xinyin025/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2026-07-07 05:04:20 +00:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

build

Browse Source
This commit is contained in:
krahets
2026-04-14 18:06:14 +08:00
parent 065a978848
commit e53a7f2498
93 changed files with 565 additions and 570 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files
ru/docs/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md
+7 -7
View File
@@ -4,10 +4,10 @@ comments: true
# 14.2   Свойства задач динамического программирования
В предыдущем разделе мы увидели, как динамическое программирование решает исходную задачу через разложение на подзадачи. На самом деле разложение на подзадачи - это общий алгоритмический подход, но в методе "разделяй и властвуй", динамическом программировании и поиске с возвратом акценты расставлены по-разному.
В предыдущем разделе мы увидели, как динамическое программирование решает исходную задачу через разложение на подзадачи. На самом деле разложение на подзадачи - это общий алгоритмический подход, но в методе «разделяй и властвуй», динамическом программировании и поиске с возвратом акценты расставлены по-разному.
- Алгоритмы "разделяй и властвуй" рекурсивно раскладывают исходную задачу на несколько независимых подзадач, пока не будет достигнута наименьшая подзадача, а затем в процессе возврата объединяют решения подзадач в решение исходной задачи.
- Динамическое программирование тоже раскладывает задачу рекурсивно, но его главное отличие от метода "разделяй и властвуй" в том, что подзадачи здесь зависят друг от друга и в процессе разложения возникает много перекрывающихся подзадач.
- Алгоритмы «разделяй и властвуй» рекурсивно раскладывают исходную задачу на несколько независимых подзадач, пока не будет достигнута наименьшая подзадача, а затем в процессе возврата объединяют решения подзадач в решение исходной задачи.
- Динамическое программирование тоже раскладывает задачу рекурсивно, но его главное отличие от метода «разделяй и властвуй» в том, что подзадачи здесь зависят друг от друга и в процессе разложения возникает много перекрывающихся подзадач.
- Алгоритм поиска с возвратом перебирает все возможные решения через попытки и откат и с помощью обрезки избегает ненужных ветвей поиска. Решение исходной задачи состоит из последовательности решений, и подзадачей можно считать префикс этой последовательности решений.
На практике динамическое программирование часто применяется для задач оптимизации. Такие задачи не только содержат перекрывающиеся подзадачи, но и обладают еще двумя важными свойствами: оптимальной подструктурой и отсутствием последствий.
@@ -36,7 +36,7 @@ $$
Очевидно, что эта задача обладает оптимальной подструктурой: мы берем лучшее из двух оптимальных решений подзадач $dp[i-1]$ и $dp[i-2]$ и на его основе строим оптимальное решение исходной задачи $dp[i]$ .
А обладает ли оптимальной подструктурой исходная задача о числе способов подъема по лестнице из прошлого раздела? Формально она не про оптимум, а про подсчет количества. Но если переформулировать ее как "найдите максимальное количество способов", мы неожиданно увидим, что **хотя исходная задача осталась по сути той же, оптимальная подструктура стала явной**: максимальное число способов добраться до ступени $n$ равно сумме максимальных чисел способов добраться до ступеней $n-1$ и $n-2$ . То есть объяснение оптимальной подструктуры в разных задачах может быть довольно гибким.
А обладает ли оптимальной подструктурой исходная задача о числе способов подъема по лестнице из прошлого раздела? Формально она не про оптимум, а про подсчет количества. Но если переформулировать ее как «найдите максимальное количество способов», мы неожиданно увидим, что **хотя исходная задача осталась по сути той же, оптимальная подструктура стала явной**: максимальное число способов добраться до ступени $n$ равно сумме максимальных чисел способов добраться до ступеней $n-1$ и $n-2$ . То есть объяснение оптимальной подструктуры в разных задачах может быть довольно гибким.
Зная уравнение перехода состояния, а также начальные состояния $dp[1] = cost[1]$ и $dp[2] = cost[2]$ , мы можем сразу написать код динамического программирования:
@@ -590,7 +590,7 @@ $$
Отсутствие последствий - одно из ключевых свойств, благодаря которому динамическое программирование вообще может эффективно работать. Его определение таково: **если текущее состояние задано однозначно, то его дальнейшее развитие зависит только от него самого и не зависит от всей истории предыдущих состояний**.
