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This commit is contained in:
Yudong Jin
+141
-137
@@ -1,64 +1,64 @@
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# ヒープ
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<u>ヒープ</u>は特定の条件を満たす完備二分木で、主に次の2つのタイプに分類されます（下図参照）。
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<u>ヒープ（heap）</u>は、特定の条件を満たす完全二分木であり、主に次の 2 種類に分けられます。
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- <u>最小ヒープ</u>：任意のノードの値 $\leq$ その子ノードの値。
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- <u>最大ヒープ</u>：任意のノードの値 $\geq$ その子ノードの値。
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- <u>最小ヒープ（min heap）</u>：任意のノードの値 $\leq$ その子ノードの値。
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- <u>最大ヒープ（max heap）</u>：任意のノードの値 $\geq$ その子ノードの値。
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完備二分木の特別なケースとして、ヒープには以下の特性があります：
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ヒープは完全二分木の特殊な例であり、次の性質を持ちます。
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- 最下位層のノードは左から右に埋められ、他の層のノードは完全に埋められています。
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- 二分木の根ノードをヒープの「先頭」と呼び、最も右下のノードをヒープの「末尾」と呼びます。
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- 最大ヒープ（最小ヒープ）の場合、先頭要素（根）の値はすべての要素の中で最大（最小）です。
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- 最下層のノードは左から順に埋められ、ほかの層のノードはすべて埋まっています。
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- 二分木の根ノードを「ヒープ頂点」、最下層で最も右にあるノードを「ヒープ底」と呼びます。
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- 最大ヒープ（最小ヒープ）では、ヒープ頂点の要素（根ノード）の値が最大（最小）です。
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## ヒープの一般的な操作
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## ヒープの基本操作
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多くのプログラミング言語が<u>優先度キュー</u>を提供していることに注意してください。これは優先度付きソートを持つキューとして定義される抽象データ構造です。
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ここで注意したいのは、多くのプログラミング言語が提供しているのは<u>優先度付きキュー（priority queue）</u>であり、これは優先度順に並ぶキューとして定義される抽象データ構造だということです。
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実際には、**ヒープは優先度キューを実装するためによく使用されます。最大ヒープは、要素が降順でデキューされる優先度キューに対応します**。使用の観点から、「優先度キュー」と「ヒープ」を同等のデータ構造と考えることができます。したがって、この本では両者を特別に区別せず、統一して「ヒープ」と呼びます。
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||||
実際には、**ヒープは通常、優先度付きキューの実装に用いられ、最大ヒープは要素が大きい順に取り出される優先度付きキューに相当します**。利用の観点では、「優先度付きキュー」と「ヒープ」は等価なデータ構造とみなせます。そのため、本書では両者を特に区別せず、まとめて「ヒープ」と呼びます。
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ヒープの一般的な操作を下表に示します。メソッド名はプログラミング言語によって異なる場合があります。
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ヒープの基本操作を以下の表に示します。メソッド名はプログラミング言語によって異なります。
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<p align="center"> 表 <id> ヒープ操作の効率 </p>
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<p align="center"> 表 <id> ヒープの操作効率 </p>
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| メソッド名 | 説明 | 時間計算量 |
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| ----------- | ------------------------------------------------- | ----------- |
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| `push()` | ヒープに要素を追加 | $O(\log n)$ |
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| `pop()` | ヒープから先頭要素を削除 | $O(\log n)$ |
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| `peek()` | 先頭要素にアクセス（最大/最小ヒープの場合、最大/最小値） | $O(1)$ |
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| `size()` | ヒープ内の要素数を取得 | $O(1)$ |
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| `isEmpty()` | ヒープが空かどうかをチェック | $O(1)$ |
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| メソッド名 | 説明 | 時間計算量 |
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| ----------- | ------------------------------------------------ | ----------- |
