xinyin025/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2026-07-17 09:16:07 +00:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

build

Browse Source
This commit is contained in:
krahets
2023-07-24 03:03:29 +08:00
parent d0f117eccc
commit debd909387
16 changed files with 262 additions and 227 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files
chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md
+35 -27
View File
@@ -6,11 +6,11 @@ comments: true
「回溯算法 Backtracking Algorithm」是一种通过穷举来解决问题的方法，它的核心思想是从一个初始状态出发，暴力搜索所有可能的解决方案，当遇到正确的解则将其记录，直到找到解或者尝试了所有可能的选择都无法找到解为止。
回溯算法通常采用「深度优先搜索」来遍历解空间。在二叉树章节中，我们提到前序、中序和后序遍历都属于深度优先搜索。接下来我们先用前序遍历构造一个回溯问题，逐步了解回溯算法的工作原理。
回溯算法通常采用「深度优先搜索」来遍历解空间。在二叉树章节中，我们提到前序、中序和后序遍历都属于深度优先搜索。接下来，我们利用前序遍历构造一个回溯问题，逐步了解回溯算法的工作原理。
!!! question "例题一"
给定一个二叉树，搜索并记录所有值为 $7$ 的节点，返回节点列表。
给定一个二叉树，搜索并记录所有值为 $7$ 的节点，请返回节点列表。
对于此题，我们前序遍历这颗树，并判断当前节点的值是否为 $7$ ，若是则将该节点的值加入到结果列表 `res` 之中。
@@ -175,11 +175,11 @@ comments: true
对于例题一，访问每个节点都代表一次“尝试”，而越过叶结点或返回父节点的 `return` 则表示“回退”。
值得说明的是，**回退并不等价于函数返回**。为解释这一点，我们对例题一稍作拓展。
值得说明的是，**回退并不仅仅包括函数返回**。为解释这一点，我们对例题一稍作拓展。
!!! question "例题二"
在二叉树中搜索所有值为 $7$ 的节点，**返回根节点到这些节点的路径**。
在二叉树中搜索所有值为 $7$ 的节点，**请返回根节点到这些节点的路径**。
在例题一代码的基础上，我们需要借助一个列表 `path` 记录访问过的节点路径。当访问到值为 $7$ 的节点时，则复制 `path` 并添加进结果列表 `res` 。遍历完成后，`res` 中保存的就是所有的解。
@@ -370,7 +370,9 @@ comments: true
[class]{}-[func]{preOrder}
```
在每次“尝试”中，我们通过将当前节点添加进 `path` 来记录路径；而在“回退”前，我们需要将该节点从 `path` 中弹出，**以恢复本次尝试之前的状态**。换句话说，**我们可以将尝试和回退理解为“前进”与“撤销”**，两个操作是互为相反的。
在每次“尝试”中，我们通过将当前节点添加进 `path` 来记录路径；而在“回退”前，我们需要将该节点从 `path` 中弹出，**以恢复本次尝试之前的状态**。
观察该过程，**我们可以将尝试和回退理解为“前进”与“撤销”**，两个操作是互为逆向的。
=== "<1>"
![尝试与回退](backtracking_algorithm.assets/preorder_find_paths_step1.png)
@@ -411,12 +413,12 @@ comments: true
!!! question "例题三"
在二叉树中搜索所有值为 $7$ 的节点，返回根节点到这些节点的路径，**要求路径中有且只有一个值为 $7$ 的节点，并且不能包含值为 $3$ 的节点**。
在二叉树中搜索所有值为 $7$ 的节点，请返回根节点到这些节点的路径，**要求路径中只存在一个值为 $7$ 的节点，并且不允许有值为 $3$ 的节点**。
在例题二的基础上添加剪枝操作，包括：
- 当遇到值为 $7$ 的节点时，记录解并返回，终止搜索。
- 当遇到值为 $3$ 的节点时，则直接返回，停止继续搜索。
- 当遇到值为 $7$ 的节点时，记录解并返回，停止搜索。
- 当遇到值为 $3$ 的节点时，则直接返回，停止搜索。
=== "Java"
@@ -639,24 +641,24 @@ comments: true
为了更清晰地分析算法问题，我们总结一下回溯算法中常用术语的含义，并对照例题三给出对应示例。
| 名词 | 定义 | 例题三 |
| ------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------ | -------------------------------------------------------------------- |
