mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-10 14:36:06 +00:00
Re-translate the Japanese version (#1871)
* Retranslate Japanese docs with GPT-5.4 * Retranslate Japanese code with GPT-5.4
This commit is contained in:
Yudong Jin
@@ -1,26 +1,26 @@
|
||||
# 二分探索木
|
||||
|
||||
下図に示すように、<u>二分探索木</u>は以下の条件を満たします。
|
||||
以下の図に示すように、<u>二分探索木（binary search tree）</u>は次の条件を満たします。
|
||||
|
||||
1. 根ノードについて、左部分木のすべてのノードの値 $<$ 根ノードの値 $<$ 右部分木のすべてのノードの値。
|
||||
2. 任意のノードの左と右の部分木も二分探索木です。つまり、条件`1.`も満たします。
|
||||
2. 任意のノードの左部分木と右部分木も二分探索木であり、すなわち条件 `1.` も満たします。
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
## 二分探索木の操作
|
||||
|
||||
二分探索木をクラス`BinarySearchTree`としてカプセル化し、木の根ノードを指すメンバー変数`root`を宣言します。
|
||||
二分探索木をクラス `BinarySearchTree` としてカプセル化し、木の根ノードを指すメンバ変数 `root` を宣言します。
|
||||
|
||||
### ノードの検索
|
||||
### ノードの探索
|
||||
|
||||
ターゲットノード値`num`が与えられた場合、二分探索木の性質に従って検索できます。下図に示すように、ノード`cur`を宣言し、二分木の根ノード`root`から開始し、ノード値`cur.val`と`num`のサイズを比較するループを行います。
|
||||
目標ノードの値 `num` が与えられたら、二分探索木の性質に基づいて探索できます。以下の図に示すように、ノード `cur` を宣言し、二分木の根ノード `root` から出発して、ノード値 `cur.val` と `num` の大小関係を繰り返し比較します。
|
||||
|
||||
- `cur.val < num`の場合、ターゲットノードは`cur`の右部分木にあることを意味するため、`cur = cur.right`を実行します。
|
||||
- `cur.val > num`の場合、ターゲットノードは`cur`の左部分木にあることを意味するため、`cur = cur.left`を実行します。
|
||||
- `cur.val = num`の場合、ターゲットノードが見つかったことを意味するため、ループを終了してノードを返します。
|
||||
- `cur.val < num` の場合、目標ノードは `cur` の右部分木にあるため、`cur = cur.right` を実行します。
|
||||
- `cur.val > num` の場合、目標ノードは `cur` の左部分木にあるため、`cur = cur.left` を実行します。
|
||||
- `cur.val = num` の場合、目標ノードが見つかったことを表し、ループを抜けてそのノードを返します。
|
||||
|
||||
=== "<1>"
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<2>"
|
||||
|
||||
@@ -31,7 +31,7 @@
|
||||
=== "<4>"
|
||||
|
||||
|
||||
二分探索木での検索操作は二分探索アルゴリズムと同じ原理で動作し、各ラウンドでケースの半分を排除します。ループ数は最大で二分木の高さです。二分木が平衡している場合、$O(\log n)$の時間を使用します。コード例は以下の通りです：
|
||||
二分探索木の探索操作は二分探索アルゴリズムと同じ原理で動作し、各ラウンドで半分の候補を除外します。ループ回数の上限は二分木の高さであり、二分木が平衡であれば $O(\log n)$ 時間です。コード例は次のとおりです。
|
||||
|
||||
```src
|
||||
[file]{binary_search_tree}-[class]{binary_search_tree}-[func]{search}
|
||||
@@ -39,45 +39,45 @@
|
||||
|
||||
### ノードの挿入
|
||||
|
||||
挿入する要素`num`が与えられた場合、二分探索木の性質「左部分木 < 根ノード < 右部分木」を維持するため、挿入操作は下図に示すように進行します。
|
||||
挿入する要素 `num` が与えられたとき、二分探索木の「左部分木 < 根ノード < 右部分木」という性質を保つため、挿入操作の流れは以下の図のようになります。
|
||||
|
||||
1. **挿入位置を見つける**: 検索操作と同様に、根ノードから開始し、現在のノード値と`num`のサイズ関係に従って下向きにループし、葉ノードを通過（`None`に走査）するまで、ループを終了します。
|
||||
2. **この位置にノードを挿入**: ノード`num`を初期化し、`None`があった場所に配置します。
|
||||
