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2026-07-10 06:26:08 +00:00 · 2023-07-21 21:54:51 +08:00
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commit ca5bde2b6c
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 ![分数背包问题的示例数据](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_example.png)

-**第一步：问题分析**
+### 第一步：问题分析

 本题和 0-1 背包整体上非常相似，状态包含当前物品 $i$ 和容量 $c$ ，目标是求不超过背包容量下的最大价值。

@@ -19,7 +19,7 @@

 ![物品在单位重量下的价值](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_unit_value.png)

-**第二步：贪心策略确定**
+### 第二步：贪心策略确定

 最大化背包内物品总价值，**本质上是要最大化单位重量下的物品价值**。由此便可推出本题的贪心策略：

@@ -29,6 +29,8 @@

 ![分数背包的贪心策略](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_greedy_strategy.png)

+### 代码实现
+
 我们构建了一个物品类 `Item` ，以便将物品按照单位价值进行排序。循环进行贪心选择，当背包已满时跳出并返回解。

 === "Java"
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 最差情况下，需要遍历整个物品列表，**因此时间复杂度为 $O(n)$** ，其中 $n$ 为物品数量。由于初始化了一个 `Item` 对象列表，**因此空间复杂度为 $O(n)$** 。

-**第三步：正确性证明**
+### 第三步：正确性证明

 采用反证法。假设物品 $x$ 是单位价值最高的物品，使用某算法求得最大价值为 $res$ ，但该解中不包含物品 $x$ 。