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zh-hant/docs/chapter_sorting/bucket_sort.md

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 # 桶排序
 
-前述幾種排序演算法都屬於“基於比較的排序演算法”，它們透過比較元素間的大小來實現排序。此類排序演算法的時間複雜度無法超越 $O(n \log n)$ 。接下來，我們將探討幾種“非比較排序演算法”，它們的時間複雜度可以達到線性階。
+前述幾種排序演算法都屬於“基於比較的排序演算法”，它們透過比較元素間的大小來實現排序。此類排序演算法在最壞情況下的時間複雜度下界為 $\Omega(n \log n)$ 。接下來，我們將探討幾種“非比較排序演算法”，它們的時間複雜度可以達到線性階。
 
 <u>桶排序（bucket sort）</u>是分治策略的一個典型應用。它透過設定一些具有大小順序的桶，每個桶對應一個數據範圍，將資料平均分配到各個桶中；然後，在每個桶內部分別執行排序；最終按照桶的順序將所有資料合併。
 

zh-hant/docs/chapter_sorting/selection_sort.md

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 ## 演算法特性
 
-- **時間複雜度為 $O(n^2)$、非自適應排序**：外迴圈共 $n - 1$ 輪，第一輪的未排序區間長度為 $n$ ，最後一輪的未排序區間長度為 $2$ ，即各輪外迴圈分別包含 $n$、$n - 1$、$\dots$、$3$、$2$ 輪內迴圈，求和為 $\frac{(n - 1)(n + 2)}{2}$ 。
+- **時間複雜度為 $O(n^2)$、非自適應排序**：外迴圈共 $n - 1$ 輪，第一輪內迴圈執行 $n - 1$ 次，最後一輪執行 $1$ 次，即各輪內迴圈分別執行 $n - 1$、$n - 2$、$\dots$、$2$、$1$ 次，求和為 $\frac{n(n - 1)}{2}$ 。
 - **空間複雜度為 $O(1)$、原地排序**：指標 $i$ 和 $j$ 使用常數大小的額外空間。
 - **非穩定排序**：如下圖所示，元素 `nums[i]` 有可能被交換至與其相等的元素的右邊，導致兩者的相對順序發生改變。
 

zh-hant/docs/chapter_sorting/sorting_algorithm.md

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 **自適應性**：<u>自適應排序</u>能夠利用輸入資料已有的順序資訊來減少計算量，達到更優的時間效率。自適應排序演算法的最佳時間複雜度通常優於平均時間複雜度。
 
-**是否基於比較**：<u>基於比較的排序</u>依賴比較運算子（$<$、$=$、$>$）來判斷元素的相對順序，從而排序整個陣列，理論最優時間複雜度為 $O(n \log n)$ 。而<u>非比較排序</u>不使用比較運算子，時間複雜度可達 $O(n)$ ，但其通用性相對較差。
+**是否基於比較**：<u>基於比較的排序</u>依賴比較運算子（$<$、$=$、$>$）來判斷元素的相對順序，從而排序整個陣列，其最壞時間複雜度的下界為 $\Omega(n \log n)$ 。而<u>非比較排序</u>不使用比較運算子，時間複雜度可達 $O(n)$ ，但其通用性相對較差。
 
 ## 理想排序演算法