xinyin025/hello-algo
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+206 -17
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@@ -11,11 +11,11 @@ comments: true
## 13.3.1.   问题判断
总的来说，如果一个问题包含重叠子问题、最优子结构，并满足无后效性，那么它通常就适合用动态规划求解。然而，我们很难从问题描述上直接提取出这些特性。因此我们通常会放宽条件，**先观察问题是否适合使用回溯（穷举）解决**。
总的来说，如果一个问题包含重叠子问题、最优子结构，并满足无后效性，那么它通常就适合用动态规划求解，但我们很难从问题描述上直接提取出这些特性。因此我们通常会放宽条件，**先观察问题是否适合使用回溯（穷举）解决**。
**适合用回溯解决的问题通常满足「决策树模型」**，这种问题可以使用树形结构来描述，其中每一个节点代表一个决策，每一条路径代表一个决策序列。
**适合用回溯解决的问题通常满足“决策树模型”**，这种问题可以使用树形结构来描述，其中每一个节点代表一个决策，每一条路径代表一个决策序列。
换句话说，**如果问题包含明确的决策概念，并且解是通过一系列决策产生的，那么它就满足决策树模型**，可以使用回溯来解决。
换句话说，如果问题包含明确的决策概念，并且解是通过一系列决策产生的，那么它就满足决策树模型，通常可以使用回溯来解决。
在此基础上，还有一些判断问题是动态规划问题的“加分项”，包括：
@@ -110,19 +110,49 @@ $$
=== "Java"
```java title="min_path_sum.java"
[class]{min_path_sum}-[func]{minPathSumDFS}
/* 最小路径和：暴力搜索 */
int minPathSumDFS(int[][] grid, int i, int j) {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if (i == 0 && j == 0) {
return grid[0][0];
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if (i < 0 || j < 0) {
return Integer.MAX_VALUE;
}
// 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
int left = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
int up = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
// 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
return Math.min(left, up) + grid[i][j];
}
```
=== "C++"
```cpp title="min_path_sum.cpp"
[class]{}-[func]{minPathSumDFS}
/* 最小路径和：暴力搜索 */
int minPathSumDFS(vector<vector<int>> &grid, int i, int j) {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if (i == 0 && j == 0) {
return grid[0][0];
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if (i < 0 || j < 0) {
return INT_MAX;
}
// 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
int left = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
int up = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
// 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
return min(left, up) != INT_MAX ? min(left, up) + grid[i][j] : INT_MAX;
}
```
=== "Python"
```python title="min_path_sum.py"
def min_path_sum_dfs(grid, i, j):
def min_path_sum_dfs(grid: list[list[int]], i: int, j: int) -> int:
"""最小路径和：暴力搜索"""
# 若为左上角单元格，则终止搜索
if i == 0 and j == 0:
@@ -164,7 +194,22 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="min_path_sum.cs"
[class]{min_path_sum}-[func]{minPathSumDFS}
/* 最小路径和：暴力搜索 */
int minPathSumDFS(int[][] grid, int i, int j) {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if (i == 0 && j == 0){
return grid[0][0];
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if (i < 0 || j < 0) {
return int.MaxValue;
}
// 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
int left = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
int up = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
// 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
return Math.Min(left, up) + grid[i][j];
}
```
=== "Swift"
@@ -202,19 +247,61 @@ $$
=== "Java"
```java title="min_path_sum.java"
[class]{min}-[func]{minPathSumDFSMem}
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
int minPathSumDFSMem(int[][] grid, int[][] mem, int i, int j) {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if (i == 0 && j == 0) {
return grid[0][0];
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if (i < 0 || j < 0) {
return Integer.MAX_VALUE;
}
// 若已有记录，则直接返回
if (mem[i][j] != -1) {
return mem[i][j];
}
// 左边和上边单元格的最小路径代价
int left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
int up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
// 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
mem[i][j] = Math.min(left, up) + grid[i][j];
return mem[i][j];
}
```
=== "C++"
```cpp title="min_path_sum.cpp"
[class]{}-[func]{minPathSumDFSMem}
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
int minPathSumDFSMem(vector<vector<int>> &grid, vector<vector<int>> &mem, int i, int j) {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if (i == 0 && j == 0) {
return grid[0][0];
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if (i < 0 || j < 0) {
return INT_MAX;
}
// 若已有记录，则直接返回
if (mem[i][j] != -1) {
