xinyin025/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2026-07-24 20:16:06 +00:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

build

Browse Source
This commit is contained in:
krahets
2026-04-14 18:06:14 +08:00
parent 065a978848
commit e53a7f2498
93 changed files with 565 additions and 570 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files
ru/docs/chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md
+18 -18
View File
File diff suppressed because one or more lines are too long
ru/docs/chapter_backtracking/index.md
+1 -1
View File
@@ -10,7 +10,7 @@ icon: material/map-marker-path
!!! abstract
Мы словно исследователи в лабиринте: на пути вперед могут встречаться тупики и трудности.
Сила возврата позволяет нам начать заново, пробовать снова и снова и в конце концов найти выход к свету.
## Содержание главы
ru/docs/chapter_backtracking/n_queens_problem.md
+2 -2
View File
@@ -6,7 +6,7 @@ comments: true
!!! question
Согласно правилам шахмат ферзь может атаковать фигуры, находящиеся с ним на одной строке, в одном столбце или на одной диагонали. Даны $n$ ферзей и шахматная доска размера $n \times n$ ; требуется найти такие расстановки, при которых ни одна пара ферзей не может атаковать друг друга.
Согласно правилам шахмат ферзь может атаковать фигуры, находящиеся с ним на одной строке, в одном столбце или на одной диагонали. Даны $n$ ферзей и шахматная доска размера $n \times n$. Требуется найти такие расстановки, при которых ни одна пара ферзей не может атаковать друг друга.
Как показано на рисунке 13-15, при $n = 4$ существует два решения. С точки зрения поиска с возвратом доска размера $n \times n$ содержит $n^2$ клеток, которые образуют все возможные выборы `choices` . По мере поочередного размещения ферзей состояние доски непрерывно меняется, и текущее содержимое доски образует состояние `state` .
@@ -26,7 +26,7 @@ comments: true
Иначе говоря, можно использовать построчную стратегию: начиная с первой строки, размещать по одному ферзю в каждой строке, пока не будет достигнута последняя.
На рисунке 13-17 показан процесс построчного размещения для задачи о 4 ферзях. Из-за ограничений размера изображения на нем раскрыта только одна ветвь поиска для первой строки, а все варианты, не удовлетворяющие ограничениям по столбцам и диагоналям, были отсечены.
На рисунке 13-17 показан процесс построчного размещения для задачи о 4 ферзях. Из-за ограничений размера изображения на рисунке 13-17 показана лишь одна ветвь поиска для первой строки, а все варианты, не удовлетворяющие ограничениям по столбцам и диагоналям, были отсечены.
![Построчная стратегия размещения](n_queens_problem.assets/n_queens_placing.png){ class="animation-figure" }
ru/docs/chapter_backtracking/permutations_problem.md
+5 -5
View File
@@ -26,7 +26,7 @@ comments: true
Дан массив целых чисел, в котором нет повторяющихся элементов. Верните все возможные перестановки.
С точки зрения поиска с возвратом **процесс построения перестановок можно представить как результат последовательности выборов**. Пусть входной массив равен $[1, 2, 3]$ ; если мы сначала выберем $1$ , затем $3$ , а потом $2$ , то получим перестановку $[1, 3, 2]$ . Откат здесь означает отмену одного из выборов с последующей попыткой других вариантов.
С точки зрения поиска с возвратом **процесс построения перестановок можно представить как результат последовательности выборов**. Пусть входной массив равен $[1, 2, 3]$. Если мы сначала выберем $1$ , затем $3$ , а потом $2$ , то получим перестановку $[1, 3, 2]$ . Откат здесь означает отмену одного из выборов с последующей попыткой других вариантов.
С точки зрения кода поиска с возвратом множество кандидатов `choices` состоит из всех элементов входного массива, а состояние `state` - из элементов, уже выбранных к текущему моменту. Поскольку каждый элемент разрешено выбирать только один раз, **все элементы в `state` должны быть уникальны**.
@@ -49,11 +49,11 @@ comments: true
<p align="center"> Рисунок 13-6 &nbsp; Пример обрезки в задаче о перестановках </p>
Из рисунка видно, что такая обрезка уменьшает размер пространства поиска с $O(n^n)$ до $O(n!)$ .
