deploy

ru/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem/index.html

@@ -4412,9 +4412,9 @@
 <p align="center"> Рисунок 14-17 &nbsp; Пример данных для задачи о рюкзаке 0-1 </p>
 
 <p>Задачу о рюкзаке 0-1 можно рассматривать как процесс из <span class="arithmatex">\(n\)</span> раундов принятия решений: для каждого предмета есть два решения - не класть его в рюкзак или положить в рюкзак. Поэтому задача удовлетворяет модели дерева решений.</p>
-<p>Цель задачи - найти "максимальную суммарную стоимость при ограниченной вместимости рюкзака", а это с большой вероятностью указывает на задачу динамического программирования.</p>
+<p>Цель задачи - найти «максимальную суммарную стоимость при ограниченной вместимости рюкзака», а это с большой вероятностью указывает на задачу динамического программирования.</p>
 <p><strong>Шаг 1: продумать решения на каждом раунде, определить состояние и тем самым получить таблицу <span class="arithmatex">\(dp\)</span></strong></p>
-<p>Для каждого предмета возможны два случая: не класть его в рюкзак, тогда вместимость не меняется; или положить его в рюкзак, тогда оставшаяся вместимость уменьшается. Отсюда получается определение состояния: текущий номер предмета <span class="arithmatex">\(i\)</span> и текущая вместимость рюкзака <span class="arithmatex">\(c\)</span> , то есть состояние обозначается как <span class="arithmatex">\([i, c]\)</span> .</p>
+<p>Для каждого предмета возможны два случая: не класть его в рюкзак, тогда вместимость не меняется. Или положить его в рюкзак, тогда оставшаяся вместимость уменьшается. Отсюда получается определение состояния: текущий номер предмета <span class="arithmatex">\(i\)</span> и текущая вместимость рюкзака <span class="arithmatex">\(c\)</span> , то есть состояние обозначается как <span class="arithmatex">\([i, c]\)</span> .</p>
 <p>Подзадача, соответствующая состоянию <span class="arithmatex">\([i, c]\)</span> , такова: <strong>максимальная стоимость, которую можно получить, используя первые <span class="arithmatex">\(i\)</span> предметов и рюкзак вместимости <span class="arithmatex">\(c\)</span></strong>. Ее решение обозначается через <span class="arithmatex">\(dp[i, c]\)</span> .</p>
 <p>Искомым значением является <span class="arithmatex">\(dp[n, cap]\)</span> , значит, нам нужна двумерная таблица <span class="arithmatex">\(dp\)</span> размера <span class="arithmatex">\((n+1) \times (cap+1)\)</span> .</p>
 <p><strong>Шаг 2: найти оптимальную подструктуру и на ее основе вывести уравнение перехода состояния</strong></p>
@@ -4429,7 +4429,7 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
 \]</div>
 <p>Нужно учитывать, что если вес текущего предмета <span class="arithmatex">\(wgt[i - 1]\)</span> превышает оставшуюся вместимость <span class="arithmatex">\(c\)</span> , то предмет можно только не брать.</p>
 <p><strong>Шаг 3: определить граничные условия и порядок переходов</strong></p>
-<p>Когда предметов нет или вместимость рюкзака равна <span class="arithmatex">\(0\)</span> , максимальная стоимость равна <span class="arithmatex">\(0\)</span> ; то есть весь первый столбец <span class="arithmatex">\(dp[i, 0]\)</span> и вся первая строка <span class="arithmatex">\(dp[0, c]\)</span> заполняются нулями.</p>
+<p>Когда предметов нет или вместимость рюкзака равна <span class="arithmatex">\(0\)</span> , максимальная стоимость равна <span class="arithmatex">\(0\)</span>. То есть весь первый столбец <span class="arithmatex">\(dp[i, 0]\)</span> и вся первая строка <span class="arithmatex">\(dp[0, c]\)</span> заполняются нулями.</p>
 <p>Текущее состояние <span class="arithmatex">\([i, c]\)</span> зависит от состояния сверху <span class="arithmatex">\([i-1, c]\)</span> и состояния слева сверху <span class="arithmatex">\([i-1, c-wgt[i-1]]\)</span> , поэтому достаточно двумя вложенными циклами пройти по всей таблице <span class="arithmatex">\(dp\)</span> в прямом порядке.</p>
 <p>После этого анализа реализуем по порядку: полный перебор, поиск с мемоизацией и динамическое программирование.</p>
 <h3 id="1-1">1. &nbsp; Метод 1: полный перебор<a class="headerlink" href="#1-1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
@@ -4699,7 +4699,7 @@ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
 <p><div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dfs%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20i%3A%20int%2C%20c%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A0%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%200-1%3A%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%8B%20%D1%83%D0%B6%D0%B5%20%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BC%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8B%20%D0%B8%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B5%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%8C%20%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%2C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%200%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20or%20c%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B0%2C%20%D0%BC%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%20%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%BE%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%20%D0%B2%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%0A%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%83%D1%8E%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%BB%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B5%D0%B2%2C%20%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%20i%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%83%D1%82%20%D0%B8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%83%D1%82%0A%20%20%20%20no%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20yes%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%29%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%20%D1%81%20%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B5%D0%B9%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E%20%D0%B8%D0%B7%20%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85%20%D0%B2%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D1%85%0A%20%20%20%20return%20max%28no%2C%20yes%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10%2C%2020%2C%2030%2C%2040%2C%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50%2C%20120%2C%20150%2C%20210%2C%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20n%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D0%B1%D0%B5%D0%B7%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B0%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
 <div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dfs%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20i%3A%20int%2C%20c%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A0%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%200-1%3A%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%8B%20%D1%83%D0%B6%D0%B5%20%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BC%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8B%20%D0%B8%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B5%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%8C%20%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%2C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%200%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20or%20c%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B0%2C%20%D0%BC%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%20%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%BE%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%20%D0%B2%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%0A%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%83%D1%8E%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%BB%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B5%D0%B2%2C%20%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%20i%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%83%D1%82%20%D0%B8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%83%D1%82%0A%20%20%20%20no%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20yes%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%29%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%20%D1%81%20%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B5%D0%B9%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E%20%D0%B8%D0%B7%20%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85%20%D0%B2%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D1%85%0A%20%20%20%20return%20max%28no%2C%20yes%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10%2C%2020%2C%2030%2C%2040%2C%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50%2C%20120%2C%20150%2C%20210%2C%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20n%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D0%B1%D0%B5%D0%B7%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B0%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран &gt;</a></div></p>
 </details>
-<p>Как показано на рисунке 14-18, поскольку каждый предмет создает две ветви поиска - "не брать" и "брать", временная сложность равна <span class="arithmatex">\(O(2^n)\)</span> .</p>
+<p>Как показано на рисунке 14-18, поскольку каждый предмет создает две ветви поиска - «не брать» и «брать», временная сложность равна <span class="arithmatex">\(O(2^n)\)</span> .</p>
 <p>Посмотрев на дерево рекурсии, легко заметить наличие перекрывающихся подзадач, например <span class="arithmatex">\(dp[1, 10]\)</span> и подобных. Когда число предметов растет, вместимость рюкзака велика, а особенно когда много предметов с одинаковым весом, количество перекрывающихся подзадач быстро увеличивается.</p>
 <p><img alt="Дерево полного перебора для задачи о рюкзаке 0-1" class="animation-figure" src="../knapsack_problem.assets/knapsack_dfs.png" /></p>
 <p align="center"> Рисунок 14-18 &nbsp; Дерево полного перебора для задачи о рюкзаке 0-1 </p>