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krahets
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-16
@@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
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给定一个二叉树的前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` ，请从中构建二叉树，返回二叉树的根节点。
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<p align="center"> Fig. 构建二叉树的示例数据 </p>
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@@ -31,7 +31,7 @@ comments: true
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2. 查找根节点在 `inorder` 中的索引，基于该索引可将 `inorder` 划分为 `[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]` ；
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3. 根据 `inorder` 划分结果，可得左子树和右子树分别有 1 个和 3 个节点，从而可将 `preorder` 划分为 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` ；
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<p align="center"> Fig. 在前序和中序遍历中划分子树 </p>
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@@ -55,7 +55,7 @@ comments: true
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请注意，右子树根节点索引中的 $(m-l)$ 的含义是“左子树的节点数量”，建议配合下图理解。
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<p align="center"> Fig. 根节点和左右子树的索引区间表示 </p>
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@@ -88,7 +88,7 @@ comments: true
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l: int,
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r: int,
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) -> TreeNode | None:
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"""构建二叉树 DFS"""
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"""构建二叉树：分治"""
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# 子树区间为空时终止
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if r - l < 0:
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return None
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@@ -96,9 +96,9 @@ comments: true
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root = TreeNode(preorder[i])
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# 查询 m ，从而划分左右子树
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m = hmap[preorder[i]]
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# 递归构建左子树
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# 子问题：构建左子树
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root.left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1)
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# 递归构建右子树
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# 子问题：构建右子树
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root.right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r)
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# 返回根节点
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return root
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@@ -178,34 +178,34 @@ comments: true
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下图展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边是在向上“归”的过程中建立的。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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=== "<3>"
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=== "<4>"
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=== "<5>"
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=== "<6>"
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=== "<7>"
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=== "<8>"
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=== "<9>"
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=== "<10>"
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设树的节点数量为 $n$ ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 `dfs()` ）使用 $O(1)$ 时间。**因此总体时间复杂度为 $O(n)$** 。
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@@ -2,7 +2,7 @@
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comments: true
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# 12.1. 分治
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# 12.1. 分治算法
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「分治 Divide and Conquer」，全称分而治之，是一种非常重要的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两部分，主要步骤如下：
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@@ -0,0 +1,225 @@
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comments: true
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# 12.3. 汉诺塔问题
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在归并排序和构建二叉树中，我们将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而，对于即将介绍的汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。
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!!! question
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给定三根柱子，记为 `A` , `B` , `C` 。起始状态下，柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则：
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1. 圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入；
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2. 每次只能移动一个圆盘；
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3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上；
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<p align="center"> Fig. 汉诺塔问题示例 </p>
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在本文中，**我们将规模为 $i$ 的汉诺塔问题记做 $f(i)$** 。例如 $f(3)$ 代表将 $3$ 个圆盘从 `A` 移动至 `C` 的汉诺塔问题。
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先考虑最简单的情况：对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，则将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 `B` 来完成移动**，包括三步：
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1. 先将上面的小圆盘从 `A` 移至 `B` ；
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2. 再将大圆盘从 `A` 移至 `C` ；
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3. 最后将小圆盘从 `B` 移至 `C` ；
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如下图所示，对于小圆盘的移动，**我们称 `C` 为目标柱、`B` 为缓冲柱**。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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=== "<3>"
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=== "<4>"
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对于问题 $f(3)$ ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。由于已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，我们可以从分治角度思考，**将 `A` 顶部的两个圆盘看做一个整体**，并执行以下步骤：
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1. 令 `B` 为目标柱、`C` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `A` 移动至 `B` ；
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2. 将 `A` 中剩余的一个圆盘从 `A` 移动至 `C` ；
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3. 令 `C` 为目标柱、`A` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `B` 移动至 `C` ；
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这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移动至 `C` 了。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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=== "<3>"
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=== "<4>"
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本质上看，我们将问题 $f(3)$ 划分为两个子问题 $f(2)$ 和子问题 $f(1)$。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。**以上分析说明了子问题的独立性，以及解是可以合并的**。
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至此，我们可总结出汉诺塔问题的分治策略：**将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$** 。子问题的解决顺序为：
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1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `C` 从 `A` 移至 `B` ；
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2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 `A` 直接移至 `C` ；
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3. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `A` 从 `B` 移至 `C` ；
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并且，对于这两个子问题 $f(n-1)$ ，**可以通过相同的方式进行递归划分**，直至达到最小子问题 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的，只需一次移动操作即可。
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<p align="center"> Fig. 汉诺塔问题的分治策略 </p>
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在代码实现中，我们声明一个递归函数 `dfs(i, src, buf, tar)` ，它的作用是将柱 `src` 顶部的 $i$ 个圆盘借助缓冲柱 `buf` 移动至目标柱 `tar` 。
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=== "Java"
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```java title="hanota.java"
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[class]{hanota}-[func]{move}
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[class]{hanota}-[func]{dfs}
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[class]{hanota}-[func]{hanota}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="hanota.cpp"
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[class]{}-[func]{move}
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[class]{}-[func]{dfs}
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[class]{}-[func]{hanota}
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```
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=== "Python"
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```python title="hanota.py"
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def move(src: list[int], tar: list[int]):
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"""移动一个圆盘"""
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# 从 src 顶部拿出一个圆盘
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pan = src.pop()
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# 将圆盘放入 tar 顶部
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tar.append(pan)
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def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]):
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"""求解汉诺塔：问题 f(i)"""
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# 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
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if i == 1:
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move(src, tar)
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return
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# 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
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dfs(i - 1, src, tar, buf)
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# 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
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move(src, tar)
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# 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
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dfs(i - 1, buf, src, tar)
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def hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]):
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"""求解汉诺塔"""
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n = len(A)
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# 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
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dfs(n, A, B, C)
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```
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=== "Go"
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```go title="hanota.go"
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[class]{}-[func]{move}
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[class]{}-[func]{dfs}
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[class]{}-[func]{hanota}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="hanota.js"
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[class]{}-[func]{move}
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[class]{}-[func]{dfs}
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[class]{}-[func]{hanota}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="hanota.ts"
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[class]{}-[func]{move}
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[class]{}-[func]{dfs}
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[class]{}-[func]{hanota}
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```
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=== "C"
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```c title="hanota.c"
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[class]{}-[func]{move}
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[class]{}-[func]{dfs}
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[class]{}-[func]{hanota}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="hanota.cs"
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[class]{hanota}-[func]{move}
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[class]{hanota}-[func]{dfs}
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[class]{hanota}-[func]{hanota}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="hanota.swift"
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[class]{}-[func]{move}
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[class]{}-[func]{dfs}
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[class]{}-[func]{hanota}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="hanota.zig"
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[class]{}-[func]{move}
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[class]{}-[func]{dfs}
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[class]{}-[func]{hanota}
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```
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=== "Dart"
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```dart title="hanota.dart"
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[class]{}-[func]{move}
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[class]{}-[func]{dfs}
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[class]{}-[func]{hanota}
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```
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如下图所示，汉诺塔问题形成一个高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 `dfs()` 函数，**因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$** 。
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<p align="center"> Fig. 汉诺塔问题的递归树 </p>
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有趣的是，汉诺塔问题源自一种古老的传说故事。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 $64$ 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动原盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。
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然而根据以上分析，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ 秒，合约 $5850$ 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。
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