Merge the chapter of binary tree and searching.

docs/chapter_searching/binary_search.md

@@ -0,0 +1,196 @@
+# 二分查找
+
+「二分查找 Binary Search」是一种基于分治思想的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮减少一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。
+
+我们先来求解一个简单的二分查找问题。
+
+!!! question "给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列。查找并返回元素 `target` 在该数组中的索引。若数组中不包含该元素，则返回 $-1$ 。数组中不包含重复元素。"
+
+该数组的索引范围可以使用区间 $[0, n - 1]$ 来表示。其中，**中括号表示“闭区间”，即包含边界值本身**。在该表示下，区间 $[i, j]$ 在 $i = j$ 时仍包含一个元素，在 $i > j$ 时为空区间。
+
+接下来，我们基于上述区间定义实现二分查找。先初始化指针 $i = 0$ 和 $j = n - 1$ ，分别指向数组首元素和尾元素。之后循环执行以下两个步骤:
+
+1. 计算中点索引 $m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor$ ，其中 $\lfloor \space \rfloor$ 表示向下取整操作。
+2. 根据 `nums[m]` 和 `target` 缩小搜索区间，分为三种情况：
+    1. 当 `nums[m] < target` 时，说明 `target` 在区间 $[m + 1, j]$ 中，因此执行 $i = m + 1$ ；
+    2. 当 `nums[m] > target` 时，说明 `target` 在区间 $[i, m - 1]$ 中，因此执行 $j = m - 1$ ；
+    3. 当 `nums[m] = target` 时，说明找到目标元素，直接返回索引 $m$ 即可；
+
+**若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空**，即达到 $i > j$ 。此时，终止循环并返回 $-1$ 即可。
+
+如下图所示，为了更清晰地表示区间，我们以折线图的形式表示数组。
+
+=== "<0>"
+    ![二分查找步骤](binary_search.assets/binary_search_step0.png)
+
+=== "<1>"
+    ![binary_search_step1](binary_search.assets/binary_search_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![binary_search_step2](binary_search.assets/binary_search_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![binary_search_step3](binary_search.assets/binary_search_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![binary_search_step4](binary_search.assets/binary_search_step4.png)
+
+=== "<5>"
+    ![binary_search_step5](binary_search.assets/binary_search_step5.png)
+
+=== "<6>"
+    ![binary_search_step6](binary_search.assets/binary_search_step6.png)
+
+=== "<7>"
+    ![binary_search_step7](binary_search.assets/binary_search_step7.png)
+
+值得注意的是，**当数组长度 $n$ 很大时，加法 $i + j$ 的结果可能会超出 `int` 类型的取值范围**。为了避免大数越界，我们通常采用公式 $m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor$ 来计算中点。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_search.java"
+    [class]{binary_search}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_search.cpp"
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_search.py"
+    [class]{}-[func]{binary_search}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_search.go"
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="binary_search.js"
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="binary_search.ts"
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_search.c"
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_search.cs"
+    [class]{binary_search}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_search.swift"
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_search.zig"
+    [class]{}-[func]{binarySearch}
+    ```
+
+时间复杂度为 $O(\log n)$ 。每轮缩小一半区间，因此二分循环次数为 $\log_2 n$ 。
+
+空间复杂度为 $O(1)$  。指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。
+
+## 区间表示方法
+
+除了上述的双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 $[0, n)$ ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 $[i, j]$ 在 $i = j$ 时为空。
+
+我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_search.java"
+    [class]{binary_search}-[func]{binarySearchLCRO}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_search.cpp"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_search.py"
+    [class]{}-[func]{binary_search_lcro}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_search.go"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="binary_search.js"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="binary_search.ts"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_search.c"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_search.cs"
+    [class]{binary_search}-[func]{binarySearchLCRO}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_search.swift"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_search.zig"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
+    ```
+
+如下图所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。
+
+在“双闭区间”表示法中，由于左右边界都被定义为闭区间，因此指针 $i$ 和 $j$ 缩小区间操作也是对称的。这样更不容易出错。因此，**我们通常采用“双闭区间”的写法**。
+
+![两种区间定义](binary_search.assets/binary_search_ranges.png)
+
+## 优点与局限性
+
+二分查找在时间和空间方面都有较好的性能：
+
+- **二分查找的时间效率高**。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如，当数据大小 $n = 2^{20}$ 时，线性查找需要 $2^{20} = 1048576$ 轮循环，而二分查找仅需 $\log_2 2^{20} = 20$ 轮循环。
+- **二分查找无需额外空间**。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。
+
+然而，二分查找并非适用于所有情况，原因如下：
+
+- **二分查找仅适用于有序数据**。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 $O(n)$ ，也是非常昂贵的。
+- **二分查找仅适用于数组**。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
+- **小数据量下，线性查找性能更佳**。在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 $n$ 较小时，线性查找反而比二分查找更快。