Как видно на рисунке 13-6, такая обрезка уменьшает размер пространства поиска с $O(n^n)$ до $O(n!)$ .
### 2. &nbsp; Реализация кода
После прояснения всей логики можно просто "заполнить пропуски" в шаблоне поиска с возвратом. Чтобы сократить общий объем кода, мы не будем отдельно реализовывать каждую функцию из каркаса, а раскроем их прямо внутри `backtrack()` :
После прояснения всей логики можно просто «заполнить пропуски» в шаблоне поиска с возвратом. Чтобы сократить общий объем кода, мы не будем отдельно реализовывать каждую функцию из каркаса, а раскроем их прямо внутри `backtrack()` :
=== "Python"
@@ -561,7 +561,7 @@ comments: true
### 1. &nbsp; Обрезка равных элементов
Посмотрите на рисунок 13-8: в первом раунде выбрать $1$ или выбрать $\hat{1}$ - это одно и то же, а значит, все перестановки, полученные из этих двух выборов, будут дублироваться. Поэтому ветвь $\hat{1}$ нужно отсечь.
Как видно на рисунке 13-8, в первом раунде выбрать $1$ или выбрать $\hat{1}$ - это одно и то же, а значит, все перестановки, полученные из этих двух выборов, будут дублироваться. Поэтому ветвь $\hat{1}$ нужно отсечь.
Точно так же, если в первом раунде выбрать $2$ , то во втором раунде выборы $1$ и $\hat{1}$ снова создадут дублирующиеся ветви, поэтому и в этом случае ветвь $\hat{1}$ нужно отсечь.
@@ -1090,7 +1090,7 @@ comments: true
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D%2C%20choices%3A%20list%5Bint%5D%2C%20selected%3A%20list%5Bbool%5D%2C%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%20%D0%B1%D1%8D%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B0%3A%20%D0%B2%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9A%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%20%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D1%83%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%2C%20%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20if%20len%28state%29%20%3D%3D%20len%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%20%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%85%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0%0A%20%20%20%20duplicated%20%3D%20set%5Bint%5D%28%29%0A%20%20%20%20for%20i%2C%20choice%20in%20enumerate%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9E%D1%82%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%3A%20%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D1%8F%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%20%D0%B8%20%D1%82%D0%BE%D1%82%20%D0%B6%D0%B5%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%20%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%20%D0%B8%20%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20selected%5Bi%5D%20and%20choice%20not%20in%20duplicated%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D1%8B%D1%82%D0%BA%D0%B0%3A%20%D1%81%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%20%D0%B8%20%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20duplicated.add%28choice%29%20%20%23%20%D0%97%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%83%D0%B6%D0%B5%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20True%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choice%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B9%D1%82%D0%B8%20%D0%BA%20%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D1%83%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%BC%D1%83%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D1%83%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state%2C%20choices%2C%20selected%2C%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9E%D1%82%D0%BA%D0%B0%D1%82%3A%20%D0%BE%D1%82%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%8B%D0%B4%D1%83%D1%89%D0%B5%D0%B5%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20False%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20permutations_ii%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%92%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20backtrack%28state%3D%5B%5D%2C%20choices%3Dnums%2C%20selected%3D%5BFalse%5D%20%2A%20len%28nums%29%2C%20res%3Dres%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%202%5D%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20permutations_ii%28nums%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%92%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%92%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=13&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D%2C%20choices%3A%20list%5Bint%5D%2C%20selected%3A%20list%5Bbool%5D%2C%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%20%D0%B1%D1%8D%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B0%3A%20%D0%B2%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9A%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%20%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D1%83%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%2C%20%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20if%20len%28state%29%20%3D%3D%20len%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%20%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%85%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0%0A%20%20%20%20duplicated%20%3D%20set%5Bint%5D%28%29%0A%20%20%20%20for%20i%2C%20choice%20in%20enumerate%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9E%D1%82%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%3A%20%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D1%8F%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%20%D0%B8%20%D1%82%D0%BE%D1%82%20%D0%B6%D0%B5%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%20%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%20%D0%B8%20%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20selected%5Bi%5D%20and%20choice%20not%20in%20duplicated%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D1%8B%D1%82%D0%BA%D0%B0%3A%20%D1%81%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%20%D0%B8%20%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20duplicated.add%28choice%29%20%20%23%20%D0%97%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%83%D0%B6%D0%B5%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20True%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choice%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B9%D1%82%D0%B8%20%D0%BA%20%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D1%83%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%BC%D1%83%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D1%83%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state%2C%20choices%2C%20selected%2C%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9E%D1%82%D0%BA%D0%B0%D1%82%3A%20%D0%BE%D1%82%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%8B%D0%B4%D1%83%D1%89%D0%B5%D0%B5%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20False%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20permutations_ii%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%92%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20backtrack%28state%3D%5B%5D%2C%20choices%3Dnums%2C%20selected%3D%5BFalse%5D%20%2A%20len%28nums%29%2C%20res%3Dres%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%202%5D%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20permutations_ii%28nums%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%92%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%92%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=13&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
Если предположить, что все элементы попарно различны, то из $n$ элементов можно получить $n!$ перестановок; при записи результата требуется копировать список длины $n$ , что занимает $O(n)$ времени. **Следовательно, временная сложность равна $O(n!n)$** .
