build

chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md

@@ -1693,7 +1693,7 @@ comments: true
 - **时间**：回溯算法通常需要遍历状态空间的所有可能，时间复杂度可以达到指数阶或阶乘阶。
 - **空间**：在递归调用中需要保存当前的状态（例如路径、用于剪枝的辅助变量等），当深度很大时，空间需求可能会变得很大。
 
-即便如此，**回溯算法仍然是某些搜索问题和约束满足问题的最佳解决方案**。对于这些问题，由于无法预测哪些选择可生成有效的解，因此我们必须对所有可能的选择进行遍历。在这种情况下，**关键是如何进行效率优化**，常见方法有：
+即便如此，**回溯算法仍然是某些搜索问题和约束满足问题的最佳解决方案**。对于这些问题，由于无法预测哪些选择可生成有效的解，因此我们必须对所有可能的选择进行遍历。在这种情况下，**关键是如何进行效率优化**，常见的效率优化方法有两种。
 
 - **剪枝**：避免搜索那些肯定不会产生解的路径，从而节省时间和空间。
 - **启发式搜索**：在搜索过程中引入一些策略或者估计值，从而优先搜索最有可能产生有效解的路径。
@@ -1720,7 +1720,7 @@ comments: true
 - 旅行商问题：在一个图中，从一个点出发，访问所有其他点恰好一次后返回起点，求最短路径。
 - 最大团问题：给定一个无向图，找到最大的完全子图，即子图中的任意两个顶点之间都有边相连。
 
-请注意，对于许多组合优化问题，回溯都不是最优解决方案，例如：
+请注意，对于许多组合优化问题，回溯都不是最优解决方案。
 
 - 0-1 背包问题通常使用动态规划解决，以达到更高的时间效率。
 - 旅行商是一个著名的 NP-Hard 问题，常用解法有遗传算法和蚁群算法等。

chapter_backtracking/n_queens_problem.md

@@ -614,6 +614,6 @@ comments: true
     }
     ```
 
-逐行放置 $n$ 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 $n, n-1, \dots, 2, 1$ 个选择，**因此时间复杂度为 $O(n!)$** 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。
+逐行放置 $n$ 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 $n$、$n-1$、$\dots$、$2$、$1$ 个选择，**因此时间复杂度为 $O(n!)$** 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。
 
-数组 `state` 使用 $O(n^2)$ 空间，数组 `cols` , `diags1` , `diags2` 皆使用 $O(n)$ 空间。最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。因此，**空间复杂度为 $O(n^2)$** 。
+数组 `state` 使用 $O(n^2)$ 空间，数组 `cols`、`diags1` 和 `diags2` 皆使用 $O(n)$ 空间。最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。因此，**空间复杂度为 $O(n^2)$** 。

chapter_backtracking/permutations_problem.md

@@ -26,7 +26,7 @@ comments: true
 
     输入一个整数数组，数组中不包含重复元素，返回所有可能的排列。
 
-从回溯算法的角度看，**我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果**。假设输入数组为 $[1, 2, 3]$ ，如果我们先选择 $1$ 、再选择 $3$ 、最后选择 $2$ ，则获得排列 $[1, 3, 2]$ 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。
+从回溯算法的角度看，**我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果**。假设输入数组为 $[1, 2, 3]$ ，如果我们先选择 $1$、再选择 $3$、最后选择 $2$ ，则获得排列 $[1, 3, 2]$ 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。
 
 从回溯代码的角度看，候选集合 `choices` 是输入数组中的所有元素，状态 `state` 是直至目前已被选择的元素。请注意，每个元素只允许被选择一次，**因此 `state` 中的所有元素都应该是唯一的**。
 
@@ -38,12 +38,12 @@ comments: true
 
 ### 1.   重复选择剪枝
 
-为了实现每个元素只被选择一次，我们考虑引入一个布尔型数组 `selected` ，其中 `selected[i]` 表示 `choices[i]` 是否已被选择。剪枝的实现原理为：
+为了实现每个元素只被选择一次，我们考虑引入一个布尔型数组 `selected` ，其中 `selected[i]` 表示 `choices[i]` 是否已被选择，并基于它实现以下剪枝操作。
 
 - 在做出选择 `choice[i]` 后，我们就将 `selected[i]` 赋值为 $\text{True}$ ，代表它已被选择。
 - 遍历选择列表 `choices` 时，跳过所有已被选择过的节点，即剪枝。
 
-如图 13-6 所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。
+如图 13-6 所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1 和元素 3 的分支。
 
 ![全排列剪枝示例](permutations_problem.assets/permutations_i_pruning.png)
 
@@ -907,7 +907,7 @@ comments: true
 
 ### 3.   两种剪枝对比
 
-请注意，虽然 `selected` 和 `duplicated` 都用作剪枝，但两者的目标不同：
+请注意，虽然 `selected` 和 `duplicated` 都用作剪枝，但两者的目标是不同的。
 