| 解 Solution | 解是满足问题特定条件的答案。回溯算法的目标是找到一个或多个满足条件的解 | 根节点到节点 $7$ 的所有路径，且路径中不包含值为 $3$ 的节点 |
| 状态 State | 状态表示问题在某一时刻的情况，包括已经做出的选择 | 当前已访问的节点路径，即 `path` 节点列表 |
| 约束条件 Constraint | 约束条件是问题中限制解的可行性的条件，通常用于剪枝 | 要求路径中不能包含值为 $3$ 的节点 |
| 尝试 Attempt | 尝试是在搜索过程中，根据当前状态和可用选择来探索解空间的过程。尝试包括做出选择，更新状态，检查是否为解 | 递归访问左（右）子节点，将节点添加进 `path` ，判断节点的值是否为 $7$ |
| 回退 Backtracking | 回退指在搜索中遇到到不满足约束条件或无法继续搜索的状态时，撤销前面做出的选择，回到上一个状态 | 当越过叶结点、结束结点访问、遇到值为 $3$ 的节点时终止搜索，函数返回 |
| 剪枝 Pruning | 剪枝是根据问题特性和约束条件避免无意义的搜索路径的方法，可提高搜索效率 | 当遇到值为 $3$ 的节点时，则终止继续搜索 |
| 名词 | 定义 | 例题三 |
| ------------------- | -------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------- |
| 解 Solution | 解是满足问题特定条件的答案，可能有一个或多个 | 根节点到节点 $7$ 的满足约束条件的所有路径 |
| 约束条件 Constraint | 约束条件是问题中限制解的可行性的条件，通常用于剪枝 | 路径中不包含节点 $3$ ，只包含一个节点 $7$ |
| 状态 State | 状态表示问题在某一时刻的情况，包括已经做出的选择 | 当前已访问的节点路径，即 `path` 节点列表 |
| 尝试 Attempt | 尝试是根据可用选择来探索解空间的过程，包括做出选择，更新状态，检查是否为解 | 递归访问左（右）子节点，将节点添加进 `path` ，判断节点的值是否为 $7$ |
| 回退 Backtracking | 回退指遇到不满足约束条件的状态时，撤销前面做出的选择，回到上一个状态 | 当越过叶结点、结束结点访问、遇到值为 $3$ 的节点时终止搜索，函数返回 |
| 剪枝 Pruning | 剪枝是根据问题特性和约束条件避免无意义的搜索路径的方法，可提高搜索效率 | 当遇到值为 $3$ 的节点时，则终止继续搜索 |
!!! tip
解、状态、约束条件等术语是通用的，适用于回溯算法、动态规划、贪心算法等。
问题、解、状态等概念是通用的，在分治、回溯、动态规划、贪心等算法中都有涉及。
## 13.1.4. &nbsp; 框架代码
回溯算法可用于解决许多搜索问题、约束满足问题和组合优化问题。为提升代码通用性，我们希望将回溯算法的“尝试、回退、剪枝”的主体框架提炼出来。
接下来，我们尝试将回溯的“尝试、回退、剪枝”的主体框架提炼出来，提升代码的通用性。
设 `state` 为问题的当前状态，`choices` 表示当前状态下可以做出的选择，则可得到以下回溯算法的框架代码。
在以下框架代码中，`state` 表示问题的当前状态，`choices` 表示当前状态下可以做出的选择。
=== "Java"
@@ -910,7 +912,7 @@ comments: true
}
```
下面，我们尝试基于此框架来解决例题三。在例题三中，状态 `state` 是节点遍历路径，选择 `choices` 是当前节点的左子节点和右子节点，结果 `res` 是路径列表，实现代码如下所示。
下面，我们基于框架代码来解决例题三：状态 `state` 为节点遍历路径，选择 `choices` 为当前节点的左子节点和右子节点，结果 `res` 是路径列表。
=== "Java"
@@ -1367,7 +1369,7 @@ comments: true
[class]{}-[func]{backtrack}
```
相较于基于前序遍历的实现代码，基于回溯算法框架的实现代码虽然显得啰嗦，但通用性更好。实际上，**所有回溯问题都可以在该框架下解决**。我们需要根据具体问题来定义 `state` 和 `choices` ，并实现框架中的各个方法。
相比基于前序遍历的代码实现，基于回溯算法框架的代码实现虽然显得啰嗦，但通用性更好。实际上，**许多回溯问题都可以在该框架下解决**。我们只需根据具体问题来定义 `state` 和 `choices` ，并实现框架中的各个方法。
## 13.1.5. &nbsp; 优势与局限性
@@ -1375,16 +1377,18 @@ comments: true
然而，在处理大规模或者复杂问题时，**回溯算法的运行效率可能难以接受**。
- 在最坏的情况下，回溯算法需要遍历解空间的所有可能解，所需时间很长。例如，求解 $n$ 皇后问题的时间复杂度可以达到 $O(n!)$ 。
- 在每一次递归调用时，都需要保存当前的状态（例如选择路径、用于剪枝的辅助变量等），对于深度很大的递归，空间需求可能会变得非常大。