1. **挿入位置を探索する**：探索操作と同様に、根ノードから出発し、現在のノード値と `num` の大小関係に基づいて下方向へ探索を繰り返し、葉ノードを越えて（`None` まで到達して）ループを抜けます。
|
||||
2. **その位置にノードを挿入する**：ノード `num` を初期化し、そのノードを `None` の位置に置きます。
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
コード実装では、以下の2点に注意してください。
|
||||
コード実装では、次の 2 点に注意が必要です。
|
||||
|
||||
- 二分探索木は重複ノードの存在を許可しません。そうでなければ、その定義に違反します。したがって、挿入するノードが既に木に存在する場合、挿入は実行されず、ノードは直接戻ります。
|
||||
- 挿入操作を実行するには、前のループからのノードを保存するためにノード`pre`を使用する必要があります。このようにして、`None`に走査したときに、その親ノードを取得でき、ノード挿入操作を完了できます。
|
||||
- 二分探索木では重複ノードを許可しません。そうでないと定義に反するためです。したがって、挿入対象のノードが木内にすでに存在する場合は、挿入を行わずそのまま返します。
|
||||
- ノード挿入を実現するために、ノード `pre` を用いて前回のループのノードを保持する必要があります。これにより、`None` までたどり着いたときにその親ノードを取得でき、ノード挿入を完了できます。
|
||||
|
||||
```src
|
||||
[file]{binary_search_tree}-[class]{binary_search_tree}-[func]{insert}
|
||||
```
|
||||
|
||||
ノードの検索と同様に、ノードの挿入には$O(\log n)$の時間を使用します。
|
||||
ノード探索と同様に、ノード挿入には $O(\log n)$ 時間を要します。
|
||||
|
||||
### ノードの削除
|
||||
|
||||
まず、二分木でターゲットノードを見つけ、それを削除します。ノードの挿入と同様に、削除操作が完了した後も、二分探索木の性質「左部分木 < 根ノード < 右部分木」が満たされることを保証する必要があります。したがって、ターゲットノードの子ノード数に基づいて、0、1、2の3つのケースに分け、対応するノード削除操作を実行します。
|
||||
まず二分木内で目標ノードを見つけ、その後で削除します。ノード挿入と同様に、削除操作の完了後も二分探索木の「左部分木 < 根ノード < 右部分木」という性質が保たれる必要があります。そのため、目標ノードの子ノード数に応じて、0、1、2 の 3 つのケースに分けて対応する削除操作を行います。
|
||||
|
||||
下図に示すように、削除するノードの次数が$0$の場合、そのノードは葉ノードであることを意味し、直接削除できます。
|
||||
以下の図に示すように、削除対象ノードの次数が $0$ のとき、そのノードは葉ノードであり、直接削除できます。
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
下図に示すように、削除するノードの次数が$1$の場合、削除するノードをその子ノードで置き換えるだけで十分です。
|
||||
以下の図に示すように、削除対象ノードの次数が $1$ のとき、削除対象ノードをその子ノードで置き換えれば十分です。
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
削除するノードの次数が$2$の場合、直接削除することはできませんが、ノードを使用して置き換える必要があります。二分探索木の性質「左部分木 $<$ 根ノード $<$ 右部分木」を維持するため、**このノードは右部分木の最小ノードまたは左部分木の最大ノードのいずれかです**。
|
||||
削除対象ノードの次数が $2$ のときは、直接削除できず、別のノードでそのノードを置き換える必要があります。二分探索木の「左部分木 $<$ 根ノード $<$ 右部分木」という性質を保つ必要があるため、**このノードには右部分木の最小ノードまたは左部分木の最大ノードを使えます**。
|
||||
|
||||
右部分木の最小ノード（中順走査での次のノード）を選択すると仮定すると、削除操作は下図に示すように進行します。
|
||||
右部分木の最小ノード（中順走査で次のノード）を選ぶと仮定すると、削除操作の流れは以下の図のようになります。
|
||||
|
||||
1. 削除するノードの「中順走査シーケンス」での次のノードを見つけ、`tmp`として示します。
|
||||
2. 削除するノードの値を`tmp`の値で置き換え、木内でノード`tmp`を再帰的に削除します。
|
||||
1. 削除対象ノードの「中順走査列」における次のノードを見つけ、`tmp` と記します。
|
||||
2. `tmp` の値で削除対象ノードの値を上書きし、木の中でノード `tmp` を再帰的に削除します。
|
||||
|
||||
=== "<1>"
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
=== "<2>"
|
||||
|
||||
@@ -88,42 +88,42 @@
|
||||
=== "<4>"
|
||||
|
||||
|
||||
ノードを削除する操作も$O(\log n)$の時間を使用します。削除するノードを見つけるのに$O(\log n)$の時間が必要で、中順走査の後継ノードを取得するのに$O(\log n)$の時間が必要です。コード例は以下の通りです：
|
||||
