9C%80%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%A1%AC%E5%B8%81%E6%95%B0%E9%87%8F%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_dp%28coins%3A%20list%5Bint%5D,%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28coins%29%0A%20%20%20%20MAX%20%3D%20amt%20%2B%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%20%28amt%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281,%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%5Ba%5D%20%3D%20MAX%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E4%BD%99%E8%A1%8C%E5%92%8C%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281,%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coins%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20a%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E7%9B%AE%E6%A0%87%E9%87%91%E9%A2%9D%EF%BC%8C%E5%88%99%E4%B8%8D%E9%80%89%E7%A1%AC%E5%B8%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Ba%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%80%89%E5%92%8C%E9%80%89%E7%A1%AC%E5%B8%81%20i%20%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BE%83%E5%B0%8F%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Ba%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%20-%201%5D%5Ba%5D,%20dp%5Bi%5D%5Ba%20-%20coins%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bamt%5D%20if%20dp%5Bn%5D%5Bamt%5D%20!%3D%20MAX%20else%20-1%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1,%202,%205%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_dp%28coins,%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%87%91%E5%88%B0%E7%9B%AE%E6%A0%87%E9%87%91%E9%A2%9D%E6%89%80%E9%9C%80%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%A1%AC%E5%B8%81%E6%95%B0%E9%87%8F%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_dp%28coins%3A%20list%5Bint%5D%2C%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%8C%A2%E5%85%8C%E6%8F%9B%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28coins%29%0A%20%20%20%20MAX%20%3D%20amt%20%2B%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%20%28amt%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281%2C%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%5Ba%5D%20%3D%20MAX%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E9%A4%98%E8%A1%8C%E5%92%8C%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281%2C%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coins%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20a%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E7%9B%AE%E6%A8%99%E9%87%91%E9%A1%8D%EF%BC%8C%E5%89%87%E4%B8%8D%E9%81%B8%E7%A1%AC%E5%B9%A3%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Ba%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%81%B8%E5%92%8C%E9%81%B8%E7%A1%AC%E5%B9%A3%20i%20%E9%80%99%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BC%83%E5%B0%8F%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Ba%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%20-%201%5D%5Ba%5D%2C%20dp%5Bi%5D%5Ba%20-%20coins%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bamt%5D%20if%20dp%5Bn%5D%5Bamt%5D%20%21%3D%20MAX%20else%20-1%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%205%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_dp%28coins%2C%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%B9%8A%E5%88%B0%E7%9B%AE%E6%A8%99%E9%87%91%E9%A1%8D%E6%89%80%E9%9C%80%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%A1%AC%E5%B9%A3%E6%95%B8%E9%87%8F%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_dp%28coins%3A%20list%5Bint%5D%2C%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%8C%A2%E5%85%8C%E6%8F%9B%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28coins%29%0A%20%20%20%20MAX%20%3D%20amt%20%2B%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%20%28amt%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E9%A6%96%E8%A1%8C%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281%2C%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5B0%5D%5Ba%5D%20%3D%20MAX%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%EF%BC%9A%E5%85%B6%E9%A4%98%E8%A1%8C%E5%92%8C%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281%2C%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coins%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20a%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E7%9B%AE%E6%A8%99%E9%87%91%E9%A1%8D%EF%BC%8C%E5%89%87%E4%B8%8D%E9%81%B8%E7%A1%AC%E5%B9%A3%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Ba%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%81%B8%E5%92%8C%E9%81%B8%E7%A1%AC%E5%B9%A3%20i%20%E9%80%99%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BC%83%E5%B0%8F%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Ba%5D%20%3D%20min%28dp%5Bi%20-%201%5D%5Ba%5D%2C%20dp%5Bi%5D%5Ba%20-%20coins%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bamt%5D%20if%20dp%5Bn%5D%5Bamt%5D%20%21%3D%20MAX%20else%20-1%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%205%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_dp%28coins%2C%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%B9%8A%E5%88%B0%E7%9B%AE%E6%A8%99%E9%87%91%E9%A1%8D%E6%89%80%E9%9C%80%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%A1%AC%E5%B9%A3%E6%95%B8%E9%87%8F%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<p>圖 14-25 展示了零錢兌換的動態規劃過程，和完全背包問題非常相似。</p>