 - **重复选择剪枝**：整个搜索过程中只有一个 `selected` 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在 `state` 中重复出现。
 - **相等元素剪枝**：每轮选择（即每个开启的 `backtrack` 函数）都包含一个 `duplicated` 。它记录的是在遍历中哪些元素已被选择过，作用是保证相等元素只被选择一次。

chapter_backtracking/subset_sum_problem.md

@@ -10,7 +10,7 @@ comments: true
 
     给定一个正整数数组 `nums` 和一个目标正整数 `target` ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 `target` 。给定数组无重复元素，每个元素可以被选取多次。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。
 
-例如，输入集合 $\{3, 4, 5\}$ 和目标整数 $9$ ，解为 $\{3, 3, 3\}, \{4, 5\}$ 。需要注意两点：
+例如，输入集合 $\{3, 4, 5\}$ 和目标整数 $9$ ，解为 $\{3, 3, 3\}, \{4, 5\}$ 。需要注意以下两点。
 
 - 输入集合中的元素可以被无限次重复选取。
 - 子集是不区分元素顺序的，比如 $\{4, 5\}$ 和 $\{5, 4\}$ 是同一个子集。
@@ -440,35 +440,35 @@ comments: true
 
 <p align="center"> 图 13-10 &nbsp; 子集搜索与越界剪枝 </p>
 
-为了去除重复子集，**一种直接的思路是对结果列表进行去重**。但这个方法效率很低，因为：
+为了去除重复子集，**一种直接的思路是对结果列表进行去重**。但这个方法效率很低，有两方面原因。
 
 - 当数组元素较多，尤其是当 `target` 较大时，搜索过程会产生大量的重复子集。
 - 比较子集（数组）的异同非常耗时，需要先排序数组，再比较数组中每个元素的异同。
 
 ### 2. &nbsp; 重复子集剪枝
 
-**我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重**。观察图 13-11 ，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，具体来看：
+**我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重**。观察图 13-11 ，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，例如以下情况。
 
-1. 第一轮和第二轮分别选择 $3$ , $4$ ，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 $[3, 4, \dots]$ 。
-2. 若第一轮选择 $4$ ，**则第二轮应该跳过 $3$** ，因为该选择产生的子集 $[4, 3, \dots]$ 和 `1.` 中生成的子集完全重复。
+1. 当第一轮和第二轮分别选择 $3$ 和 $4$ 时，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 $[3, 4, \dots]$ 。
+2. 之后，当第一轮选择 $4$ 时，**则第二轮应该跳过 $3$** ，因为该选择产生的子集 $[4, 3, \dots]$ 和 `1.` 中生成的子集完全重复。
 
-如图 13-11 所示，每一层的选择都是从左到右被逐个尝试的，因此越靠右剪枝越多。
+在搜索中，每一层的选择都是从左到右被逐个尝试的，因此越靠右的分支被剪掉的越多。
 
-1. 前两轮选择 $3$ , $5$ ，生成子集 $[3, 5, \dots]$ 。
-2. 前两轮选择 $4$ , $5$ ，生成子集 $[4, 5, \dots]$ 。
-3. 若第一轮选择 $5$ ，**则第二轮应该跳过 $3$ 和 $4$** ，因为子集 $[5, 3, \dots]$ 和子集 $[5, 4, \dots]$ 和 `1.` , `2.` 中描述的子集完全重复。
+1. 前两轮选择 $3$ 和 $5$ ，生成子集 $[3, 5, \dots]$ 。
+2. 前两轮选择 $4$ 和 $5$ ，生成子集 $[4, 5, \dots]$ 。
+3. 若第一轮选择 $5$ ，**则第二轮应该跳过 $3$ 和 $4$** ，因为子集 $[5, 3, \dots]$ 和 $[5, 4, \dots]$ 与第 `1.` 和 `2.` 步中描述的子集完全重复。
 
 ![不同选择顺序导致的重复子集](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_pruning.png)
 
 <p align="center"> 图 13-11 &nbsp; 不同选择顺序导致的重复子集 </p>
 
-总结来看，给定输入数组 $[x_1, x_2, \dots, x_n]$ ，设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \dots , x_{i_m}]$ ，则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$ ，**不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝**。
+总结来看，给定输入数组 $[x_1, x_2, \dots, x_n]$ ，设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_m}]$ ，则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$ ，**不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝**。
 
 ### 3. &nbsp; 代码实现
 
 为实现该剪枝，我们初始化变量 `start` ，用于指示遍历起点。**当做出选择 $x_{i}$ 后，设定下一轮从索引 $i$ 开始遍历**。这样做就可以让选择序列满足 $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$ ，从而保证子集唯一。
 
-除此之外，我们还对代码进行了两项优化：
+除此之外，我们还对代码进行了以下两项优化。
 
 - 在开启搜索前，先将数组 `nums` 排序。在遍历所有选择时，**当子集和超过 `target` 时直接结束循环**，因为后边的元素更大，其子集和都一定会超过 `target` 。
 - 省去元素和变量 `total`，**通过在 `target` 上执行减法来统计元素和**，当 `target` 等于 $0$ 时记录解。