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chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md

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 # 12.2   分治搜索策略
 
-我们已经学过，搜索算法分为两大类：
+我们已经学过，搜索算法分为两大类。
 
 - **暴力搜索**：它通过遍历数据结构实现，时间复杂度为 $O(n)$ 。
 - **自适应搜索**：它利用特有的数据组织形式或先验信息，可达到 $O(\log n)$ 甚至 $O(1)$ 的时间复杂度。
 
-实际上，**时间复杂度为 $O(\log n)$ 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的**，例如：
+实际上，**时间复杂度为 $O(\log n)$ 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的**，例如二分查找和树。
 
 - 二分查找的每一步都将问题（在数组中搜索目标元素）分解为一个小问题（在数组的一半中搜索目标元素），这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。
 - 树是分治关系的代表，在二叉搜索树、AVL 树、堆等数据结构中，各种操作的时间复杂度皆为 $O(\log n)$ 。
 
-以二分查找为例：
+二分查找的分治策略如下所示。
 
 - **问题可以被分解**：二分查找递归地将原问题（在数组中进行查找）分解为子问题（在数组的一半中进行查找），这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。
 - **子问题是独立的**：在二分查找中，每轮只处理一个子问题，它不受另外子问题的影响。
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 从分治角度，我们将搜索区间 $[i, j]$ 对应的子问题记为 $f(i, j)$ 。
 
-从原问题 $f(0, n-1)$ 为起始点，二分查找的分治步骤为：
+从原问题 $f(0, n-1)$ 为起始点，通过以下步骤进行二分查找。
 
 1. 计算搜索区间 $[i, j]$ 的中点 $m$ ，根据它排除一半搜索区间。
 2. 递归求解规模减小一半的子问题，可能为 $f(i, m-1)$ 或 $f(m+1, j)$ 。
-3. 循环第 `1.` , `2.` 步，直至找到 `target` 或区间为空时返回。
+3. 循环第 `1.` 和 `2.` 步，直至找到 `target` 或区间为空时返回。
 
 图 12-4 展示了在数组中二分查找元素 $6$ 的分治过程。
 

chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md

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 ### 1.   判断是否为分治问题
 
-原问题定义为从 `preorder` 和 `inorder` 构建二叉树。我们首先从分治的角度分析这道题：
+原问题定义为从 `preorder` 和 `inorder` 构建二叉树，其是一个典型的分治问题。
 
 - **问题可以被分解**：从分治的角度切入，我们可以将原问题划分为两个子问题：构建左子树、构建右子树，加上一步操作：初始化根节点。而对于每个子树（子问题），我们仍然可以复用以上划分方法，将其划分为更小的子树（子问题），直至达到最小子问题（空子树）时终止。
 - **子问题是独立的**：左子树和右子树是相互独立的，它们之间没有交集。在构建左子树时，我们只需要关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。
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 ### 2.   如何划分子树
 
-根据以上分析，这道题是可以使用分治来求解的，但问题是：**如何通过前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` 来划分左子树和右子树呢**？
+根据以上分析，这道题是可以使用分治来求解的，**但如何通过前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` 来划分左子树和右子树呢**？
 
-根据定义，`preorder` 和 `inorder` 都可以被划分为三个部分：
+根据定义，`preorder` 和 `inorder` 都可以被划分为三个部分。
 
 - 前序遍历：`[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]` ，例如图 12-5 的树对应 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。
 - 中序遍历：`[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]` ，例如图 12-5 的树对应 `[ 9 | 3 | 1 2 7 ]` 。
 
-以上图数据为例，我们可以通过图 12-6 所示的步骤得到划分结果：
+以上图数据为例，我们可以通过图 12-6 所示的步骤得到划分结果。
 
 1. 前序遍历的首元素 3 是根节点的值。
 2. 查找根节点 3 在 `inorder` 中的索引，利用该索引可将 `inorder` 划分为 `[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]` 。
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 ### 3.   基于变量描述子树区间
 
-根据以上划分方法，**我们已经得到根节点、左子树、右子树在 `preorder` 和 `inorder` 中的索引区间**。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量：
+根据以上划分方法，**我们已经得到根节点、左子树、右子树在 `preorder` 和 `inorder` 中的索引区间**。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量。
 