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="5:15"><input checked="checked" id="__tabbed_5_1" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_2" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_3" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_4" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_5" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_6" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_7" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_8" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_9" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_10" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_11" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_12" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_13" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_14" name="__tabbed_5" type="radio" /><input id="__tabbed_5_15" name="__tabbed_5" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_5_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_5_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_5_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_5_4">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_5_5">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_5_6">&lt;6&gt;</label><label for="__tabbed_5_7">&lt;7&gt;</label><label for="__tabbed_5_8">&lt;8&gt;</label><label for="__tabbed_5_9">&lt;9&gt;</label><label for="__tabbed_5_10">&lt;10&gt;</label><label for="__tabbed_5_11">&lt;11&gt;</label><label for="__tabbed_5_12">&lt;12&gt;</label><label for="__tabbed_5_13">&lt;13&gt;</label><label for="__tabbed_5_14">&lt;14&gt;</label><label for="__tabbed_5_15">&lt;15&gt;</label></div>
@@ -5086,7 +5079,7 @@ dp[i, a] = \min(dp[i-1, a], dp[i, a - coins[i-1]] + 1)
<a id="__codelineno-46-9" name="__codelineno-46-9" href="#__codelineno-46-9"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-46-10" name="__codelineno-46-10" href="#__codelineno-46-10"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 狀態轉移</span>
<a id="__codelineno-46-11" name="__codelineno-46-11" href="#__codelineno-46-11"></a><span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="nx">i</span><span class="w"> </span><span class="o">:=</span><span class="w"> </span><span class="mi">1</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="nx">i</span><span class="w"> </span><span class="o">&lt;=</span><span class="w"> </span><span class="nx">n</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="nx">i</span><span class="o">++</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-46-12" name="__codelineno-46-12" href="#__codelineno-46-12"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 倒序走訪</span>
<a id="__codelineno-46-12" name="__codelineno-46-12" href="#__codelineno-46-12"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 正序走訪</span>
<a id="__codelineno-46-13" name="__codelineno-46-13" href="#__codelineno-46-13"></a><span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="nx">a</span><span class="w"> </span><span class="o">:=</span><span class="w"> </span><span class="mi">1</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="nx">a</span><span class="w"> </span><span class="o">&lt;=</span><span class="w"> </span><span class="nx">amt</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="nx">a</span><span class="o">++</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-46-14" name="__codelineno-46-14" href="#__codelineno-46-14"></a><span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="nx">coins</span><span class="p">[</span><span class="nx">i</span><span class="o">-</span><span class="mi">1</span><span class="p">]</span><span class="w"> </span><span class="p">&gt;</span><span class="w"> </span><span class="nx">a</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-46-15" name="__codelineno-46-15" href="#__codelineno-46-15"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 若超過目標金額，則不選硬幣 i</span>
@@ -5263,7 +5256,7 @@ dp[i, a] = \min(dp[i-1, a], dp[i, a - coins[i-1]] + 1)
<a id="__codelineno-53-4" name="__codelineno-53-4" href="#__codelineno-53-4"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">MAX</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">amt</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span>
<a id="__codelineno-53-5" name="__codelineno-53-5" href="#__codelineno-53-5"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 初始化 dp 表</span>