Для примера снова рассмотрим задачу о лестнице. Если дано состояние $i$ , то из него можно перейти в состояния $i+1$ и $i+2$ , соответствующие прыжкам на $1$ и на $2$ ступени. Чтобы сделать один из этих выборов, не нужно знать, какими были состояния до $i$ ; на будущее влияет только текущее состояние $i$ .
Для примера снова рассмотрим задачу о лестнице. Если дано состояние $i$ , то из него можно перейти в состояния $i+1$ и $i+2$ , соответствующие прыжкам на $1$ и на $2$ ступени. Чтобы сделать один из этих выборов, не нужно знать, какими были состояния до $i$. На будущее влияет только текущее состояние $i$ .
Однако если добавить в задачу дополнительное ограничение, ситуация изменится.
@@ -626,7 +626,7 @@ $$
<p align="center"> Рисунок 14-9 &nbsp; Рекуррентная связь с учетом ограничения </p>
В конце достаточно вернуть $dp[n, 1] + dp[n, 2]$ ; эта сумма и представляет общее число способов добраться до ступени $n$ :
В конце достаточно вернуть $dp[n, 1] + dp[n, 2]$. Эта сумма и представляет общее число способов добраться до ступени $n$ :
=== "Python"
@@ -947,7 +947,7 @@ $$
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D1%81%20%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%D0%BC%D0%B8%3A%20%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20%23%20%D0%98%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8B%20dp%20%D0%B4%D0%BB%D1%8F%20%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%203%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9D%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%3A%20%D0%B7%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%B5%20%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BD%D0%B0%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B8%D1%85%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D%5B1%5D%2C%20dp%5B1%5D%5B2%5D%20%3D%201%2C%200%0A%20%20%20%20dp%5B2%5D%5B1%5D%2C%20dp%5B2%5D%5B2%5D%20%3D%200%2C%201%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B9%3A%20%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B8%D1%85%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%20%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7%20%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B1%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B2%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bn%5D%5B2%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%20%7Bn%7D%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B9%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D1%8A%D0%B5%D0%BC%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D1%81%20%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%D0%BC%D0%B8%3A%20%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20%23%20%D0%98%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8B%20dp%20%D0%B4%D0%BB%D1%8F%20%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%0A%20%20%20%20dp%20%3D%20%5B%5B0%5D%20%2A%203%20for%20_%20in%20range%28n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9D%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%3A%20%D0%B7%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%B5%20%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BD%D0%B0%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B8%D1%85%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%0A%20%20%20%20dp%5B1%5D%5B1%5D%2C%20dp%5B1%5D%5B2%5D%20%3D%201%2C%200%0A%20%20%20%20dp%5B2%5D%5B1%5D%2C%20dp%5B2%5D%5B2%5D%20%3D%200%2C%201%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D0%BE%D0%B4%20%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B9%3A%20%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B8%D1%85%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%20%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7%20%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B8%D0%B5%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%283%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B1%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%201%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dp%5Bi%5D%5B2%5D%20%3D%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bi%20-%202%5D%5B2%5D%0A%20%20%20%20return%20dp%5Bn%5D%5B1%5D%20%2B%20dp%5Bn%5D%5B2%5D%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%209%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20climbing_stairs_constraint_dp%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%20%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F%20%D0%BF%D0%BE%20%D0%BB%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%20%7Bn%7D%20%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B9%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
В этом примере достаточно дополнительно учитывать только одно предыдущее состояние, поэтому после расширения определения состояния задача снова начинает удовлетворять свойству отсутствия последствий. Однако в некоторых задачах "зависимость от прошлого" бывает гораздо серьезнее.
В этом примере достаточно дополнительно учитывать только одно предыдущее состояние, поэтому после расширения определения состояния задача снова начинает удовлетворять свойству отсутствия последствий. Однако в некоторых задачах «зависимость от прошлого» бывает гораздо серьезнее.
!!! question "Подъем по лестнице с порождением препятствий"