return mem[i][j];
}
// 左边和上边单元格的最小路径代价
int left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
int up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
// 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
mem[i][j] = min(left, up) != INT_MAX ? min(left, up) + grid[i][j] : INT_MAX;
return mem[i][j];
}
```
=== "Python"
```python title="min_path_sum.py"
def min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i, j):
def min_path_sum_dfs_mem(
grid: list[list[int]], mem: list[list[int]], i: int, j: int
) -> int:
"""最小路径和：记忆化搜索"""
# 若为左上角单元格，则终止搜索
if i == 0 and j == 0:
@@ -260,7 +347,27 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="min_path_sum.cs"
[class]{min_path_sum}-[func]{minPathSumDFSMem}
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
int minPathSumDFSMem(int[][] grid, int[][] mem, int i, int j) {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if (i == 0 && j == 0) {
return grid[0][0];
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if (i < 0 || j < 0) {
return int.MaxValue;
}
// 若已有记录，则直接返回
if (mem[i][j] != -1) {
return mem[i][j];
}
// 左边和上边单元格的最小路径代价
int left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
int up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
// 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
mem[i][j] = Math.Min(left, up) + grid[i][j];
return mem[i][j];
}
```
=== "Swift"
@@ -300,13 +407,34 @@ $$
=== "C++"
```cpp title="min_path_sum.cpp"
[class]{}-[func]{minPathSumDP}
/* 最小路径和：动态规划 */
int minPathSumDP(vector<vector<int>> &grid) {
int n = grid.size(), m = grid[0].size();
// 初始化 dp 表
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(m));
dp[0][0] = grid[0][0];
// 状态转移：首行
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
}
// 状态转移：首列
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
}
// 状态转移：其余行列
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
}
}
return dp[n - 1][m - 1];
}
```
=== "Python"
```python title="min_path_sum.py"
def min_path_sum_dp(grid):
def min_path_sum_dp(grid: list[list[int]]) -> int:
"""最小路径和：动态规划"""
n, m = len(grid), len(grid[0])
# 初始化 dp 表
@@ -352,7 +480,28 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="min_path_sum.cs"
[class]{min_path_sum}-[func]{minPathSumDP}
/* 最小路径和：动态规划 */
int minPathSumDP(int[][] grid) {
int n = grid.Length, m = grid[0].Length;
// 初始化 dp 表
int[,] dp = new int[n, m];
dp[0, 0] = grid[0][0];
// 状态转移：首行
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[0, j] = dp[0, j - 1] + grid[0][j];
}
// 状态转移：首列
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i, 0] = dp[i - 1, 0] + grid[i][0];
}
// 状态转移：其余行列
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[i, j] = Math.Min(dp[i, j - 1], dp[i - 1, j]) + grid[i][j];
}
}
return dp[n - 1, m - 1];
}
```
=== "Swift"
@@ -424,13 +573,33 @@ $$
=== "C++"
```cpp title="min_path_sum.cpp"
[class]{}-[func]{minPathSumDPComp}
/* 最小路径和：状态压缩后的动态规划 */
int minPathSumDPComp(vector<vector<int>> &grid) {
int n = grid.size(), m = grid[0].size();
// 初始化 dp 表
vector<int> dp(m);
// 状态转移：首行
dp[0] = grid[0][0];
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
}
// 状态转移：其余行
for (int i = 1; i < n; i++) {
// 状态转移：首列
dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
// 状态转移：其余列
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
}
}
return dp[m - 1];
}
```
=== "Python"
```python title="min_path_sum.py"
def min_path_sum_dp_comp(grid):
def min_path_sum_dp_comp(grid: list[list[int]]) -> int:
"""最小路径和：状态压缩后的动态规划"""
n, m = len(grid), len(grid[0])
# 初始化 dp 表
@@ -476,7 +645,27 @@ $$
=== "C#"
```csharp title="min_path_sum.cs"
[class]{min_path_sum}-[func]{minPathSumDPComp}
/* 最小路径和：状态压缩后的动态规划 */
int minPathSumDPComp(int[][] grid) {
int n = grid.Length, m = grid[0].Length;
// 初始化 dp 表
int[] dp = new int[m];
dp[0] = grid[0][0];
// 状态转移：首行
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
}
// 状态转移：其余行
for (int i = 1; i < n; i++) {
// 状态转移：首列
dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
// 状态转移：其余列
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[j] = Math.Min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
}
}
return dp[m - 1];
}
```
=== "Swift"