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chapter_backtracking/subset_sum_problem.md

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     给定一个正整数数组 `nums` 和一个目标正整数 `target` ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 `target` 。给定数组无重复元素，每个元素可以被选取多次。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。
 
-例如，输入集合 $\{3, 4, 5\}$ 和目标整数 $9$ ，解为 $\{3, 3, 3\}, \{4, 5\}$ 。需要注意两点：
+例如，输入集合 $\{3, 4, 5\}$ 和目标整数 $9$ ，解为 $\{3, 3, 3\}, \{4, 5\}$ 。需要注意以下两点。
 
 - 输入集合中的元素可以被无限次重复选取。
 - 子集是不区分元素顺序的，比如 $\{4, 5\}$ 和 $\{5, 4\}$ 是同一个子集。
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 <p align="center"> 图 13-10 &nbsp; 子集搜索与越界剪枝 </p>
 
-为了去除重复子集，**一种直接的思路是对结果列表进行去重**。但这个方法效率很低，因为：
+为了去除重复子集，**一种直接的思路是对结果列表进行去重**。但这个方法效率很低，有两方面原因。
 
 - 当数组元素较多，尤其是当 `target` 较大时，搜索过程会产生大量的重复子集。
 - 比较子集（数组）的异同非常耗时，需要先排序数组，再比较数组中每个元素的异同。
 
 ### 2. &nbsp; 重复子集剪枝
 
-**我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重**。观察图 13-11 ，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，具体来看：
+**我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重**。观察图 13-11 ，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，例如以下情况。
 
-1. 第一轮和第二轮分别选择 $3$ , $4$ ，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 $[3, 4, \dots]$ 。
-2. 若第一轮选择 $4$ ，**则第二轮应该跳过 $3$** ，因为该选择产生的子集 $[4, 3, \dots]$ 和 `1.` 中生成的子集完全重复。
+1. 当第一轮和第二轮分别选择 $3$ 和 $4$ 时，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 $[3, 4, \dots]$ 。
+2. 之后，当第一轮选择 $4$ 时，**则第二轮应该跳过 $3$** ，因为该选择产生的子集 $[4, 3, \dots]$ 和 `1.` 中生成的子集完全重复。
 
-如图 13-11 所示，每一层的选择都是从左到右被逐个尝试的，因此越靠右剪枝越多。
+在搜索中，每一层的选择都是从左到右被逐个尝试的，因此越靠右的分支被剪掉的越多。
 
-1. 前两轮选择 $3$ , $5$ ，生成子集 $[3, 5, \dots]$ 。
-2. 前两轮选择 $4$ , $5$ ，生成子集 $[4, 5, \dots]$ 。
-3. 若第一轮选择 $5$ ，**则第二轮应该跳过 $3$ 和 $4$** ，因为子集 $[5, 3, \dots]$ 和子集 $[5, 4, \dots]$ 和 `1.` , `2.` 中描述的子集完全重复。
+1. 前两轮选择 $3$ 和 $5$ ，生成子集 $[3, 5, \dots]$ 。
+2. 前两轮选择 $4$ 和 $5$ ，生成子集 $[4, 5, \dots]$ 。
+3. 若第一轮选择 $5$ ，**则第二轮应该跳过 $3$ 和 $4$** ，因为子集 $[5, 3, \dots]$ 和 $[5, 4, \dots]$ 与第 `1.` 和 `2.` 步中描述的子集完全重复。
 
 ![不同选择顺序导致的重复子集](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_pruning.png)
 
 <p align="center"> 图 13-11 &nbsp; 不同选择顺序导致的重复子集 </p>
 
-总结来看，给定输入数组 $[x_1, x_2, \dots, x_n]$ ，设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \dots , x_{i_m}]$ ，则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$ ，**不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝**。
+总结来看，给定输入数组 $[x_1, x_2, \dots, x_n]$ ，设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_m}]$ ，则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$ ，**不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝**。
 
 ### 3. &nbsp; 代码实现
 
 为实现该剪枝，我们初始化变量 `start` ，用于指示遍历起点。**当做出选择 $x_{i}$ 后，设定下一轮从索引 $i$ 开始遍历**。这样做就可以让选择序列满足 $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$ ，从而保证子集唯一。
 
-除此之外，我们还对代码进行了两项优化：
+除此之外，我们还对代码进行了以下两项优化。
 
 - 在开启搜索前，先将数组 `nums` 排序。在遍历所有选择时，**当子集和超过 `target` 时直接结束循环**，因为后边的元素更大，其子集和都一定会超过 `target` 。
 - 省去元素和变量 `total`，**通过在 `target` 上执行减法来统计元素和**，当 `target` 等于 $0$ 时记录解。