- **时间**：回溯算法通常需要遍历状态空间的所有可能，时间复杂度可以达到指数阶或阶乘阶。
- **空间**：在递归调用中需要保存当前的状态（例如路径、用于剪枝的辅助变量等），当深度很大时，空间需求可能会变得很大。
即便如此，**回溯算法仍然是某些搜索问题和约束满足问题的最佳解决方案**。对于这些问题，由于无法预测哪些选择可生成有效的解，因此我们必须对所有可能的选择进行遍历。在这种情况下，**关键是如何进行效率优化**：
即便如此，**回溯算法仍然是某些搜索问题和约束满足问题的最佳解决方案**。对于这些问题，由于无法预测哪些选择可生成有效的解，因此我们必须对所有可能的选择进行遍历。在这种情况下，**关键是如何进行效率优化**，常见方法有：
- 上文介绍过的剪枝是一种常用的优化方法。它可以避免搜索那些肯定不会产生有效解的路径，从而节省时间和空间。
- 另一个常用的优化方法是加入「启发式搜索 Heuristic Search」策略，它在搜索过程中引入一些策略或者估计值，从而优先搜索最有可能产生有效解的路径。
- **剪枝**：避免搜索那些肯定不会产生解的路径，从而节省时间和空间。
- **启发式搜索**：在搜索过程中引入一些策略或者估计值，从而优先搜索最有可能产生有效解的路径。
## 13.1.6. &nbsp; 回溯典型例题
回溯算法可用于解决许多搜索问题、约束满足问题和组合优化问题。
**搜索问题**：这类问题的目标是找到满足特定条件的解决方案。
- 全排列问题：给定一个集合，求出其所有可能的排列组合。
@@ -1403,4 +1407,8 @@ comments: true
- 旅行商问题：在一个图中，从一个点出发，访问所有其他点恰好一次后返回起点，求最短路径。
- 最大团问题：给定一个无向图，找到最大的完全子图，即子图中的任意两个顶点之间都有边相连。
请注意，回溯算法通常不是解决组合优化问题的最优方法。0-1 背包问题通常使用动态规划解决；旅行商是一个 NP-Hard 问题，常用解决方法有遗传算法和蚁群算法等；最大团问题是图轮中的一个经典 NP-Hard 问题，通常用贪心算法等启发式算法来解决。
请注意，对于许多组合优化问题，回溯都不是最优解决方案，例如：
- 0-1 背包问题通常使用动态规划解决，以达到更高的时间效率；
- 旅行商是一个著名的 NP-Hard 问题，常用解法有遗传算法和蚁群算法等；
- 最大团问题是图论中的一个经典问题，可用贪心等启发式算法来解决；
chapter_backtracking/n_queens_problem.md
+15 -13
View File
@@ -14,39 +14,43 @@ comments: true
<p align="center"> Fig. 4 皇后问题的解 </p>
本题共有三个约束条件：**多个皇后不能在同一行、同一列和同一对角线**。值得注意的是，对角线分为主对角线 `\` 和副对角线 `/` 两种。
本题共包含三个约束条件：**多个皇后不能在同一行、同一列、同一对角线**。值得注意的是，对角线分为主对角线 `\` 和次对角线 `/` 两种。
![n 皇后问题的约束条件](n_queens_problem.assets/n_queens_constraints.png)
<p align="center"> Fig. n 皇后问题的约束条件 </p>
### 皇后放置策略
### 逐行放置策略
皇后的数量和棋盘的行数都为 $n$ ，因此我们容易得到第一个推论：**棋盘每行都允许且只允许放置一个皇后**。这意味着，我们可以采取逐行放置策略：从第一行开始，在每行放置一个皇后，直至最后一行结束。**此策略起到了剪枝的作用**，它避免了同一行出现多个皇后的所有搜索分支。
皇后的数量和棋盘的行数都为 $n$ ，因此我们容易得到一个推论：**棋盘每行都允许且只允许放置一个皇后**。
下图展示了 $4$ 皇后问题的逐行放置过程。受篇幅限制，下图仅展开了第一行的一个搜索分支。在搜索过程中，我们将不满足列约束和对角线约束的方案都剪枝了。
也就是说，我们可以采取逐行放置策略：从第一行开始，在每行放置一个皇后，直至最后一行结束。
如下图所示，为 $4$ 皇后问题的逐行放置过程。受画幅限制，下图仅展开了第一行的其中一个搜索分支，并且将不满足列约束和对角线约束的方案都进行了剪枝。
![逐行放置策略](n_queens_problem.assets/n_queens_placing.png)
<p align="center"> Fig. 逐行放置策略 </p>
本质上看，**逐行放置策略起到了剪枝的作用**，它避免了同一行出现多个皇后的所有搜索分支。
### 列与对角线剪枝
为了实现根据列约束剪枝，我们可以利用一个长度为 $n$ 的布尔型数组 `cols` 记录每一列是否有皇后。在每次决定放置前，我们通过 `cols` 将已有皇后的列剪枝，并在回溯中动态更新 `cols` 的状态。
为了满足列约束，我们可以利用一个长度为 $n$ 的布尔型数组 `cols` 记录每一列是否有皇后。在每次决定放置前，我们通过 `cols` 将已有皇后的列进行剪枝，并在回溯中动态更新 `cols` 的状态。