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||||
| `push()` | 要素をヒープに追加 | $O(\log n)$ |
|
||||
| `pop()` | ヒープ頂点の要素を取り出す | $O(\log n)$ |
|
||||
| `peek()` | ヒープ頂点の要素にアクセス（最大 / 最小ヒープではそれぞれ最大 / 最小値） | $O(1)$ |
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||||
| `size()` | ヒープ内の要素数を取得 | $O(1)$ |
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| `isEmpty()` | ヒープが空かどうかを判定 | $O(1)$ |
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実際には、プログラミング言語によって提供されるヒープクラス（または優先度キュークラス）を直接使用できます。
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||||
実際の応用では、プログラミング言語が提供するヒープクラス（または優先度付きキュークラス）をそのまま使えます。
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ソートアルゴリズムで「昇順」と「降順」があるように、`flag`を設定するか`Comparator`を変更することで「最小ヒープ」と「最大ヒープ」を切り替えることができます。コードは以下の通りです：
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ソートアルゴリズムにおける「昇順」と「降順」と同様に、`flag` を設定したり `Comparator` を変更したりすることで、「最小ヒープ」と「最大ヒープ」を切り替えられます。コードは以下のとおりです：
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=== "Python"
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```python title="heap.py"
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# 最小ヒープの初期化
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||||
# 最小ヒープを初期化
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min_heap, flag = [], 1
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# 最大ヒープの初期化
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||||
# 最大ヒープを初期化
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max_heap, flag = [], -1
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# Pythonのheapqモジュールはデフォルトで最小ヒープを実装
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# 要素をヒープにプッシュする前に負の値にすることで、順序を反転させ、最大ヒープを実装
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# この例では、flag = 1は最小ヒープに対応し、flag = -1は最大ヒープに対応
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# Python の heapq モジュールはデフォルトで最小ヒープを実装している
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||||
# 「要素を負にして」からヒープに追加すると、大小関係を反転させて最大ヒープを実現できる
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# この例では、flag = 1 のときは最小ヒープ、flag = -1 のときは最大ヒープに対応する
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# ヒープに要素をプッシュ
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# 要素をヒープに追加
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||||
heapq.heappush(max_heap, flag * 1)
|
||||
heapq.heappush(max_heap, flag * 3)
|
||||
heapq.heappush(max_heap, flag * 2)
|
||||
heapq.heappush(max_heap, flag * 5)
|
||||
heapq.heappush(max_heap, flag * 4)
|
||||
|
||||
# ヒープの先頭要素を取得
|
||||
# ヒープ頂点の要素を取得
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||||
peek: int = flag * max_heap[0] # 5
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||||
# ヒープの先頭要素をポップ
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||||
# ポップされた要素は降順のシーケンスを形成
|
||||
# ヒープ頂点の要素を取り出す
|
||||
# 取り出された要素は大きい順の列になる
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||||
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 5
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||||
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 4
|
||||
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 3
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||||
@@ -68,10 +68,10 @@
|
||||
# ヒープのサイズを取得
|
||||
size: int = len(max_heap)
|
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|
||||
# ヒープが空かどうかをチェック
|
||||
# ヒープが空かどうかを判定
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||||
is_empty: bool = not max_heap
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||||
# リストからヒープを作成
|
||||
# 入力リストからヒープを構築
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||||
min_heap: list[int] = [1, 3, 2, 5, 4]
|
||||
heapq.heapify(min_heap)
|
||||
```