<a id="__codelineno-53-6" name="__codelineno-53-6" href="#__codelineno-53-6"></a><span class="w"> </span><span class="kd">val</span><span class="w"> </span><span class="nv">dp</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">IntArray</span><span class="p">(</span><span class="n">amt</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-53-7" name="__codelineno-53-7" href="#__codelineno-53-7"></a><span class="w"> </span><span class="n">Arrays</span><span class="p">.</span><span class="na">fill</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">MAX</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-53-7" name="__codelineno-53-7" href="#__codelineno-53-7"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="p">.</span><span class="na">fill</span><span class="p">(</span><span class="n">MAX</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-53-8" name="__codelineno-53-8" href="#__codelineno-53-8"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="m">0</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="m">0</span>
<a id="__codelineno-53-9" name="__codelineno-53-9" href="#__codelineno-53-9"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 狀態轉移</span>
<a id="__codelineno-53-10" name="__codelineno-53-10" href="#__codelineno-53-10"></a><span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="k">in</span><span class="w"> </span><span class="m">1.</span><span class="p">.</span><span class="na">n</span><span class="p">)</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
@@ -5273,7 +5266,7 @@ dp[i, a] = \min(dp[i-1, a], dp[i, a - coins[i-1]] + 1)
<a id="__codelineno-53-14" name="__codelineno-53-14" href="#__codelineno-53-14"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">a</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">a</span><span class="o">]</span>
<a id="__codelineno-53-15" name="__codelineno-53-15" href="#__codelineno-53-15"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span><span class="w"> </span><span class="k">else</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-53-16" name="__codelineno-53-16" href="#__codelineno-53-16"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 不選和選硬幣 i 這兩種方案的較小值</span>
<a id="__codelineno-53-17" name="__codelineno-53-17" href="#__codelineno-53-17"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">a</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">a</span><span class="o">]</span><span class="p">.</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">(),</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">a</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="n">coins</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]]</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">).</span><span class="na">toDouble</span><span class="p">()).</span><span class="na">toInt</span><span class="p">()</span>
<a id="__codelineno-53-17" name="__codelineno-53-17" href="#__codelineno-53-17"></a><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">a</span><span class="o">]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="n">min</span><span class="p">(</span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">a</span><span class="o">]</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">dp</span><span class="o">[</span><span class="n">a</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="n">coins</span><span class="o">[</span><span class="n">i</span><span class="w"> </span><span class="o">-</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="o">]]</span><span class="w"> </span><span class="o">+</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">)</span>
<a id="__codelineno-53-18" name="__codelineno-53-18" href="#__codelineno-53-18"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-53-19" name="__codelineno-53-19" href="#__codelineno-53-19"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
<a id="__codelineno-53-20" name="__codelineno-53-20" href="#__codelineno-53-20"></a><span class="w"> </span><span class="p">}</span>
@@ -5318,8 +5311,8 @@ dp[i, a] = \min(dp[i-1, a], dp[i, a - coins[i-1]] + 1)
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_dp_comp%28coins%3A%20list%5Bint%5D,%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28coins%29%0A%20%20%20%20MAX%20%3D%20amt%20%2B%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5BMAX%5D%20*%20%28amt%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%AD%A3%E5%BA%8F%E9%81%8D%E5%8E%86%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281,%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coins%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20a%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E7%9B%AE%E6%A0%87%E9%87%91%E9%A2%9D%EF%BC%8C%E5%88%99%E4%B8%8D%E9%80%89%E7%A1%AC%E5%B8%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Ba%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%80%89%E5%92%8C%E9%80%89%E7%A1%AC%E5%B8%81%20i%20%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BE%83%E5%B0%8F%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Ba%5D%20%3D%20min%28dp%5Ba%5D,%20dp%5Ba%20-%20coins%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bamt%5D%20if%20dp%5Bamt%5D%20!