docs/chapter_searching/binary_search_edge.md

@@ -0,0 +1,182 @@
+# 二分查找边界
+
+上一节规定目标元素在数组中是唯一的。如果目标元素在数组中多次出现，上节介绍的方法只能保证返回其中一个目标元素的索引，**而无法确定该索引的左边和右边还有多少目标元素**。
+
+为了查找最左一个 `target` ，我们可以先进行二分查找，找到任意一个目标元素，**再加一个向左遍历的线性查找**，找到最左的 `target` 返回即可。然而，由于加入了线性查找，这个方法的时间复杂度可能会劣化至 $O(n)$ 。
+
+![线性查找最左元素](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_naive.png)
+
+## 查找最左一个元素
+
+!!! question "查找并返回元素 `target` 在有序数组 `nums` 中首次出现的索引。若数组中不包含该元素，则返回 $-1$ 。数组可能包含重复元素。"
+
+实际上，我们可以仅通过二分查找解决以上问题。方法的整体框架不变，先计算中点索引 `m` ，再判断 `target` 和 `nums[m]` 大小关系：
+
+- 当 `nums[m] < target` 或 `nums[m] > target` 时，说明还没有找到 `target` ，因此采取与上节代码相同的缩小区间操作。
+- 当 `nums[m] == target` 时，说明找到了一个目标元素，此时应该如何缩小区间？
+
+对于该情况，**我们可以将查找目标想象为 `leftarget`**，其中 `leftarget` 表示从右到左首个小于 `target` 的元素。具体来说：
+
+- 当 `nums[m] == target` 时，说明 `leftarget` 在区间 `[i, m - 1]` 中，因此采用 `j = m - 1` 来缩小区间，**从而使指针 `j` 向 `leftarget` 收缩靠近**。
+- 二分查找完成后，`i` 指向最左一个 `target` ，`j` 指向 `leftarget` ，因此最终返回索引 `i` 即可。
+
+=== "<1>"
+    ![二分查找最左元素的步骤](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![binary_search_left_edge_step2](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![binary_search_left_edge_step3](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![binary_search_left_edge_step4](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step4.png)
+
+=== "<5>"
+    ![binary_search_left_edge_step5](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step5.png)
+
+=== "<6>"
+    ![binary_search_left_edge_step6](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step6.png)
+
+=== "<7>"
+    ![binary_search_left_edge_step7](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step7.png)
+
+=== "<8>"
+    ![binary_search_left_edge_step8](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step8.png)
+
+注意，数组可能不包含目标元素 `target` 。因此在函数返回前，我们需要先判断 `nums[i]` 与 `target` 是否相等。另外，当 `target` 大于数组中的所有元素时，索引 `i` 会越界，因此也需要额外判断。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_search_edge.java"
+    [class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchLeftEdge}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_search_edge.cpp"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_search_edge.py"
+    [class]{}-[func]{binary_search_left_edge}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_search_edge.go"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="binary_search_edge.js"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="binary_search_edge.ts"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_search_edge.c"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_search_edge.cs"
+    [class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchLeftEdge}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_search_edge.swift"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_search_edge.zig"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
+    ```
+
+## 查找最右一个元素
+
+类似地，我们也可以二分查找最右一个元素。设首个大于 `target` 的元素为 `rightarget` 。
+
+- 当 `nums[m] == target` 时，说明 `rightarget` 在区间 `[m + 1, j]` 中，因此执行 `i = m + 1` 将搜索区间向右收缩。
+- 完成二分后，`i` 指向 `rightarget` ，`j` 指向最右一个 `target` ，因此最终返回索引 `j` 即可。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_search_edge.java"
+    [class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchRightEdge}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_search_edge.cpp"
+    [class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_search_edge.py"
+    [class]{}-[func]{binary_search_right_edge}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_search_edge.go"
+    [class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="binary_search_edge.js"
+    [class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="binary_search_edge.ts"
+    [class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_search_edge.c"
+    [class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_search_edge.cs"
+    [class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchRightEdge}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_search_edge.swift"
+    [class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_search_edge.zig"
+    [class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
+    ```
+
+观察下图，搜索最右元素时指针 `j` 起到了搜索最左元素时指针 `i` 的作用，反之亦然。本质上看，**搜索最左元素和最右元素的实现是镜像对称的**。
+
+![二分查找最左元素和最右元素](binary_search_edge.assets/binary_search_left_right_edge.png)
+
+!!! tip
+
+    以上代码采取的都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。