Если предположить, что все элементы попарно различны, то из $n$ элементов можно получить $n!$ перестановок. При записи результата требуется копировать список длины $n$ , что занимает $O(n)$ времени. **Следовательно, временная сложность равна $O(n!n)$** .
Максимальная глубина рекурсии равна $n$ , что требует $O(n)$ стековой памяти. Массив `selected` занимает $O(n)$ пространства. Одновременно может существовать до $n$ хеш-множеств `duplicated` , что дает $O(n^2)$ памяти. **Следовательно, пространственная сложность равна $O(n^2)$** .
ru/docs/chapter_backtracking/subset_sum_problem.md
+7 -7
View File
@@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
!!! question
Дан массив положительных целых чисел `nums` и целое положительное значение `target` . Найдите все возможные комбинации, сумма элементов которых равна `target` . Во входном массиве нет повторяющихся элементов, и каждый элемент можно выбирать неограниченное число раз. Верните эти комбинации в виде списка; в результате не должно быть повторяющихся комбинаций.
Дан массив положительных целых чисел `nums` и целое положительное значение `target` . Найдите все возможные комбинации, сумма элементов которых равна `target` . Во входном массиве нет повторяющихся элементов, и каждый элемент можно выбирать неограниченное число раз. Верните эти комбинации в виде списка. В результате не должно быть повторяющихся комбинаций.
Например, для входного множества $\{3, 4, 5\}$ и целевого значения $9$ решениями будут $\{3, 3, 3\}$ и $\{4, 5\}$ . При этом важно учитывать два обстоятельства.
@@ -17,7 +17,7 @@ comments: true
### 1. &nbsp; Отталкиваемся от решения задачи о перестановках
Как и в задаче о перестановках, можно представлять построение подмножеств как результат последовательности выборов и во время выбора динамически обновлять "сумму элементов"; когда эта сумма становится равной `target` , соответствующее подмножество записывается в список результатов.
Как и в задаче о перестановках, можно представлять построение подмножеств как результат последовательности выборов и во время выбора динамически обновлять «сумму элементов». Когда эта сумма становится равной `target` , соответствующее подмножество записывается в список результатов.
Однако в отличие от задачи о перестановках **в этой задаче элементы множества можно выбирать неограниченное число раз**, поэтому нам не нужен булев список `selected` для записи того, был ли выбран элемент. Можно слегка изменить код для перестановок и получить первоначальную версию решения:
@@ -542,7 +542,7 @@ comments: true
### 2. &nbsp; Обрезка повторяющихся подмножеств
**Поэтому стоит выполнять устранение дубликатов прямо во время поиска, с помощью обрезки**. Посмотрите на рисунок 13-11: повторяющиеся подмножества возникают тогда, когда элементы массива выбираются в разном порядке, например так.
**Поэтому стоит выполнять устранение дубликатов прямо во время поиска, с помощью обрезки**. Как видно на рисунке 13-11, повторяющиеся подмножества возникают тогда, когда элементы массива выбираются в разном порядке, например так.
1. Если в первом и втором раундах выбрать соответственно $3$ и $4$ , то будут сгенерированы все подмножества, содержащие эти два элемента, и их можно обозначить как $[3, 4, \dots]$ .