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||||
@@ -79,24 +79,24 @@
|
||||
=== "C++"
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||||
|
||||
```cpp title="heap.cpp"
|
||||
/* ヒープの初期化 */
|
||||
// 最小ヒープの初期化
|
||||
/* ヒープを初期化 */
|
||||
// 最小ヒープを初期化
|
||||
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
|
||||
// 最大ヒープの初期化
|
||||
// 最大ヒープを初期化
|
||||
priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;
|
||||
|
||||
/* ヒープに要素をプッシュ */
|
||||
/* 要素をヒープに追加 */
|
||||
maxHeap.push(1);
|
||||
maxHeap.push(3);
|
||||
maxHeap.push(2);
|
||||
maxHeap.push(5);
|
||||
maxHeap.push(4);
|
||||
|
||||
/* ヒープの先頭要素を取得 */
|
||||
/* ヒープ頂点の要素を取得 */
|
||||
int peek = maxHeap.top(); // 5
|
||||
|
||||
/* ヒープの先頭要素をポップ */
|
||||
// ポップされた要素は降順のシーケンスを形成
|
||||
/* ヒープ頂点の要素を取り出す */
|
||||
// 取り出された要素は大きい順の列になる
|
||||
maxHeap.pop(); // 5
|
||||
maxHeap.pop(); // 4
|
||||
maxHeap.pop(); // 3
|
||||
@@ -106,10 +106,10 @@
|
||||
/* ヒープのサイズを取得 */
|
||||
int size = maxHeap.size();
|
||||
|
||||
/* ヒープが空かどうかをチェック */
|
||||
/* ヒープが空かどうかを判定 */
|
||||
bool isEmpty = maxHeap.empty();
|
||||
|
||||
/* リストからヒープを作成 */
|
||||
/* 入力リストからヒープを構築 */
|
||||
vector<int> input{1, 3, 2, 5, 4};
|
||||
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());
|
||||
```
|
||||
@@ -117,24 +117,24 @@
|
||||
=== "Java"
|
||||
|
||||
```java title="heap.java"
|
||||
/* ヒープの初期化 */
|
||||
// 最小ヒープの初期化
|
||||
/* ヒープを初期化 */
|
||||
// 最小ヒープを初期化
|
||||
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
|
||||
// 最大ヒープの初期化（ラムダ式でComparatorを変更するだけ）
|
||||
// 最大ヒープを初期化（lambda 式で Comparator を変更すればよい）
|
||||
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);
|
||||
|
||||
/* ヒープに要素をプッシュ */
|
||||
/* 要素をヒープに追加 */
|
||||
maxHeap.offer(1);
|
||||
maxHeap.offer(3);
|
||||
maxHeap.offer(2);
|
||||
maxHeap.offer(5);
|
||||
maxHeap.offer(4);
|
||||
|
||||
/* ヒープの先頭要素を取得 */
|
||||
/* ヒープ頂点の要素を取得 */
|
||||
int peek = maxHeap.peek(); // 5
|
||||
|
||||
/* ヒープの先頭要素をポップ */
|
||||
// ポップされた要素は降順のシーケンスを形成
|
||||
/* ヒープ頂点の要素を取り出す */
|
||||
// 取り出された要素は大きい順の列になる
|
||||
peek = maxHeap.poll(); // 5
|
||||
peek = maxHeap.poll(); // 4
|
||||
peek = maxHeap.poll(); // 3
|
||||
@@ -144,34 +144,34 @@
|
||||
/* ヒープのサイズを取得 */
|
||||
int size = maxHeap.size();
|
||||
|
||||
/* ヒープが空かどうかをチェック */
|
||||
/* ヒープが空かどうかを判定 */
|
||||
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();
|
||||
|
||||
/* リストからヒープを作成 */
|
||||
/* 入力リストからヒープを構築 */
|
||||
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "C#"
|
||||
|
||||
```csharp title="heap.cs"
|
||||
/* ヒープの初期化 */
|
||||
// 最小ヒープの初期化
|
||||
/* ヒープを初期化 */
|
||||
// 最小ヒープを初期化
|
||||
PriorityQueue<int, int> minHeap = new();
|
||||
// 最大ヒープの初期化（ラムダ式でComparatorを変更するだけ）
|
||||
PriorityQueue<int, int> maxHeap = new(Comparer<int>.Create((x, y) => y - x));
|
||||
// 最大ヒープを初期化（lambda 式で Comparer を変更すればよい）
|
||||
PriorityQueue<int, int> maxHeap = new(Comparer<int>.Create((x, y) => y.CompareTo(x)));
|
||||
|
||||
/* ヒープに要素をプッシュ */
|
||||
/* 要素をヒープに追加 */
|
||||
maxHeap.Enqueue(1, 1);
|
||||
maxHeap.Enqueue(3, 3);
|
||||
maxHeap.Enqueue(2, 2);
|
||||
maxHeap.Enqueue(5, 5);
|
||||
maxHeap.Enqueue(4, 4);
|
||||
|
||||
/* ヒープの先頭要素を取得 */
|
||||
/* ヒープ頂点の要素を取得 */
|
||||
int peek = maxHeap.Peek();//5
|
||||
|
||||
/* ヒープの先頭要素をポップ */
|
||||
// ポップされた要素は降順のシーケンスを形成
|
||||
/* ヒープ頂点の要素を取り出す */
|
||||
// 取り出された要素は大きい順の列になる
|
||||
peek = maxHeap.Dequeue(); // 5
|
||||
peek = maxHeap.Dequeue(); // 4
|
||||
peek = maxHeap.Dequeue(); // 3
|
||||
@@ -181,76 +181,76 @@
|
||||
/* ヒープのサイズを取得 */
|
||||
int size = maxHeap.Count;
|
||||
|
||||
/* ヒープが空かどうかをチェック */
|
||||
/* ヒープが空かどうかを判定 */
|
||||
bool isEmpty = maxHeap.Count == 0;
|
||||
|
||||