那么，如何处理对角线约束呢？设棋盘中某个格子的行列索引为 `(row, col)` ，观察矩阵的某条主对角线，**我们发现该对角线上所有格子的行索引减列索引相等**，即 `row - col` 为恒定值。换句话说，若两个格子满足 `row1 - col1 == row2 - col2` ，则这两个格子一定处在一条主对角线上。
那么，如何处理对角线约束呢？设棋盘中某个格子的行列索引为 $(row, col)$ ，选定矩阵中的某条主对角线，我们发现该对角线上所有格子的行索引减列索引都相等，**即对角线上所有格子的 $row - col$ 为恒定值**。
利用该性质，我们可以借助一个数组 `diag1` 来记录每条主对角线上是否有皇后。注意，$n$ 维方阵 `row - col` 的范围是 $[-n + 1, n - 1]$ ，因此共有 $2n - 1$ 条主对角线。
也就是说，如果两个格子满足 $row_1 - col_1 = row_2 - col_2$ ，则它们一定处在同一条主对角线上。利用该规律，我们可以借助一个数组 `diag1` 来记录每条主对角线上是否有皇后。
同理，**次对角线上的所有格子的 $row + col$ 是恒定值**。我们可以使用相同方法，借助数组 `diag2` 来处理次对角线约束。
![处理列约束和对角线约束](n_queens_problem.assets/n_queens_cols_diagonals.png)
<p align="center"> Fig. 处理列约束和对角线约束 </p>
同理，**次对角线上的所有格子的 `row + col` 是恒定值**。我们可以使用同样的方法，借助数组 `diag2` 来处理次对角线约束。
### 代码实现
根据以上分析，我们便可以写出 $n$ 皇后的解题代码。
请注意，$n$ 维方阵中 $row - col$ 的范围是 $[-n + 1, n - 1]$ ，$row + col$ 的范围是 $[0, 2n - 2]$ ，所以主对角线和次对角线的数量都为 $2n - 1$ ，即数组 `diag1` 和 `diag2` 的长度都为 $2n - 1$ 。
=== "Java"
@@ -502,8 +506,6 @@ comments: true
[class]{}-[func]{nQueens}
```
### 复杂度分析
逐行放置 $n$ 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 $n, n-1, \cdots, 2, 1$ 个选择，**因此时间复杂度为 $O(n!)$** 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。
`state` 使用 $O(n^2)$ 空间，`cols` , `diags1` , `diags2` 皆使用 $O(n)$ 空间。最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。因此，**空间复杂度为 $O(n^2)$** 。
数组 `state` 使用 $O(n^2)$ 空间，数组 `cols` , `diags1` , `diags2` 皆使用 $O(n)$ 空间。最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。因此，**空间复杂度为 $O(n^2)$** 。
chapter_backtracking/permutations_problem.md
+34 -25
View File
@@ -24,9 +24,9 @@ comments: true
输入一个整数数组，数组中不包含重复元素，返回所有可能的排列。
**从回溯算法的角度看，我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果**。假设输入数组为 $[1, 2, 3]$ ，如果我们先选择 $1$ 、再选择 $3$ 、最后选择 $2$ ，则获得排列 $[1, 3, 2]$ 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。
从回溯算法的角度看，**我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果**。假设输入数组为 $[1, 2, 3]$ ，如果我们先选择 $1$ 、再选择 $3$ 、最后选择 $2$ ，则获得排列 $[1, 3, 2]$ 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。
从回溯算法代码的角度看，候选集合 `choices` 是输入数组中的所有元素，状态 `state` 是直至目前已被选择的元素。注意，每个元素只允许被选择一次，**因此在遍历选择时，应当排除已经选择过的元素**。
从回溯代码的角度看，候选集合 `choices` 是输入数组中的所有元素，状态 `state` 是直至目前已被选择的元素。请注意，每个元素只允许被选择一次，**因此 `state` 中的所有元素都应该是唯一的**。
如下图所示，我们可以将搜索过程展开成一个递归树，树中的每个节点代表当前状态 `state` 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。
@@ -34,6 +34,21 @@ comments: true