%3D%20MAX%20else%20-1%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1,%202,%205%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_dp_comp%28coins,%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%87%91%E5%88%B0%E7%9B%AE%E6%A0%87%E9%87%91%E9%A2%9D%E6%89%80%E9%9C%80%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%A1%AC%E5%B8%81%E6%95%B0%E9%87%8F%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_dp_comp%28coins%3A%20list%5Bint%5D,%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28coins%29%0A%20%20%20%20MAX%20%3D%20amt%20%2B%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5BMAX%5D%20*%20%28amt%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%AD%A3%E5%BA%8F%E9%81%8D%E5%8E%86%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281,%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coins%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20a%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E7%9B%AE%E6%A0%87%E9%87%91%E9%A2%9D%EF%BC%8C%E5%88%99%E4%B8%8D%E9%80%89%E7%A1%AC%E5%B8%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Ba%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%80%89%E5%92%8C%E9%80%89%E7%A1%AC%E5%B8%81%20i%20%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BE%83%E5%B0%8F%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Ba%5D%20%3D%20min%28dp%5Ba%5D,%20dp%5Ba%20-%20coins%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bamt%5D%20if%20dp%5Bamt%5D%20!%3D%20MAX%20else%20-1%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1,%202,%205%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_dp_comp%28coins,%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%87%91%E5%88%B0%E7%9B%AE%E6%A0%87%E9%87%91%E9%A2%9D%E6%89%80%E9%9C%80%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%A1%AC%E5%B8%81%E6%95%B0%E9%87%8F%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_dp_comp%28coins%3A%20list%5Bint%5D%2C%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%8C%A2%E5%85%8C%E6%8F%9B%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28coins%29%0A%20%20%20%20MAX%20%3D%20amt%20%2B%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5BMAX%5D%20%2A%20%28amt%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%AD%A3%E5%BA%8F%E8%B5%B0%E8%A8%AA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281%2C%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coins%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20a%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E7%9B%AE%E6%A8%99%E9%87%91%E9%A1%8D%EF%BC%8C%E5%89%87%E4%B8%8D%E9%81%B8%E7%A1%AC%E5%B9%A3%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Ba%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%81%B8%E5%92%8C%E9%81%B8%E7%A1%AC%E5%B9%A3%20i%20%E9%80%99%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BC%83%E5%B0%8F%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Ba%5D%20%3D%20min%28dp%5Ba%5D%2C%20dp%5Ba%20-%20coins%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bamt%5D%20if%20dp%5Bamt%5D%20%21%3D%20MAX%20else%20-1%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%205%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_dp_comp%28coins%2C%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%B9%8A%E5%88%B0%E7%9B%AE%E6%A8%99%E9%87%91%E9%A1%8D%E6%89%80%E9%9C%80%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%A1%AC%E5%B9%A3%E6%95%B8%E9%87%8F%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_dp_comp%28coins%3A%20list%5Bint%5D%2C%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%8C%A2%E5%85%8C%E6%8F%9B%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28coins%29%0A%20%20%20%20MAX%20%3D%20amt%20%2B%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5BMAX%5D%20%2A%20%28amt%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%AD%A3%E5%BA%8F%E8%B5%B0%E8%A8%AA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281%2C%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coins%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20a%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E7%9B%AE%E6%A8%99%E9%87%91%E9%A1%8D%EF%BC%8C%E5%89%87%E4%B8%8D%E9%81%B8%E7%A1%AC%E5%B9%A3%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Ba%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%81%B8%E5%92%8C%E9%81%B8%E7%A1%AC%E5%B9%A3%20i%20%E9%80%99%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E7%9A%84%E8%BC%83%E5%B0%8F%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Ba%5D%20%3D%20min%28dp%5Ba%5D%2C%20dp%5Ba%20-%20coins%5Bi%20-%201%5D%5D%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bamt%5D%20if%20dp%5Bamt%5D%20%21%3D%20MAX%20else%20-1%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%205%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_dp_comp%28coins%2C%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%B9%8A%E5%88%B0%E7%9B%AE%E6%A8%99%E9%87%91%E9%A1%8D%E6%89%80%E9%9C%80%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%A1%AC%E5%B9%A3%E6%95%B8%E9%87%8F%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<h2 id="1453-ii">14.5.3 &nbsp; 零錢兌換問題 II<a class="headerlink" href="#1453-ii" title="Permanent link">&para;</a></h2>
<div class="admonition question">
@@ -5696,8 +5689,8 @@ dp[i, a] = dp[i-1, a] + dp[i, a - coins[i-1]]