/* リストからヒープを作成 */
|
||||
/* 入力リストからヒープを構築 */
|
||||
minHeap = new PriorityQueue<int, int>([(1, 1), (3, 3), (2, 2), (5, 5), (4, 4)]);
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Go"
|
||||
|
||||
```go title="heap.go"
|
||||
// Goでは、heap.Interfaceを実装することで整数の最大ヒープを構築できます
|
||||
// heap.Interfaceを実装するには、sort.Interfaceも実装する必要があります
|
||||
// Go では、heap.Interface を実装することで整数の最大ヒープを構築できる
|
||||
// heap.Interface を実装するには、同時に sort.Interface も実装する必要がある
|
||||
type intHeap []any
|
||||
|
||||
// heap.InterfaceのPushメソッド、要素をヒープにプッシュ
|
||||
// Push は heap.Interface のメソッドで、要素をヒープに追加する
|
||||
func (h *intHeap) Push(x any) {
|
||||
// PushとPopの両方でポインタレシーバーを使用
|
||||
// スライスの要素を調整するだけでなく、その長さも変更するため
|
||||
// Push と Pop は pointer receiver を引数に取る
|
||||
// スライスの内容を調整するだけでなく、スライスの長さも変更するため。
|
||||
*h = append(*h, x.(int))
|
||||
}
|
||||
|
||||
// heap.InterfaceのPopメソッド、ヒープの先頭要素を削除
|
||||
// Pop は heap.Interface のメソッドで、ヒープ頂点の要素を取り出す
|
||||
func (h *intHeap) Pop() any {
|
||||
// ヒープからポップする要素は末尾に格納
|
||||
// 取り出す要素は末尾に格納されている
|
||||
last := (*h)[len(*h)-1]
|
||||
*h = (*h)[:len(*h)-1]
|
||||
return last
|
||||
}
|
||||
|
||||
// sort.InterfaceのLenメソッド
|
||||
// Len は sort.Interface のメソッド
|
||||
func (h *intHeap) Len() int {
|
||||
return len(*h)
|
||||
}
|
||||
|
||||
// sort.InterfaceのLessメソッド
|
||||
// Less は sort.Interface のメソッド
|
||||
func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {
|
||||
// 最小ヒープを実装したい場合は、これを小なり比較に変更
|
||||
// 最小ヒープを実装する場合は、不等号を小なりに変更する
|
||||
return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)
|
||||
}
|
||||
|
||||
// sort.InterfaceのSwapメソッド
|
||||
// Swap は sort.Interface のメソッド
|
||||
func (h *intHeap) Swap(i, j int) {
|
||||
(*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]
|
||||
}
|
||||
|
||||
// Top ヒープの先頭要素を取得
|
||||
// Top はヒープ頂点の要素を取得
|
||||
func (h *intHeap) Top() any {
|
||||
return (*h)[0]
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* ドライバーコード */
|
||||
/* Driver Code */
|
||||
func TestHeap(t *testing.T) {
|
||||
/* ヒープの初期化 */
|
||||
// 最大ヒープの初期化
|
||||
/* ヒープを初期化 */
|
||||
// 最大ヒープを初期化
|
||||
maxHeap := &intHeap{}
|
||||
heap.Init(maxHeap)
|
||||
/* ヒープに要素をプッシュ */
|
||||
// heap.Interfaceのメソッドを呼び出して要素を追加
|
||||
/* 要素をヒープに追加 */
|
||||
// heap.Interface のメソッドを呼び出して要素を追加する
|
||||
heap.Push(maxHeap, 1)
|
||||
heap.Push(maxHeap, 3)
|
||||
heap.Push(maxHeap, 2)
|
||||
heap.Push(maxHeap, 4)
|
||||
heap.Push(maxHeap, 5)
|
||||
|
||||
/* ヒープの先頭要素を取得 */
|
||||
/* ヒープ頂点の要素を取得 */
|
||||
top := maxHeap.Top()
|
||||
fmt.Printf("ヒープの先頭要素は %d\n", top)
|
||||
fmt.Printf("ヒープ頂点の要素は %d\n", top)
|
||||
|
||||
/* ヒープの先頭要素をポップ */
|
||||
// heap.Interfaceのメソッドを呼び出して要素を削除
|
||||
/* ヒープ頂点の要素を取り出す */
|
||||
// heap.Interface のメソッドを呼び出して要素を削除する
|
||||
heap.Pop(maxHeap) // 5
|
||||
heap.Pop(maxHeap) // 4
|
||||
heap.Pop(maxHeap) // 3
|
||||
@@ -261,30 +261,30 @@
|
||||
size := len(*maxHeap)
|
||||
fmt.Printf("ヒープ内の要素数は %d\n", size)
|
||||
|
||||
/* ヒープが空かどうかをチェック */
|
||||
/* ヒープが空かどうかを判定 */
|
||||
isEmpty := len(*maxHeap) == 0
|
||||
fmt.Printf("ヒープは空ですか？ %t\n", isEmpty)
|
||||
fmt.Printf("ヒープは空か %t\n", isEmpty)
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Swift"
|
||||
|
||||
```swift title="heap.swift"
|
||||
/* ヒープの初期化 */
|
||||
// SwiftのHeap型は最大ヒープと最小ヒープの両方をサポートし、swift-collectionsライブラリが必要
|
||||
/* ヒープを初期化 */
|
||||
// Swift の Heap 型は最大ヒープと最小ヒープの両方をサポートしており、swift-collections の導入が必要
|
||||
var heap = Heap<Int>()
|
||||
|
||||
/* ヒープに要素をプッシュ */
|
||||
/* 要素をヒープに追加 */
|
||||
heap.insert(1)
|
||||
heap.insert(3)
|
||||
heap.insert(2)
|
||||
heap.insert(5)
|
||||
heap.insert(4)
|
||||
|
||||
/* ヒープの先頭要素を取得 */
|
||||
/* ヒープ頂点の要素を取得 */
|
||||
var peek = heap.max()!