<p align="center"> Fig. 全排列的递归树 </p>
### 重复选择剪枝
为了实现每个元素只被选择一次，我们考虑引入一个布尔型数组 `selected` ，其中 `selected[i]` 表示 `choices[i]` 是否已被选择。剪枝的实现原理为：
- 在做出选择 `choice[i]` 后，我们就将 `selected[i]` 赋值为 $\text{True}$ ，代表它已被选择。
- 遍历选择列表 `choices` 时，跳过所有已被选择过的节点，即剪枝。
如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。
![全排列剪枝示例](permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png)
<p align="center"> Fig. 全排列剪枝示例 </p>
观察上图发现，该剪枝操作将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$ 。
### 代码实现
想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短代码行数，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将他们展开在 `backtrack()` 函数中。
@@ -346,33 +361,29 @@ comments: true
[class]{}-[func]{permutationsI}
```
### 重复选择剪枝
需要重点关注的是，我们引入了一个布尔型数组 `selected` ，它的长度与输入数组长度相等，其中 `selected[i]` 表示 `choices[i]` 是否已被选择。我们利用 `selected` 避免某个元素被重复选择，从而实现剪枝。
如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。**此剪枝操作可将搜索空间大小从 $O(n^n)$ 降低至 $O(n!)$** 。
![全排列剪枝示例](permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png)
<p align="center"> Fig. 全排列剪枝示例 </p>
## 13.2.2. &nbsp; 考虑相等元素的情况
!!! question
输入一个整数数组，**数组中可能包含重复元素**，返回所有不重复的排列。
假设输入数组为 $[1, 1, 2]$ 。为了方便区分两个重复的元素 $1$ ，接下来我们将第二个元素记为 $\hat{1}$ 。如下图所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。
假设输入数组为 $[1, 1, 2]$ 。为了方便区分两个重复元素 $1$ ，我们将第二个 $1$ 记为 $\hat{1}$ 。
如下图所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。
![重复排列](permutations_problem.assets/permutations_ii.png)
<p align="center"> Fig. 重复排列 </p>
那么，如何去除重复的排列呢？最直接地，我们可以借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，**因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝**，这样可以进一步提升算法效率。
那么如何去除重复的排列呢？最直接地，考虑借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，**因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝**，这样可以进一步提升算法效率。
观察发现，在第一轮中，选择 $1$ 或选择 $\hat{1}$ 是等价的，因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此，我们应该把 $\hat{1}$ 剪枝掉。同理，在第一轮选择 $2$ 后，第二轮选择中的 $1$ 和 $\hat{1}$ 也会产生重复分支，因此也需要将第二轮的 $\hat{1}$ 剪枝。
### 相等元素剪枝
本质上看，**我们的目标是实现在某一轮选择中，多个相等的元素仅被选择一次**。
观察发现，在第一轮中，选择 $1$ 或选择 $\hat{1}$ 是等价的，在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 $\hat{1}$ 剪枝掉。
同理，在第一轮选择 $2$ 后，第二轮选择中的 $1$ 和 $\hat{1}$ 也会产生重复分支，因此也应将第二轮的 $\hat{1}$ 剪枝。
本质上看，**我们的目标是在某一轮选择中，保证多个相等的元素仅被选择一次**。
![重复排列剪枝](permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning.png)