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_ii_dp%28coins%3A%20list%5Bint%5D,%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2%20II%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28coins%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%20%28amt%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B0%5D%20%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281,%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coins%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20a%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E7%9B%AE%E6%A0%87%E9%87%91%E9%A2%9D%EF%BC%8C%E5%88%99%E4%B8%8D%E9%80%89%E7%A1%AC%E5%B8%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Ba%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%80%89%E5%92%8C%E9%80%89%E7%A1%AC%E5%B8%81%20i%20%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E4%B9%8B%E5%92%8C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Ba%5D%20%2B%20dp%5Bi%5D%5Ba%20-%20coins%5Bi%20-%201%5D%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bamt%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1,%202,%205%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%205%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_ii_dp%28coins,%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%87%91%E5%87%BA%E7%9B%AE%E6%A0%87%E9%87%91%E9%A2%9D%E7%9A%84%E7%A1%AC%E5%B8%81%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E9%87%8F%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_ii_dp%28coins%3A%20list%5Bint%5D,%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2%20II%EF%BC%9A%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28coins%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20*%20%28amt%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B0%5D%20%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281,%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coins%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20a%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E7%9B%AE%E6%A0%87%E9%87%91%E9%A2%9D%EF%BC%8C%E5%88%99%E4%B8%8D%E9%80%89%E7%A1%AC%E5%B8%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Ba%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%80%89%E5%92%8C%E9%80%89%E7%A1%AC%E5%B8%81%20i%20%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E4%B9%8B%E5%92%8C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Ba%5D%20%2B%20dp%5Bi%5D%5Ba%20-%20coins%5Bi%20-%201%5D%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bamt%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1,%202,%205%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%205%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_ii_dp%28coins,%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%87%91%E5%87%BA%E7%9B%AE%E6%A0%87%E9%87%91%E9%A2%9D%E7%9A%84%E7%A1%AC%E5%B8%81%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E9%87%8F%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_ii_dp%28coins%3A%20list%5Bint%5D%2C%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%8C%A2%E5%85%8C%E6%8F%9B%20II%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28coins%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%20%28amt%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B0%5D%20%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281%2C%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coins%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20a%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E7%9B%AE%E6%A8%99%E9%87%91%E9%A1%8D%EF%BC%8C%E5%89%87%E4%B8%8D%E9%81%B8%E7%A1%AC%E5%B9%A3%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Ba%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%81%B8%E5%92%8C%E9%81%B8%E7%A1%AC%E5%B9%A3%20i%20%E9%80%99%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E4%B9%8B%E5%92%8C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Ba%5D%20%2B%20dp%5Bi%5D%5Ba%20-%20coins%5Bi%20-%201%5D%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bamt%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%205%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%205%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_ii_dp%28coins%2C%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%B9%8A%E5%87%BA%E7%9B%AE%E6%A8%99%E9%87%91%E9%A1%8D%E7%9A%84%E7%A1%AC%E5%B9%A3%E7%B5%84%E5%90%88%E6%95%B8%E9%87%8F%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_ii_dp%28coins%3A%20list%5Bint%5D%2C%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%8C%A2%E5%85%8C%E6%8F%9B%20II%EF%BC%9A%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28coins%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%20%28amt%20%2B%201%29%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E9%A6%96%E5%88%97%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B0%5D%20%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281%2C%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coins%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20a%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E7%9B%AE%E6%A8%99%E9%87%91%E9%A1%8D%EF%BC%8C%E5%89%87%E4%B8%8D%E9%81%B8%E7%A1%AC%E5%B9%A3%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Ba