|
||||
|
||||
/* ヒープの先頭要素をポップ */
|
||||
/* ヒープ頂点の要素を取り出す */
|
||||
peek = heap.removeMax() // 5
|
||||
peek = heap.removeMax() // 4
|
||||
peek = heap.removeMax() // 3
|
||||
@@ -294,29 +294,29 @@
|
||||
/* ヒープのサイズを取得 */
|
||||
let size = heap.count
|
||||
|
||||
/* ヒープが空かどうかをチェック */
|
||||
/* ヒープが空かどうかを判定 */
|
||||
let isEmpty = heap.isEmpty
|
||||
|
||||
/* リストからヒープを作成 */
|
||||
/* 入力リストからヒープを構築 */
|
||||
let heap2 = Heap([1, 3, 2, 5, 4])
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "JS"
|
||||
|
||||
```javascript title="heap.js"
|
||||
// JavaScriptは組み込みのHeapクラスを提供していません
|
||||
// JavaScript には組み込みの Heap クラスがない
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "TS"
|
||||
|
||||
```typescript title="heap.ts"
|
||||
// TypeScriptは組み込みのHeapクラスを提供していません
|
||||
// TypeScript には組み込みの Heap クラスがない
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Dart"
|
||||
|
||||
```dart title="heap.dart"
|
||||
// Dartは組み込みのHeapクラスを提供していません
|
||||
// Dart には組み込みの Heap クラスがない
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Rust"
|
||||
@@ -325,24 +325,24 @@
|
||||
use std::collections::BinaryHeap;
|
||||
use std::cmp::Reverse;
|
||||
|
||||
/* ヒープの初期化 */
|
||||
// 最小ヒープの初期化
|
||||
/* ヒープを初期化 */
|
||||
// 最小ヒープを初期化
|
||||
let mut min_heap = BinaryHeap::<Reverse<i32>>::new();
|
||||
// 最大ヒープの初期化
|
||||
// 最大ヒープを初期化
|
||||
let mut max_heap = BinaryHeap::new();
|
||||
|
||||
/* ヒープに要素をプッシュ */
|
||||
/* 要素をヒープに追加 */
|
||||
max_heap.push(1);
|
||||
max_heap.push(3);
|
||||
max_heap.push(2);
|
||||
max_heap.push(5);
|
||||
max_heap.push(4);
|
||||
|
||||
/* ヒープの先頭要素を取得 */
|
||||
/* ヒープ頂点の要素を取得 */
|
||||
let peek = max_heap.peek().unwrap(); // 5
|
||||
|
||||
/* ヒープの先頭要素をポップ */
|
||||
// ポップされた要素は降順のシーケンスを形成
|
||||
/* ヒープ頂点の要素を取り出す */
|
||||
// 取り出された要素は大きい順の列になる
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||||
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 5
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||||
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 4
|
||||
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 3
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||||
@@ -352,40 +352,40 @@
|
||||
/* ヒープのサイズを取得 */
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||||
let size = max_heap.len();
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||||
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||||
/* ヒープが空かどうかをチェック */
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||||
/* ヒープが空かどうかを判定 */
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||||
let is_empty = max_heap.is_empty();
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||||
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||||
/* リストからヒープを作成 */
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||||
/* 入力リストからヒープを構築 */
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||||
let min_heap = BinaryHeap::from(vec![Reverse(1), Reverse(3), Reverse(2), Reverse(5), Reverse(4)]);
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```
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=== "C"
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```c title="heap.c"
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// Cは組み込みのHeapクラスを提供していません
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// C には組み込みの Heap クラスがない
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```
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=== "Kotlin"
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```kotlin title="heap.kt"
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||||
/* ヒープの初期化 */
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// 最小ヒープの初期化
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/* ヒープを初期化 */
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||||
// 最小ヒープを初期化
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var minHeap = PriorityQueue<Int>()
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||||
// 最大ヒープの初期化（ラムダ式でComparatorを変更するだけ）
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||||
// 最大ヒープを初期化（lambda 式で Comparator を変更すればよい）
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||||
val maxHeap = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a }