2. После этого, если в первом раунде выбрать $4$ , **то во втором раунде нужно пропустить $3$** , потому что подмножества $[4, 3, \dots]$ полностью дублируют подмножества, уже построенные на шаге `1.` .
@@ -557,7 +557,7 @@ comments: true
<p align="center"> Рисунок 13-11 &nbsp; Повторяющиеся подмножества из-за разного порядка выбора </p>
В общем виде, если входной массив имеет вид $[x_1, x_2, \dots, x_n]$ , а последовательность выборов в ходе поиска равна $[x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_m}]$ , то она должна удовлетворять условию $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$ ; **все последовательности выборов, не удовлетворяющие этому условию, приводят к дубликатам и должны отсекаться**.
В общем виде, если входной массив имеет вид $[x_1, x_2, \dots, x_n]$ , а последовательность выборов в ходе поиска равна $[x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_m}]$ , то она должна удовлетворять условию $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$. **Все последовательности выборов, не удовлетворяющие этому условию, приводят к дубликатам и должны отсекаться**.
### 3. &nbsp; Реализация кода
@@ -566,7 +566,7 @@ comments: true
Помимо этого, мы внесем в код еще два улучшения.
- Перед началом поиска отсортируем массив `nums` . Тогда при обходе всех вариантов **можно сразу прервать цикл, как только сумма подмножества превысит `target`** , потому что все последующие элементы будут еще больше и их сумма тоже превысит `target` .
- Откажемся от отдельной переменной суммы `total` и **будем учитывать сумму через вычитание из `target`** ; когда `target` станет равным $0$ , решение фиксируется.
- Откажемся от отдельной переменной суммы `total` и **будем учитывать сумму через вычитание из `target`**. Когда `target` станет равным $0$ , решение фиксируется.
=== "Python"
@@ -1098,11 +1098,11 @@ comments: true
!!! question
Дан массив положительных целых чисел `nums` и целое положительное значение `target` . Найдите все возможные комбинации, сумма элементов которых равна `target` . **Во входном массиве могут присутствовать повторяющиеся элементы, и каждый элемент разрешено выбирать только один раз**. Верните эти комбинации в виде списка; в результате не должно быть повторяющихся комбинаций.
Дан массив положительных целых чисел `nums` и целое положительное значение `target` . Найдите все возможные комбинации, сумма элементов которых равна `target` . **Во входном массиве могут присутствовать повторяющиеся элементы, и каждый элемент разрешено выбирать только один раз**. Верните эти комбинации в виде списка. В результате не должно быть повторяющихся комбинаций.
По сравнению с предыдущей задачей **во входном массиве теперь могут присутствовать повторяющиеся элементы**, и это создает новую проблему. Например, если дан массив $[4, \hat{4}, 5]$ и целевое значение $9$ , то существующий код вернет результат $[4, 5], [\hat{4}, 5]$ , то есть с повторяющимся подмножеством.
**Причина появления дублей в том, что равные элементы выбираются несколько раз в одном и том же раунде**. На рисунке 13-13 в первом раунде существует три варианта выбора, и два из них равны $4$ ; из-за этого появляются две дублирующиеся ветви поиска и, соответственно, повторяющиеся подмножества. Точно так же два элемента $4$ во втором раунде тоже порождают дубликаты.
**Причина появления дублей в том, что равные элементы выбираются несколько раз в одном и том же раунде**. На рисунке 13-13 в первом раунде существует три варианта выбора, и два из них равны $4$. Из-за этого появляются две дублирующиеся ветви поиска и, соответственно, повторяющиеся подмножества. Точно так же два элемента $4$ во втором раунде тоже порождают дубликаты.
![Повторяющиеся подмножества из-за равных элементов](subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii_repeat.png){ class="animation-figure" }
ru/docs/chapter_backtracking/summary.md
+4 -4
View File
@@ -7,11 +7,11 @@ comments: true
### 1. &nbsp; Ключевые выводы
- Алгоритм поиска с возвратом по своей сути является методом полного перебора: он ищет решения путем обхода пространства решений в глубину. Во время поиска он фиксирует решения, удовлетворяющие условиям, пока не найдет все такие решения или пока обход не завершится.