 - 将当前树的根节点在 `preorder` 中的索引记为 $i$ 。
 - 将当前树的根节点在 `inorder` 中的索引记为 $m$ 。

chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer.md

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 # 12.1   分治算法
 
-「分治 divide and conquer」，全称分而治之，是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两步：
+「分治 divide and conquer」，全称分而治之，是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两个步骤。
 
 1. **分（划分阶段）**：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止。
 2. **治（合并阶段）**：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解。
 
-如图 12-1 所示，“归并排序”是分治策略的典型应用之一，其算法原理为：
+如图 12-1 所示，“归并排序”是分治策略的典型应用之一。
 
 1. **分**：递归地将原数组（原问题）划分为两个子数组（子问题），直到子数组只剩一个元素（最小子问题）。
 2. **治**：从底至顶地将有序的子数组（子问题的解）进行合并，从而得到有序的原数组（原问题的解）。
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 ## 12.1.1   如何判断分治问题
 
-一个问题是否适合使用分治解决，通常可以参考以下几个判断依据：
+一个问题是否适合使用分治解决，通常可以参考以下几个判断依据。
 
 1. **问题可以被分解**：原问题可以被分解成规模更小、类似的子问题，以及能够以相同方式递归地进行划分。
 2. **子问题是独立的**：子问题之间是没有重叠的，互相没有依赖，可以被独立解决。
 3. **子问题的解可以被合并**：原问题的解通过合并子问题的解得来。
 
-显然归并排序，满足以上三条判断依据：
+显然，归并排序是满足以上三条判断依据的。
 
-1. 递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题）。
-2. 每个子数组都可以独立地进行排序（子问题可以独立进行求解）。
-3. 两个有序子数组（子问题的解）可以被合并为一个有序数组（原问题的解）。
+1. **问题可以被分解**：递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题）。
+2. **子问题是独立的**：每个子数组都可以独立地进行排序（子问题可以独立进行求解）。
+3. **子问题的解可以被合并**：两个有序子数组（子问题的解）可以被合并为一个有序数组（原问题的解）。
 
 ## 12.1.2   通过分治提升效率
 
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 ## 12.1.3   分治常见应用
 
-一方面，分治可以用来解决许多经典算法问题：
+一方面，分治可以用来解决许多经典算法问题。
 
 - **寻找最近点对**：该算法首先将点集分成两部分，然后分别找出两部分中的最近点对，最后再找出跨越两部分的最近点对。
 - **大整数乘法**：例如 Karatsuba 算法，它是将大整数乘法分解为几个较小的整数的乘法和加法。
@@ -89,7 +89,7 @@ $$
 - **汉诺塔问题**：汉诺塔问题可以视为典型的分治策略，通过递归解决。
 - **求解逆序对**：在一个序列中，如果前面的数字大于后面的数字，那么这两个数字构成一个逆序对。求解逆序对问题可以通过分治的思想，借助归并排序进行求解。
 
-另一方面，分治在算法和数据结构的设计中应用非常广泛，举几个已经学过的例子：
+另一方面，分治在算法和数据结构的设计中应用非常广泛。
 
 - **二分查找**：二分查找是将有序数组从中点索引分为两部分，然后根据目标值与中间元素值比较结果，决定排除哪一半区间，然后在剩余区间执行相同的二分操作。
 - **归并排序**：文章开头已介绍，不再赘述。

chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md

@@ -9,7 +9,7 @@ status: new
 
 !!! question
 
-    给定三根柱子，记为 `A` , `B` , `C` 。起始状态下，柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则：
+    给定三根柱子，记为 `A`、`B` 和 `C` 。起始状态下，柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则。
     
     1. 圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入。
     2. 每次只能移动一个圆盘。
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 本质上看，**我们将问题 $f(3)$ 划分为两个子问题 $f(2)$ 和子问题 $f(1)$** 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解是可以合并的。
 
-至此，我们可总结出图 12-13 所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ 。子问题的解决顺序为：
+至此，我们可总结出图 12-13 所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ ，并按照以下顺序解决这三个子问题。
 
 1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `C` 从 `A` 移至 `B` 。
 2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 `A` 直接移至 `C` 。