@@ -707,21 +718,19 @@ comments: true
[class]{}-[func]{permutationsII}
```
假设元素两两之间互不相同，则 $n$ 个元素共有 $n!$ 种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 $n$ 的列表，使用 $O(n)$ 时间。因此，**时间复杂度为 $O(n!n)$** 。
最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。`selected` 使用 $O(n)$ 空间。同一时刻最多共有 $n$ 个 `duplicated` ，使用 $O(n^2)$ 空间。**因此空间复杂度为 $O(n^2)$** 。
### 两种剪枝对比
注意，虽然 `selected` 和 `duplicated` 都起到剪枝的作用，但他们剪掉的是不同的分支：
请注意，虽然 `selected` 和 `duplicated` 都用作剪枝，但两者的目标不同：
- **剪枝条件一**：整个搜索过程中只有一个 `selected` 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在 `state` 中重复出现。
- **剪枝条件二**：每轮选择（即每个开启的 `backtrack` 函数）都包含一个 `duplicated` 。它记录的是在遍历中哪些元素已被选择过，作用是保证相等元素只被选择一次，以避免产生重复的搜索分支。
- **重复选择剪枝**：整个搜索过程中只有一个 `selected` 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在 `state` 中重复出现。
- **相等元素剪枝**：每轮选择（即每个开启的 `backtrack` 函数）都包含一个 `duplicated` 。它记录的是在遍历中哪些元素已被选择过，作用是保证相等元素只被选择一次。
下图展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。
![两种剪枝条件的作用范围](permutations_problem.assets/permutations_ii_pruning_summary.png)
<p align="center"> Fig. 两种剪枝条件的作用范围 </p>
### 复杂度分析
假设元素两两之间互不相同，则 $n$ 个元素共有 $n!$ 种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 $n$ 的列表，使用 $O(n)$ 时间。因此，**时间复杂度为 $O(n!n)$** 。
最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。`selected` 使用 $O(n)$ 空间。同一时刻最多共有 $n$ 个 `duplicated` ，使用 $O(n^2)$ 空间。因此，**全排列 I 的空间复杂度为 $O(n)$ ，全排列 II 的空间复杂度为 $O(n^2)$** 。
chapter_backtracking/subset_sum_problem.md
+33 -18
View File
@@ -10,13 +10,16 @@ comments: true
给定一个正整数数组 `nums` 和一个目标正整数 `target` ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 `target` 。给定数组无重复元素，每个元素可以被选取多次。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。
例如，输入集合 $\{3, 4, 5\}$ 和目标整数 $9$ ，由于集合中的数字可以被重复选取，因此解为 $\{3, 3, 3\}, \{4, 5\}$ 。请注意，子集是不区分元素顺序的，例如 $\{4, 5\}$ 和 $\{5, 4\}$ 是同一个子集。
例如，输入集合 $\{3, 4, 5\}$ 和目标整数 $9$ ，解为 $\{3, 3, 3\}, \{4, 5\}$ 。需要注意两点：
### 从全排列引出解法
- 输入集合中的元素可以被无限次重复选取。
- 子集是不区分元素顺序的，比如 $\{4, 5\}$ 和 $\{5, 4\}$ 是同一个子集。
类似于上节全排列问题的解法，我们可以把子集的生成过程想象成一系列选择的结果，并在选择过程中实时更新“元素和”，当元素和等于 `target` 时，就将子集记录至结果列表。
### 参考全排列解法
而与全排列问题不同的是，本题允许重复选取同一元素，因此无需借助 `selected` 布尔列表来记录元素是否已被选择。我们可以对全排列代码进行小幅修改，初步得到解题代码。
类似于全排列问题，我们可以把子集的生成过程想象成一系列选择的结果，并在选择过程中实时更新“元素和”，当元素和等于 `target` 时，就将子集记录至结果列表。