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||||
/* ヒープに要素をプッシュ */
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/* 要素をヒープに追加 */
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maxHeap.offer(1)
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maxHeap.offer(3)
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||||
maxHeap.offer(2)
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maxHeap.offer(5)
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maxHeap.offer(4)
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||||
/* ヒープの先頭要素を取得 */
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||||
/* ヒープ頂点の要素を取得 */
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var peek = maxHeap.peek() // 5
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||||
/* ヒープの先頭要素をポップ */
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||||
// ポップされた要素は降順のシーケンスを形成
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||||
/* ヒープ頂点の要素を取り出す */
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||||
// 取り出された要素は大きい順の列になる
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||||
peek = maxHeap.poll() // 5
|
||||
peek = maxHeap.poll() // 4
|
||||
peek = maxHeap.poll() // 3
|
||||
@@ -395,55 +395,59 @@
|
||||
/* ヒープのサイズを取得 */
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||||
val size = maxHeap.size
|
||||
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||||
/* ヒープが空かどうかをチェック */
|
||||
/* ヒープが空かどうかを判定 */
|
||||
val isEmpty = maxHeap.isEmpty()
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||||
|
||||
/* リストからヒープを作成 */
|
||||
/* 入力リストからヒープを構築 */
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||||
minHeap = PriorityQueue(mutableListOf(1, 3, 2, 5, 4))
|
||||
```
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=== "Ruby"
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```ruby title="heap.rb"
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# Ruby には組み込みの Heap クラスがない
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```
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??? pythontutor "実行を可視化"
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https://pythontutor.com/render.html#code=import%20heapq%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%B0%8F%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20min_heap,%20flag%20%3D%20%5B%5D,%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20max_heap,%20flag%20%3D%20%5B%5D,%20-1%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20Python%20%E7%9A%84%20heapq%20%E6%A8%A1%E5%9D%97%E9%BB%98%E8%AE%A4%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E5%B0%8F%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%23%20%E8%80%83%E8%99%91%E5%B0%86%E2%80%9C%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8F%96%E8%B4%9F%E2%80%9D%E5%90%8E%E5%86%8D%E5%85%A5%E5%A0%86%EF%BC%8C%E8%BF%99%E6%A0%B7%E5%B0%B1%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E5%B0%86%E5%A4%A7%E5%B0%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB%E9%A2%A0%E5%80%92%EF%BC%8C%E4%BB%8E%E8%80%8C%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%23%20%E5%9C%A8%E6%9C%AC%E7%A4%BA%E4%BE%8B%E4%B8%AD%EF%BC%8Cflag%20%3D%201%20%E6%97%B6%E5%AF%B9%E5%BA%94%E5%B0%8F%E9%A1%B6%E5%A0%86%EF%BC%8Cflag%20%3D%20-1%20%E6%97%B6%E5%AF%B9%E5%BA%94%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%85%A5%E5%A0%86%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%201%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%203%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%202%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%205%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%204%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8E%B7%E5%8F%96%E5%A0%86%E9%A1%B6%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20peek%20%3D%20flag%20*%20max_heap%5B0%5D%20%23%205%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A0%86%E9%A1%B6%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%87%BA%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%23%20%E5%87%BA%E5%A0%86%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BC%9A%E5%BD%A2%E6%88%90%E4%B8%80%E4%B8