ノード削除操作も同様に $O(\log n)$ 時間を要します。削除対象ノードの探索に $O(\log n)$ 時間、中順走査の後続ノードの取得に $O(\log n)$ 時間が必要です。コード例は次のとおりです。
|
||||
|
||||
```src
|
||||
[file]{binary_search_tree}-[class]{binary_search_tree}-[func]{remove}
|
||||
```
|
||||
|
||||
### 中順走査は順序付けされている
|
||||
### 中順走査は昇順
|
||||
|
||||
下図に示すように、二分木の中順走査は「左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右」の走査順序に従い、二分探索木は「左子ノード $<$ 根ノード $<$ 右子ノード」のサイズ関係を満たします。
|
||||
以下の図に示すように、二分木の中順走査は「左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右」という順序に従い、二分探索木は「左子ノード $<$ 根ノード $<$ 右子ノード」という大小関係を満たします。
|
||||
|
||||
これは、二分探索木で中順走査を実行するときに、常に次に小さいノードが最初に走査されることを意味し、重要な性質につながります：**二分探索木の中順走査のシーケンスは昇順です**。
|
||||
これは、二分探索木で中順走査を行うと常に次の最小ノードが優先して走査されることを意味し、そこから重要な性質が導かれます。**二分探索木の中順走査列は昇順です**。
|
||||
|
||||
中順走査の昇順性質を使用して、二分探索木で順序付けされたデータを取得するには$O(n)$の時間のみが必要で、追加のソート操作は不要であり、非常に効率的です。
|
||||
中順走査が昇順になる性質を利用すれば、二分探索木から整列済みデータを取得するのに必要な時間は $O(n)$ のみで、追加のソート操作は不要です。非常に効率的です。
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
## 二分探索木の効率
|
||||
|
||||
データのセットが与えられた場合、配列または二分探索木を使用して格納することを検討します。下の表を観察すると、二分探索木のすべての操作は対数時間計算量を持ち、安定して効率的です。配列は、頻繁な追加と検索や削除の頻度が少ないシナリオでのみ、二分探索木よりも効率的です。
|
||||
あるデータ集合が与えられたとき、配列または二分探索木で格納する場合を考えます。次の表を見ると、二分探索木の各操作の時間計算量はいずれも対数オーダーであり、安定して高効率です。高頻度の追加と低頻度の探索・削除という場面でのみ、配列のほうが二分探索木より効率的です。
|
||||
|
||||
<p align="center"> 表 <id> 配列と探索木の効率比較 </p>
|
||||
|
||||
| | 未ソート配列 | 二分探索木 |
|
||||
| -------------- | -------------- | ------------------ |
|
||||
| 要素の検索 | $O(n)$ | $O(\log n)$ |
|
||||
| 要素の挿入 | $O(1)$ | $O(\log n)$ |
|
||||
| 要素の削除 | $O(n)$ | $O(\log n)$ |
|
||||
| | 無秩序配列 | 二分探索木 |
|
||||
| -------- | -------- | ----------- |
|
||||
| 要素の探索 | $O(n)$ | $O(\log n)$ |
|
||||
| 要素の挿入 | $O(1)$ | $O(\log n)$ |
|
||||
| 要素の削除 | $O(n)$ | $O(\log n)$ |
|
||||
|
||||
理想的には、二分探索木は「平衡」しており、任意のノードを$\log n$ループ内で見つけることができます。
|
||||
理想的な状況では、二分探索木は「平衡」しており、その場合は $\log n$ 回のループ内で任意のノードを探索できます。
|
||||
|
||||
しかし、二分探索木で継続的にノードを挿入および削除すると、下図に示すように連結リストに退化する可能性があり、さまざまな操作の時間計算量も$O(n)$に悪化します。
|
||||
しかし、二分探索木でノードの挿入と削除を繰り返すと、二分木が以下の図のような連結リストへ退化する可能性があり、このとき各操作の時間計算量も $O(n)$ に退化します。
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
## 二分探索木の一般的な応用
|
||||
## 二分探索木の代表的な応用
|
||||
|
||||
- システムでの多レベルインデックスとして使用され、効率的な検索、挿入、削除操作を実装します。
|
||||
- 特定の検索アルゴリズムの基盤となるデータ構造として機能します。
|
||||
- データストリームを格納して、その順序付けされた状態を維持するために使用されます。
|
||||
- システム内の多段インデックスとして用いられ、効率的な探索、挿入、削除操作を実現します。
|
||||
- 一部の探索アルゴリズムの基盤データ構造として使われます。
|
||||
- データストリームを格納し、その順序状態を保つために使われます。
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user