而与全排列问题不同的是，**本题集合中的元素可以被无限次选取**，因此无需借助 `selected` 布尔列表来记录元素是否已被选择。我们可以对全排列代码进行小幅修改，初步得到解题代码。
=== "Java"
@@ -270,36 +273,46 @@ comments: true
[class]{}-[func]{subsetSumINaive}
```
向以上代码输入数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ ，输出结果为 $[3, 3, 3], [4, 5], [5, 4]$ 。**虽然成功找出了所有和为 $9$ 的子集，但其中存在重复的子集 $[4, 5]$ 和 $[5, 4]$** 。这是因为搜索过程是区分选择顺序的，如下图所示，先选 $4$ 后选 $5$ 与先选 $5$ 后选 $4$ 是两种不同的情况。
向以上代码输入数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ ，输出结果为 $[3, 3, 3], [4, 5], [5, 4]$ 。**虽然成功找出了所有和为 $9$ 的子集，但其中存在重复的子集 $[4, 5]$ 和 $[5, 4]$** 。
这是因为搜索过程是区分选择顺序的，然而子集不区分选择顺序。如下图所示，先选 $4$ 后选 $5$ 与先选 $5$ 后选 $4$ 是两个不同的分支，但两者对应同一个子集。
![子集搜索与越界剪枝](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_naive.png)
<p align="center"> Fig. 子集搜索与越界剪枝 </p>
### 重复子集剪枝
为了去除重复子集，**一种直接的思路是对结果列表进行去重**。但这个方法效率很低，因为：
- 当数组元素较多，尤其是当 `target` 较大时，搜索过程会产生大量的重复子集。
- 比较子集（数组）的异同是很耗时的，需要先排序数组，再比较数组中每个元素的异同。
- 比较子集（数组）的异同非常耗时，需要先排序数组，再比较数组中每个元素的异同。
为了达到最佳效率，**我们希望在搜索过程中通过剪枝进行去重**。观察下图，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，具体来看：
### 重复子集剪枝
**我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重**。观察下图，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，具体来看：
1. 第一轮和第二轮分别选择 $3$ , $4$ ，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 $[3, 4, \cdots]$ 。
2. 若第一轮选择 $4$ ，**则第二轮应该跳过 $3$** ，因为该选择产生的子集 $[4, 3, \cdots]$ 和 `1.` 中提到的子集完全重复。
3. 同理，若第一轮选择 $5$ ，**则第二轮应该跳过 $3$ 和 $4$** ，因为子集 $[5, 3, \cdots]$ 和子集 $[5, 4, \cdots]$ 和之前的子集重复。
2. 若第一轮选择 $4$ ，**则第二轮应该跳过 $3$** ，因为该选择产生的子集 $[4, 3, \cdots]$ 和 `1.` 中生成的子集完全重复。
分支越靠右，需要排除的分支也越多，例如：
1. 前两轮选择 $3$ , $5$ ，生成子集 $[3, 5, \cdots]$ ；
2. 前两轮选择 $4$ , $5$ ，生成子集 $[4, 5, \cdots]$ ；
3. 若第一轮选择 $5$ ，**则第二轮应该跳过 $3$ 和 $4$** ，因为子集 $[5, 3, \cdots]$ 和子集 $[5, 4, \cdots]$ 和 `1.` , `2.` 中生成的子集完全重复。
![不同选择顺序导致的重复子集](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_pruning.png)
<p align="center"> Fig. 不同选择顺序导致的重复子集 </p>
总结来看，给定输入数组 $[x_1, x_2, \cdots, x_n]$ ，设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \cdots , x_{i_m}]$ ，则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_m$ 。**不满足该条件的选择序列都是重复子集**。
总结来看，给定输入数组 $[x_1, x_2, \cdots, x_n]$ ，设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \cdots , x_{i_m}]$ ，则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_m$ ，**不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝**。