%AA%E4%BB%8E%E5%A4%A7%E5%88%B0%E5%B0%8F%E7%9A%84%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%205%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%204%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%203%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%202%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%201%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8E%B7%E5%8F%96%E5%A0%86%E5%A4%A7%E5%B0%8F%0A%20%20%20%20size%20%3D%20len%28max_heap%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E6%96%AD%E5%A0%86%E6%98%AF%E5%90%A6%E4%B8%BA%E7%A9%BA%0A%20%20%20%20is_empty%20%3D%20not%20max_heap%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BE%93%E5%85%A5%E5%88%97%E8%A1%A8%E5%B9%B6%E5%BB%BA%E5%A0%86%0A%20%20%20%20min_heap%20%3D%20%5B1,%203,%202,%205,%204%5D%0A%20%20%20%20heapq.heapify%28min_heap%29&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false
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## ヒープの実装
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以下の実装は最大ヒープです。最小ヒープに変換するには、すべてのサイズ論理比較を反転させるだけです（例えば、$\geq$を$\leq$に置き換える）。興味のある読者は自分で実装することをお勧めします。
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以下では最大ヒープを実装します。最小ヒープに変換したい場合は、すべての大小比較ロジックを反転させるだけです（たとえば、$\geq$ を $\leq$ に置き換えます）。興味のある読者は自分で実装してみてください。
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### ヒープの格納と表現
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「二分木」の節で述べたように、完備二分木は配列表現に非常に適しています。ヒープは完備二分木の一種なので、**配列を使用してヒープを格納します**。
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「二分木」の章で述べたように、完全二分木は配列で表現するのに非常に適しています。ヒープはまさに完全二分木の一種なので、**ここでは配列を使ってヒープを格納します**。
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配列を使用して二分木を表現する場合、要素はノード値を表し、インデックスは二分木内のノード位置を表します。**ノードポインタはインデックスマッピング公式を通じて実装されます**。
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配列で二分木を表す場合、要素はノードの値を表し、インデックスは二分木におけるノードの位置を表します。**ノード間の参照関係はインデックスの対応式によって実現できます**。
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下図に示すように、インデックス$i$が与えられた場合、その左の子のインデックスは$2i + 1$、右の子のインデックスは$2i + 2$、親のインデックスは$(i - 1) / 2$（床除算）です。インデックスが範囲外の場合、nullノードまたはノードが存在しないことを意味します。
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次の図に示すように、インデックス $i$ に対して、左子ノードのインデックスは $2i + 1$ 、右子ノードのインデックスは $2i + 2$ 、親ノードのインデックスは $(i - 1) / 2$（切り捨て除算）です。インデックスが範囲外であれば、空ノードまたはノードが存在しないことを表します。
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後で便利に使用するため、インデックスマッピング公式を関数にカプセル化できます：
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インデックスの対応式は関数にまとめておくと、後続で使いやすくなります：
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```src
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[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{parent}
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```
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### ヒープの先頭要素へのアクセス
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### ヒープ頂点の要素にアクセス
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ヒープの先頭要素は二分木の根ノードで、リストの最初の要素でもあります：
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ヒープ頂点の要素は二分木の根ノード、すなわちリストの先頭要素です：
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```src
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[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{peek}
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```
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### ヒープへの要素挿入
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### 要素をヒープに追加
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要素`val`が与えられた場合、まずそれをヒープの底に追加します。追加後、`val`がヒープ内の他の要素より大きい可能性があるため、ヒープの完全性が損なわれる可能性があります。**したがって、挿入されたノードから根ノードまでのパスを修復する必要があります**。この操作は<u>ヒープ化</u>と呼ばれます。
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与えられた要素 `val` を、まずヒープの底に追加します。追加後、`val` がヒープ内のほかの要素より大きい可能性があるため、ヒープ条件が崩れているかもしれません。**そのため、挿入ノードから根ノードまでの経路上にある各ノードを修復する必要があります**。この操作を<u>ヒープ化（heapify）</u>と呼びます。
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挿入されたノードから開始して、**下から上にヒープ化を実行します**。下図に示すように、挿入されたノードの値をその親ノードと比較し、挿入されたノードが大きい場合はそれらを交換します。次にこの操作を続行し、根に到達するか、交換が不要なノードに遭遇するまで、下から上にヒープ内の各ノードを修復します。
