xinyin025/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2026-07-08 05:26:07 +00:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

build

Browse Source
This commit is contained in:
krahets
2026-04-14 18:06:14 +08:00
parent 065a978848
commit e53a7f2498
93 changed files with 565 additions and 570 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files
ru/docs/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md
+4 -4
View File
@@ -20,11 +20,11 @@ comments: true
Задачу о рюкзаке 0-1 можно рассматривать как процесс из $n$ раундов принятия решений: для каждого предмета есть два решения - не класть его в рюкзак или положить в рюкзак. Поэтому задача удовлетворяет модели дерева решений.
Цель задачи - найти "максимальную суммарную стоимость при ограниченной вместимости рюкзака", а это с большой вероятностью указывает на задачу динамического программирования.
Цель задачи - найти «максимальную суммарную стоимость при ограниченной вместимости рюкзака», а это с большой вероятностью указывает на задачу динамического программирования.
**Шаг 1: продумать решения на каждом раунде, определить состояние и тем самым получить таблицу $dp$**
Для каждого предмета возможны два случая: не класть его в рюкзак, тогда вместимость не меняется; или положить его в рюкзак, тогда оставшаяся вместимость уменьшается. Отсюда получается определение состояния: текущий номер предмета $i$ и текущая вместимость рюкзака $c$ , то есть состояние обозначается как $[i, c]$ .
Для каждого предмета возможны два случая: не класть его в рюкзак, тогда вместимость не меняется. Или положить его в рюкзак, тогда оставшаяся вместимость уменьшается. Отсюда получается определение состояния: текущий номер предмета $i$ и текущая вместимость рюкзака $c$ , то есть состояние обозначается как $[i, c]$ .
Подзадача, соответствующая состоянию $[i, c]$ , такова: **максимальная стоимость, которую можно получить, используя первые $i$ предметов и рюкзак вместимости $c$**. Ее решение обозначается через $dp[i, c]$ .
@@ -47,7 +47,7 @@ $$
**Шаг 3: определить граничные условия и порядок переходов**
Когда предметов нет или вместимость рюкзака равна $0$ , максимальная стоимость равна $0$ ; то есть весь первый столбец $dp[i, 0]$ и вся первая строка $dp[0, c]$ заполняются нулями.
Когда предметов нет или вместимость рюкзака равна $0$ , максимальная стоимость равна $0$. То есть весь первый столбец $dp[i, 0]$ и вся первая строка $dp[0, c]$ заполняются нулями.
Текущее состояние $[i, c]$ зависит от состояния сверху $[i-1, c]$ и состояния слева сверху $[i-1, c-wgt[i-1]]$ , поэтому достаточно двумя вложенными циклами пройти по всей таблице $dp$ в прямом порядке.
@@ -343,7 +343,7 @@ $$
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dfs%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20i%3A%20int%2C%20c%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A0%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%200-1%3A%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%8B%20%D1%83%D0%B6%D0%B5%20%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BC%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8B%20%D0%B8%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B5%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%8C%20%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%2C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%200%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20or%20c%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B0%2C%20%D0%BC%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%20%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%BE%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%20%D0%B2%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%0A%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%83%D1%8E%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%BB%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B5%D0%B2%2C%20%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%20i%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%83%D1%82%20%D0%B8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%83%D1%82%0A%20%20%20%20no%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20yes%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%29%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%20%D1%81%20%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B5%D0%B9%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E%20%D0%B8%D0%B7%20%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85%20%D0%B2%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D1%85%0A%20%20%20%20return%20max%28no%2C%20yes%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10%2C%2020%2C%2030%2C%2040%2C%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50%2C%20120%2C%20150%2C%20210%2C%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20n%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D0%B1%D0%B5%D0%B7%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B0%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20knapsack_dfs%28wgt%3A%20list%5Bint%5D%2C%20val%3A%20list%5Bint%5D%2C%20i%3A%20int%2C%20c%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%D0%A0%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%200-1%3A%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%D1%81%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%8B%20%D1%83%D0%B6%D0%B5%20%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BC%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8B%20%D0%B8%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B5%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%8C%20%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%2C%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%200%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20or%20c%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20%23%20%D0%95%D1%81%D0%BB%D0%B8%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B0%2C%20%D0%BC%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D0%BE%20%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%BE%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%20%D0%B2%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%0A%20%20%20%20if%20wgt%5Bi%20-%201%5D%20%3E%20c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C%20%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%83%D1%8E%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%B4%D0%BB%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B5%D0%B2%2C%20%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%B4%D0%B0%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%20i%20%D0%BD%D0%B5%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%83%D1%82%20%D0%B8%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%83%D1%82%0A%20%20%20%20no%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%29%0A%20%20%20%20yes%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20i%20-%201%2C%20c%20-%20wgt%5Bi%20-%201%5D%29%20%2B%20val%5Bi%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%23%20%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%20%D1%81%20%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B5%D0%B9%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E%20%D0%B8%D0%B7%20%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85%20%D0%B2%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D1%85%0A%20%20%20%20return%20max%28no%2C%20yes%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10%2C%2020%2C%2030%2C%2040%2C%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50%2C%20120%2C%20150%2C%20210%2C%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D1%80%0A%20%20%20%20res%20%3D%20knapsack_dfs%28wgt%2C%20val%2C%20n%2C%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B2%20%D0%B1%D0%B5%D0%B7%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8B%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B2%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%20%D1%80%D1%8E%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%B0%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=7&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
Как показано на рисунке 14-18, поскольку каждый предмет создает две ветви поиска - "не брать" и "брать", временная сложность равна $O(2^n)$ .
Как показано на рисунке 14-18, поскольку каждый предмет создает две ветви поиска - «не брать» и «брать», временная сложность равна $O(2^n)$ .
Посмотрев на дерево рекурсии, легко заметить наличие перекрывающихся подзадач, например $dp[1, 10]$ и подобных. Когда число предметов растет, вместимость рюкзака велика, а особенно когда много предметов с одинаковым весом, количество перекрывающихся подзадач быстро увеличивается.