### 代码实现
为实现该剪枝，我们初始化变量 `start` ，用于指示遍历起点。**当做出选择 $x_{i}$ 后，设定下一轮从索引 $i$ 开始遍历**，从而完成子集去重。
为实现该剪枝，我们初始化变量 `start` ，用于指示遍历起点。**当做出选择 $x_{i}$ 后，设定下一轮从索引 $i$ 开始遍历**。这样做就可以让选择序列满足 $i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_m$ ，从而保证子集唯一。
除此之外，我们还对代码进行了两项优化。首先，我们在开启搜索前将数组 `nums` 排序，在搜索过程中，**当子集和超过 `target` 时直接结束循环**，因为后边的元素更大，其子集和都一定会超过 `target` 。其次，**我们通过在 `target` 上执行减法来统计元素和**，当 `target` 等于 $0$ 时记录解，省去了元素和变量 `total` 。
除此之外，我们还对代码进行了两项优化：
- 在开启搜索前，先将数组 `nums` 排序。在遍历所有选择时，**当子集和超过 `target` 时直接结束循环**，因为后边的元素更大，其子集和都一定会超过 `target` 。
- 省去元素和变量 `total`，**通过在 `target` 上执行减法来统计元素和**，当 `target` 等于 $0$ 时记录解。
=== "Java"
@@ -579,7 +592,9 @@ comments: true
给定一个正整数数组 `nums` 和一个目标正整数 `target` ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 `target` 。**给定数组可能包含重复元素，每个元素只可被选择一次**。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。
相比于上题，**本题的输入数组可能包含重复元素**，这引入了新的问题。例如，给定数组 $[4, \hat{4}, 5]$ 和目标元素 $9$ ，则现有代码的输出结果为 $[4, 5], [\hat{4}, 5]$ ，也出现了重复子集。**造成这种重复的原因是相等元素在某轮中被多次选择**。如下图所示，第一轮共有三个选择，其中两个都为 $4$ ，会产生两个重复的搜索分支，从而输出重复子集；同理，第二轮的两个 $4$ 也会产生重复子集。
相比于上题，**本题的输入数组可能包含重复元素**，这引入了新的问题。例如，给定数组 $[4, \hat{4}, 5]$ 和目标元素 $9$ ，则现有代码的输出结果为 $[4, 5], [\hat{4}, 5]$ ，出现了重复子集。
**造成这种重复的原因是相等元素在某轮中被多次选择**。如下图所示，第一轮共有三个选择，其中两个都为 $4$ ，会产生两个重复的搜索分支，从而输出重复子集；同理，第二轮的两个 $4$ 也会产生重复子集。
![相等元素导致的重复子集](subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii_repeat.png)
@@ -587,9 +602,9 @@ comments: true
### 相等元素剪枝
为解决此问题，**我们需要限制相等元素在每一轮中只被选择一次**。实现方式比较巧妙：由于数组是已排序的，因此相等元素都是相邻的。利用该特性，在某轮选择中，若当前元素与其左边元素相等，则说明它已经被选择过，因此直接跳过当前元素。
为解决此问题，**我们需要限制相等元素在每一轮中只被选择一次**。实现方式比较巧妙：由于数组是已排序的，因此相等元素都是相邻的。这意味着在某轮选择中，若当前元素与其左边元素相等，则说明它已经被选择过，因此直接跳过当前元素。
与此同时，**本题规定数组元素只能被选择一次**。幸运的是，我们也可以利用变量 `start` 来满足该约束：当做出选择 $x_{i}$ 后，设定下一轮从索引 $i + 1$ 开始向后遍历。这样即能去除重复子集，也能避免重复选择相等元素。
与此同时，**本题规定中的每个数组元素只能被选择一次**。幸运的是，我们也可以利用变量 `start` 来满足该约束：当做出选择 $x_{i}$ 后，设定下一轮从索引 $i + 1$ 开始向后遍历。这样即能去除重复子集，也能避免重复选择元素。
### 代码实现
@@ -888,7 +903,7 @@ comments: true
[class]{}-[func]{subsetSumII}
```
下图展示了数组 $[4, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 的回溯过程，共包含四种剪枝操作。建议你将图示与代码注释相结合，理解整个搜索过程，以及每种剪枝操作是如何工作的。
下图展示了数组 $[4, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 的回溯过程，共包含四种剪枝操作。请你将图示与代码注释相结合，理解整个搜索过程，以及每种剪枝操作是如何工作的。
![子集和 II 回溯过程](subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii.png)