xinyin025/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2026-07-12 15:36:05 +00:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

build

Browse Source
This commit is contained in:
krahets
2026-04-14 18:06:14 +08:00
parent 065a978848
commit e53a7f2498
93 changed files with 565 additions and 570 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files
ru/docs/chapter_backtracking/permutations_problem.md
+5 -5
View File
@@ -26,7 +26,7 @@ comments: true
Дан массив целых чисел, в котором нет повторяющихся элементов. Верните все возможные перестановки.
С точки зрения поиска с возвратом **процесс построения перестановок можно представить как результат последовательности выборов**. Пусть входной массив равен $[1, 2, 3]$ ; если мы сначала выберем $1$ , затем $3$ , а потом $2$ , то получим перестановку $[1, 3, 2]$ . Откат здесь означает отмену одного из выборов с последующей попыткой других вариантов.
С точки зрения поиска с возвратом **процесс построения перестановок можно представить как результат последовательности выборов**. Пусть входной массив равен $[1, 2, 3]$. Если мы сначала выберем $1$ , затем $3$ , а потом $2$ , то получим перестановку $[1, 3, 2]$ . Откат здесь означает отмену одного из выборов с последующей попыткой других вариантов.
С точки зрения кода поиска с возвратом множество кандидатов `choices` состоит из всех элементов входного массива, а состояние `state` - из элементов, уже выбранных к текущему моменту. Поскольку каждый элемент разрешено выбирать только один раз, **все элементы в `state` должны быть уникальны**.
@@ -49,11 +49,11 @@ comments: true
<p align="center"> Рисунок 13-6 &nbsp; Пример обрезки в задаче о перестановках </p>
Из рисунка видно, что такая обрезка уменьшает размер пространства поиска с $O(n^n)$ до $O(n!)$ .
Как видно на рисунке 13-6, такая обрезка уменьшает размер пространства поиска с $O(n^n)$ до $O(n!)$ .
### 2. &nbsp; Реализация кода
После прояснения всей логики можно просто "заполнить пропуски" в шаблоне поиска с возвратом. Чтобы сократить общий объем кода, мы не будем отдельно реализовывать каждую функцию из каркаса, а раскроем их прямо внутри `backtrack()` :
После прояснения всей логики можно просто «заполнить пропуски» в шаблоне поиска с возвратом. Чтобы сократить общий объем кода, мы не будем отдельно реализовывать каждую функцию из каркаса, а раскроем их прямо внутри `backtrack()` :
=== "Python"
@@ -561,7 +561,7 @@ comments: true
### 1. &nbsp; Обрезка равных элементов
Посмотрите на рисунок 13-8: в первом раунде выбрать $1$ или выбрать $\hat{1}$ - это одно и то же, а значит, все перестановки, полученные из этих двух выборов, будут дублироваться. Поэтому ветвь $\hat{1}$ нужно отсечь.
Как видно на рисунке 13-8, в первом раунде выбрать $1$ или выбрать $\hat{1}$ - это одно и то же, а значит, все перестановки, полученные из этих двух выборов, будут дублироваться. Поэтому ветвь $\hat{1}$ нужно отсечь.
Точно так же, если в первом раунде выбрать $2$ , то во втором раунде выборы $1$ и $\hat{1}$ снова создадут дублирующиеся ветви, поэтому и в этом случае ветвь $\hat{1}$ нужно отсечь.