%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%81%B8%E5%92%8C%E9%81%B8%E7%A1%AC%E5%B9%A3%20i%20%E9%80%99%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E4%B9%8B%E5%92%8C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5Ba%5D%20%2B%20dp%5Bi%5D%5Ba%20-%20coins%5Bi%20-%201%5D%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5Bamt%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%205%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%205%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_ii_dp%28coins%2C%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%B9%8A%E5%87%BA%E7%9B%AE%E6%A8%99%E9%87%91%E9%A1%8D%E7%9A%84%E7%A1%AC%E5%B9%A3%E7%B5%84%E5%90%88%E6%95%B8%E9%87%8F%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<h3 id="3_2">3. &nbsp; 空間最佳化<a class="headerlink" href="#3_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
<p>空間最佳化處理方式相同，刪除硬幣維度即可：</p>
@@ -5801,7 +5794,7 @@ dp[i, a] = dp[i-1, a] + dp[i, a - coins[i-1]]
<a id="__codelineno-74-6" name="__codelineno-74-6" href="#__codelineno-74-6"></a><span class="w"> </span><span class="nx">dp</span><span class="p">[</span><span class="mi">0</span><span class="p">]</span><span class="w"> </span><span class="p">=</span><span class="w"> </span><span class="mi">1</span>
<a id="__codelineno-74-7" name="__codelineno-74-7" href="#__codelineno-74-7"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 狀態轉移</span>
<a id="__codelineno-74-8" name="__codelineno-74-8" href="#__codelineno-74-8"></a><span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="nx">i</span><span class="w"> </span><span class="o">:=</span><span class="w"> </span><span class="mi">1</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="nx">i</span><span class="w"> </span><span class="o">&lt;=</span><span class="w"> </span><span class="nx">n</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="nx">i</span><span class="o">++</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-74-9" name="__codelineno-74-9" href="#__codelineno-74-9"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 倒序走訪</span>
<a id="__codelineno-74-9" name="__codelineno-74-9" href="#__codelineno-74-9"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 正序走訪</span>
<a id="__codelineno-74-10" name="__codelineno-74-10" href="#__codelineno-74-10"></a><span class="w"> </span><span class="k">for</span><span class="w"> </span><span class="nx">a</span><span class="w"> </span><span class="o">:=</span><span class="w"> </span><span class="mi">1</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="nx">a</span><span class="w"> </span><span class="o">&lt;=</span><span class="w"> </span><span class="nx">amt</span><span class="p">;</span><span class="w"> </span><span class="nx">a</span><span class="o">++</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-74-11" name="__codelineno-74-11" href="#__codelineno-74-11"></a><span class="w"> </span><span class="k">if</span><span class="w"> </span><span class="nx">coins</span><span class="p">[</span><span class="nx">i</span><span class="o">-</span><span class="mi">1</span><span class="p">]</span><span class="w"> </span><span class="p">&gt;</span><span class="w"> </span><span class="nx">a</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span>
<a id="__codelineno-74-12" name="__codelineno-74-12" href="#__codelineno-74-12"></a><span class="w"> </span><span class="c1">// 若超過目標金額，則不選硬幣 i</span>
@@ -6011,8 +6004,8 @@ dp[i, a] = dp[i-1, a] + dp[i, a - coins[i-1]]
</div>
<details class="pythontutor">
<summary>視覺化執行</summary>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_ii_dp_comp%28coins%3A%20list%5Bint%5D,%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2%20II%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28coins%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20%28amt%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%AD%A3%E5%BA%8F%E9%81%8D%E5%8E%86%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281,%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coins%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20a%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E7%9B%AE%E6%A0%87%E9%87%91%E9%A2%9D%EF%BC%8C%E5%88%99%E4%B8%8D%E9%80%89%E7%A1%AC%E5%B8%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Ba%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%80%89%E5%92%8C%E9%80%89%E7%A1%AC%E5%B8%81%20i%20%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E4%B9%8B%E5%92%8C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Ba%5D%20%2B%20dp%5Ba%20-%20coins%5Bi%20-%201%5D%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bamt%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1,%202,%205%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%205%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_ii_dp_comp%28coins,%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%87%91%E5%87%BA%E7%9B%AE%E6%A0%87%E9%87%91%E9%A2%9D%E7%9A%84%E7%A1%AC%E5%B8%81%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E9%87%8F%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