- Процесс поиска с возвратом состоит из двух частей: попытки и отката. Он с помощью поиска в глубину пробует разные варианты выбора; когда встречается состояние, не удовлетворяющее ограничениям, алгоритм отменяет предыдущий выбор, возвращается к прошлому состоянию и продолжает пробовать другие варианты. Попытка и откат являются двумя противоположными по направлению действиями.
- Процесс поиска с возвратом состоит из двух частей: попытки и отката. Он с помощью поиска в глубину пробует разные варианты выбора. Когда встречается состояние, не удовлетворяющее ограничениям, алгоритм отменяет предыдущий выбор, возвращается к прошлому состоянию и продолжает пробовать другие варианты. Попытка и откат являются двумя противоположными по направлению действиями.
- Задачи поиска с возвратом обычно содержат несколько ограничений, которые можно использовать для обрезки. Обрезка позволяет заранее завершать ненужные ветви поиска и тем самым значительно повышать эффективность.
- Алгоритм поиска с возвратом в первую очередь применяется для решения поисковых задач и задач с ограничениями. Задачи комбинаторной оптимизации тоже можно решать с его помощью, но для них часто существуют более эффективные или более подходящие методы.
- Задача о перестановках нацелена на поиск всех возможных перестановок элементов данного множества. Мы используем массив для записи того, был ли выбран каждый элемент, и отсекаем ветви, где один и тот же элемент выбирается повторно, чтобы гарантировать однократный выбор каждого элемента.
- В задаче о перестановках, если во множестве присутствуют повторяющиеся элементы, в итоговом результате возникнут повторяющиеся перестановки. Поэтому нужно ограничить выбор равных элементов так, чтобы в каждом раунде каждый из них выбирался только один раз; обычно это реализуется с помощью хеш-множества.
- В задаче о перестановках, если во множестве присутствуют повторяющиеся элементы, в итоговом результате возникнут повторяющиеся перестановки. Поэтому нужно ограничить выбор равных элементов так, чтобы в каждом раунде каждый из них выбирался только один раз. Обычно это реализуется с помощью хеш-множества.
- Цель задачи о сумме подмножеств - найти все подмножества данного множества, сумма которых равна целевому значению. В множестве порядок элементов не важен, однако процесс поиска порождает результаты во всех возможных порядках, из-за чего появляются повторяющиеся подмножества. Поэтому перед запуском поиска с возвратом мы сортируем данные и вводим переменную, указывающую начальную точку обхода в каждом раунде, чтобы отсечь ветви, создающие дубликаты.
- В задаче о сумме подмножеств равные элементы массива также порождают повторяющиеся множества. При наличии предварительной сортировки их можно отсекать, проверяя равенство соседних элементов, и тем самым гарантировать, что в каждом раунде равные элементы будут выбираться только один раз.
- Задача о $n$ ферзях состоит в поиске способов разместить $n$ ферзей на доске размера $n \times n$ так, чтобы никакие два ферзя не атаковали друг друга. Ограничения этой задачи включают строки, столбцы, главные диагонали и побочные диагонали. Чтобы выполнить ограничение по строкам, используется построчная стратегия размещения, гарантирующая по одному ферзю в каждой строке.
@@ -21,7 +21,7 @@ comments: true
**Q**: Как понять связь между поиском с возвратом и рекурсией?
В целом поиск с возвратом - это скорее "алгоритмическая стратегия", а рекурсия больше похожа на "инструмент".
В целом поиск с возвратом - это скорее «алгоритмическая стратегия», а рекурсия больше похожа на «инструмент».
- Алгоритмы поиска с возвратом обычно реализуются на основе рекурсии. Однако поиск с возвратом - это лишь один из вариантов применения рекурсии, а именно ее использование в поисковых задачах.
- Структура рекурсии отражает парадигму разбиения на подзадачи и часто применяется для решения задач "разделяй и властвуй", поиска с возвратом, динамического программирования (мемоизированной рекурсии) и других подобных задач.
- Структура рекурсии отражает парадигму разбиения на подзадачи и часто применяется для решения задач «разделяй и властвуй», поиска с возвратом, динамического программирования (мемоизированной рекурсии) и других подобных задач.