@@ -1090,7 +1090,7 @@ comments: true
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D%2C%20choices%3A%20list%5Bint%5D%2C%20selected%3A%20list%5Bbool%5D%2C%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%20%D0%B1%D1%8D%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B0%3A%20%D0%B2%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9A%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%20%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D1%83%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%2C%20%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20if%20len%28state%29%20%3D%3D%20len%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%20%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%85%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0%0A%20%20%20%20duplicated%20%3D%20set%5Bint%5D%28%29%0A%20%20%20%20for%20i%2C%20choice%20in%20enumerate%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9E%D1%82%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%3A%20%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D1%8F%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%20%D0%B8%20%D1%82%D0%BE%D1%82%20%D0%B6%D0%B5%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%20%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%20%D0%B8%20%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20selected%5Bi%5D%20and%20choice%20not%20in%20duplicated%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D1%8B%D1%82%D0%BA%D0%B0%3A%20%D1%81%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%20%D0%B8%20%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20duplicated.add%28choice%29%20%20%23%20%D0%97%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%83%D0%B6%D0%B5%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20True%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choice%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B9%D1%82%D0%B8%20%D0%BA%20%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D1%83%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%BC%D1%83%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D1%83%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state%2C%20choices%2C%20selected%2C%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9E%D1%82%D0%BA%D0%B0%D1%82%3A%20%D0%BE%D1%82%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%8B%D0%B4%D1%83%D1%89%D0%B5%D0%B5%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20False%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20permutations_ii%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%92%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20backtrack%28state%3D%5B%5D%2C%20choices%3Dnums%2C%20selected%3D%5BFalse%5D%20%2A%20len%28nums%29%2C%20res%3Dres%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%202%5D%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20permutations_ii%28nums%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%92%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%92%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=13&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D%2C%20choices%3A%20list%5Bint%5D%2C%20selected%3A%20list%5Bbool%5D%2C%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%20%D0%B1%D1%8D%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B0%3A%20%D0%B2%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9A%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%20%D0%B4%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D1%83%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%2C%20%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20if%20len%28state%29%20%3D%3D%20len%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%20%D0%B2%D1%81%D0%B5%D1%85%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0%0A%20%20%20%20duplicated%20%3D%20set%5Bint%5D%28%29%0A%20%20%20%20for%20i%2C%20choice%20in%20enumerate%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9E%D1%82%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%3A%20%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D1%8F%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%20%D0%B8%20%D1%82%D0%BE%D1%82%20%D0%B6%D0%B5%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%20%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%20%D0%B8%20%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20selected%5Bi%5D%20and%20choice%20not%20in%20duplicated%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D1%8B%D1%82%D0%BA%D0%B0%3A%20%D1%81%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%20%D0%B8%20%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20duplicated.add%28choice%29%20%20%23%20%D0%97%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%83%D0%B6%D0%B5%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20True%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choice%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B9%D1%82%D0%B8%20%D0%BA%20%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D1%83%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%BC%D1%83%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D1%83%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state%2C%20choices%2C%20selected%2C%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%D0%9E%D1%82%D0%BA%D0%B0%D1%82%3A%20%D0%BE%D1%82%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%8B%D0%B4%D1%83%D1%89%D0%B5%D0%B5%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20False%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20permutations_ii%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%92%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20backtrack%28state%3D%5B%5D%2C%20choices%3Dnums%2C%20selected%3D%5BFalse%5D%20%2A%20len%28nums%29%2C%20res%3Dres%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1%2C%202%2C%202%5D%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20permutations_ii%28nums%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%92%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B2%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%92%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=13&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
Если предположить, что все элементы попарно различны, то из $n$ элементов можно получить $n!$ перестановок; при записи результата требуется копировать список длины $n$ , что занимает $O(n)$ времени. **Следовательно, временная сложность равна $O(n!n)$** .
Если предположить, что все элементы попарно различны, то из $n$ элементов можно получить $n!$ перестановок. При записи результата требуется копировать список длины $n$ , что занимает $O(n)$ времени. **Следовательно, временная сложность равна $O(n!n)$** .
Максимальная глубина рекурсии равна $n$ , что требует $O(n)$ стековой памяти. Массив `selected` занимает $O(n)$ пространства. Одновременно может существовать до $n$ хеш-множеств `duplicated` , что дает $O(n^2)$ памяти. **Следовательно, пространственная сложность равна $O(n^2)$** .