_ii_dp_comp%28coins%3A%20list%5Bint%5D,%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2%20II%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28coins%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20*%20%28amt%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%E8%BD%AC%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%AD%A3%E5%BA%8F%E9%81%8D%E5%8E%86%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281,%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coins%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20a%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E8%BF%87%E7%9B%AE%E6%A0%87%E9%87%91%E9%A2%9D%EF%BC%8C%E5%88%99%E4%B8%8D%E9%80%89%E7%A1%AC%E5%B8%81%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Ba%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%80%89%E5%92%8C%E9%80%89%E7%A1%AC%E5%B8%81%20i%20%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%A1%88%E4%B9%8B%E5%92%8C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Ba%5D%20%2B%20dp%5Ba%20-%20coins%5Bi%20-%201%5D%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bamt%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1,%202,%205%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%205%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%98%E5%8C%96%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_ii_dp_comp%28coins,%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%87%91%E5%87%BA%E7%9B%AE%E6%A0%87%E9%87%91%E9%A2%9D%E7%9A%84%E7%A1%AC%E5%B8%81%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E9%87%8F%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
<p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_ii_dp_comp%28coins%3A%20list%5Bint%5D%2C%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%8C%A2%E5%85%8C%E6%8F%9B%20II%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28coins%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20%28amt%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%AD%A3%E5%BA%8F%E8%B5%B0%E8%A8%AA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281%2C%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coins%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20a%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E7%9B%AE%E6%A8%99%E9%87%91%E9%A1%8D%EF%BC%8C%E5%89%87%E4%B8%8D%E9%81%B8%E7%A1%AC%E5%B9%A3%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Ba%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%81%B8%E5%92%8C%E9%81%B8%E7%A1%AC%E5%B9%A3%20i%20%E9%80%99%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E4%B9%8B%E5%92%8C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Ba%5D%20%2B%20dp%5Ba%20-%20coins%5Bi%20-%201%5D%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bamt%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%205%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%205%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_ii_dp_comp%28coins%2C%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%B9%8A%E5%87%BA%E7%9B%AE%E6%A8%99%E9%87%91%E9%A1%8D%E7%9A%84%E7%A1%AC%E5%B9%A3%E7%B5%84%E5%90%88%E6%95%B8%E9%87%8F%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_ii_dp_comp%28coins%3A%20list%5Bint%5D%2C%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%8C%A2%E5%85%8C%E6%8F%9B%20II%EF%BC%9A%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28coins%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20dp%20%E8%A1%A8%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B0%5D%20%2A%20%28amt%20%2B%201%29%0A%20%20%20%20dp%5B0%5D%20%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8B%80%E6%85%8B%E8%BD%89%E7%A7%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%AD%A3%E5%BA%8F%E8%B5%B0%E8%A8%AA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20a%20in%20range%281%2C%20amt%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coins%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20a%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%B6%85%E9%81%8E%E7%9B%AE%E6%A8%99%E9%87%91%E9%A1%8D%EF%BC%8C%E5%89%87%E4%B8%8D%E9%81%B8%E7%A1%AC%E5%B9%A3%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Ba%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%B8%8D%E9%81%B8%E5%92%8C%E9%81%B8%E7%A1%AC%E5%B9%A3%20i%20%E9%80%99%E5%85%A9%E7%A8%AE%E6%96%B9%E6%A1%88%E4%B9%8B%E5%92%8C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Ba%5D%20%3D%20dp%5Ba%5D%20%2B%20dp%5Ba%20-%20coins%5Bi%20-%201%5D%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bamt%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%205%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%205%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E7%A9%BA%E9%96%93%E6%9C%80%E4%BD%B3%E5%8C%96%E5%BE%8C%E7%9A%84%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_ii_dp_comp%28coins%2C%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%B9%8A%E5%87%BA%E7%9B%AE%E6%A8%99%E9%87%91%E9%A1%8D%E7%9A%84%E7%A1%AC%E5%B9%A3%E7%B5%84%E5%90%88%E6%95%B8%E9%87%8F%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 &gt;</a></div></p>
</details>
<!-- Source file information -->