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ヒープへ追加したノードから始めて、**下から上へヒープ化**を行います。次の図のように、挿入ノードとその親ノードの値を比較し、挿入ノードのほうが大きければそれらを交換します。その後もこの操作を繰り返し、下から上へ各ノードを修復して、根ノードを越えるか交換不要のノードに達した時点で終了します。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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@@ -469,24 +473,24 @@
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=== "<9>"
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総ノード数を$n$とすると、木の高さは$O(\log n)$です。したがって、ヒープ化操作のループ反復回数は最大$O(\log n)$で、**要素挿入操作の時間計算量は$O(\log n)$になります**。コードは以下の通りです：
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ノード総数を $n$ とすると、木の高さは $O(\log n)$ です。したがって、ヒープ化操作のループ回数は高々 $O(\log n)$ であり、**要素をヒープに追加する操作の時間計算量は $O(\log n)$** です。コードは以下のとおりです：
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```src
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[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{sift_up}
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```
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### ヒープからの先頭要素削除
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### ヒープ頂点の要素を取り出す
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ヒープの先頭要素は二分木の根ノード、つまりリストの最初の要素です。リストから最初の要素を直接削除すると、二分木内のすべてのノードインデックスが変更され、後続の修復にヒープ化を使用することが困難になります。要素インデックスの変更を最小限に抑えるため、次の手順を使用します。
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ヒープ頂点の要素は二分木の根ノード、すなわちリストの先頭要素です。もし先頭要素をそのまま削除すると、二分木内のすべてのノードのインデックスが変化してしまい、その後のヒープ化による修復が困難になります。要素インデックスの変動をできるだけ小さくするため、次の手順を取ります。
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1. ヒープの先頭要素と底の要素を交換します（根ノードと最も右の葉ノードを交換）。
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2. 交換後、リストからヒープの底を削除します（交換されているため、実際には元の先頭要素が削除される）。
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3. 根ノードから開始して、**上から下にヒープ化を実行します**。
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1. ヒープ頂点の要素とヒープ底の要素を交換する（根ノードと最も右の葉ノードを交換する）。
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2. 交換後、ヒープ底をリストから削除する（すでに交換済みであるため、実際に削除されるのは元のヒープ頂点の要素であることに注意）。
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3. 根ノードから開始し、**上から下へヒープ化**を行う。
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下図に示すように、**「上から下のヒープ化」の方向は「下から上のヒープ化」と反対です**。根ノードの値をその2つの子と比較し、最大の子と交換します。次に、葉ノードに到達するか、交換が不要なノードに遭遇するまで、この操作を繰り返します。
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次の図のように、**「上から下へのヒープ化」の方向は「下から上へのヒープ化」と逆**です。根ノードの値を 2 つの子ノードと比較し、最大の子ノードと根ノードを交換します。その後、この操作を繰り返し、葉ノードを越えるか交換不要のノードに達した時点で終了します。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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@@ -515,14 +519,14 @@
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=== "<10>"
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要素挿入操作と同様に、先頭要素削除操作の時間計算量も$O(\log n)$です。コードは以下の通りです：
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要素をヒープに追加する操作と同様に、ヒープ頂点の要素を取り出す操作の時間計算量も $O(\log n)$ です。コードは以下のとおりです：
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```src
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[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{sift_down}
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```
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## ヒープの一般的な応用
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## ヒープの代表的な応用
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- **優先度キュー**：ヒープは優先度キューを実装するための好ましいデータ構造で、エンキュー操作とデキュー操作の両方の時間計算量が$O(\log n)$、キュー構築の時間計算量が$O(n)$で、すべて非常に効率的です。
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- **ヒープソート**：データセットが与えられた場合、それらからヒープを作成し、次に要素削除操作を継続的に実行して順序付けされたデータを取得できます。ただし、ヒープソートを実装するより洗練された方法があり、「ヒープソート」の章で説明されています。
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- **最大$k$個の要素の発見**：これは古典的なアルゴリズム問題であり、一般的な使用例でもあります。Weiboホット検索のトップ10ホットニュースの選択や、トップ10の売れ筋商品の選択などです。
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- **優先度付きキュー**：ヒープは、優先度付きキューを実装するための代表的なデータ構造です。キューへの追加と取り出しの時間計算量はいずれも $O(\log n)$ で、ヒープ構築は $O(n)$ であり、これらの操作はいずれも非常に効率的です。
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- **ヒープソート**：与えられたデータ群からヒープを構築し、要素の取り出しを繰り返すことで整列済みデータを得られます。ただし、通常はより洗練された方法でヒープソートを実装します。詳しくは「ヒープソート」の章を参照してください。
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- **最大の $k$ 個の要素を取得**：これは古典的なアルゴリズム問題であると同時に、典型的な応用でもあります。たとえば、人気上位 10 件のニュースをホットトピックとして選んだり、売上上位 10 件の商品を選んだりする場面です。
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