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chapter_graph/graph.md

@@ -46,7 +46,7 @@ $$
 
 <p align="center"> 图 9-4 &nbsp; 有权图与无权图 </p>
 
-图的常用术语包括：
+图数据结构包含以下常用术语。
 
 - 「邻接 adjacency」：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。在图 9-4 中，顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。
 - 「路径 path」：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。在图 9-4 中，边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。
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 设图的顶点数量为 $n$ ，「邻接矩阵 adjacency matrix」使用一个 $n \times n$ 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 $1$ 或 $0$ 表示两个顶点之间是否存在边。
 
-如图 9-5 所示，设邻接矩阵为 $M$ 、顶点列表为 $V$ ，那么矩阵元素 $M[i, j] = 1$ 表示顶点 $V[i]$ 到顶点 $V[j]$ 之间存在边，反之 $M[i, j] = 0$ 表示两顶点之间无边。
+如图 9-5 所示，设邻接矩阵为 $M$、顶点列表为 $V$ ，那么矩阵元素 $M[i, j] = 1$ 表示顶点 $V[i]$ 到顶点 $V[j]$ 之间存在边，反之 $M[i, j] = 0$ 表示两顶点之间无边。
 
 ![图的邻接矩阵表示](graph.assets/adjacency_matrix.png)
 
 <p align="center"> 图 9-5 &nbsp; 图的邻接矩阵表示 </p>
 
-邻接矩阵具有以下特性：
+邻接矩阵具有以下特性。
 
 - 顶点不能与自身相连，因此邻接矩阵主对角线元素没有意义。
 - 对于无向图，两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。
-- 将邻接矩阵的元素从 $1$ , $0$ 替换为权重，则可表示有权图。
+- 将邻接矩阵的元素从 $1$ 和 $0$ 替换为权重，则可表示有权图。
 
 使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 $O(1)$ 。然而，矩阵的空间复杂度为 $O(n^2)$ ，内存占用较多。
 

chapter_graph/graph_operations.md

@@ -1126,7 +1126,7 @@ comments: true
 
 ## 9.2.2   基于邻接表的实现
 
-设无向图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则可根据图 9-8 所示的方法实现各种操作。
+设无向图的顶点总数为 $n$、边总数为 $m$ ，则可根据图 9-8 所示的方法实现各种操作。
 
 - **添加边**：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 $O(1)$ 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
 - **删除边**：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 $O(m)$ 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
@@ -1151,11 +1151,11 @@ comments: true
 
 <p align="center"> 图 9-8 &nbsp; 邻接表的初始化、增删边、增删顶点 </p>
 
-以下是基于邻接表实现图的代码示例。细心的同学可能注意到，**我们在邻接表中使用 `Vertex` 节点类来表示顶点**，这样做的原因有：
+以下是基于邻接表实现图的代码示例。细心的同学可能注意到，**我们在邻接表中使用 `Vertex` 节点类来表示顶点**，而这样做是有原因的。
 
-- 如果我们选择通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。
-- 如果类似邻接矩阵那样，使用顶点列表索引来区分不同顶点。那么，假设我们想要删除索引为 $i$ 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 $> i$ 的索引全部减 $1$ ，这样操作效率较低。
-- 因此我们考虑引入顶点类 `Vertex` ，使得每个顶点都是唯一的对象，此时删除顶点时就无须改动其余顶点了。
+1. 如果我们选择通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。
+2. 如果类似邻接矩阵那样，使用顶点列表索引来区分不同顶点。那么，假设我们想要删除索引为 $i$ 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 $> i$ 的索引全部减 $1$ ，这样操作效率较低。
+3. 因此我们考虑引入顶点类 `Vertex` ，使得每个顶点都是唯一的对象，此时删除顶点时就无须改动其余顶点了。
 
 === "Java"
 

chapter_graph/graph_traversal.md

@@ -431,7 +431,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
 
 !!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？"
 
-    不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的**。以图 9-10 为例，顶点 $1$ , $3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$ , $4$ , $6$ 的访问顺序也可以任意交换。
+    不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的**。以图 9-10 为例，顶点 $1$、$3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$、$4$、$6$ 的访问顺序也可以任意交换。
 
 ### 2.   复杂度分析
 
@@ -797,7 +797,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
     }
     ```
 
-深度优先遍历的算法流程如图 9-12 所示，其中：
+深度优先遍历的算法流程如图 9-12 所示。
 
 - **直虚线代表向下递推**，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。
 - **曲虚线代表向上回溯**，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置。