<p align="center"> Рисунок 9-3 Связный и несвязный графы </p>
Мы также можем добавить к ребрам переменную "вес" и получить показанный ниже <u>взвешенный граф (weighted graph)</u>. Например, в мобильных играх вроде Honor of Kings система рассчитывает "близость" между игроками по времени совместной игры, и такую сеть близости можно представить взвешенным графом.
Мы также можем добавить к ребрам переменную «вес» и получить <u>взвешенный граф (weighted graph)</u>, как показано на рисунке 9-4. Например, в мобильных играх вроде Honor of Kings система рассчитывает «близость» между игроками по времени совместной игры, и такую сеть близости можно представить взвешенным графом.
{ class="animation-figure" }
<p align="center"> Рисунок 9-4 Взвешенный и невзвешенный графы </p>
Со структурой данных "граф" связаны следующие основные термины.
Со структурой данных «граф» связаны следующие основные термины.
- <u>Смежность (adjacency)</u>: если между двумя вершинами существует ребро, то такие вершины называются смежными. На рисунке 9-4 с вершиной 1 смежны вершины 2, 3 и 5.
- <u>Путь (path)</u>: последовательность ребер от вершины A до вершины B называется путем из A в B. На рисунке 9-4 последовательность ребер 1-5-2-4 является одним из путей от вершины 1 к вершине 4.
@@ -54,13 +54,13 @@ $$
## 9.1.2 Представление графа
Распространенные способы представления графа включают "матрицу смежности" и "список смежности". Ниже для примера рассматривается неориентированный граф.
Распространенные способы представления графа включают «матрицу смежности» и «список смежности». Ниже для примера рассматривается неориентированный граф.
### 1. Матрица смежности
Пусть число вершин графа равно $n$ ; тогда <u>матрица смежности (adjacency matrix)</u> использует матрицу размера $n \times n$ для представления графа, где каждая строка и каждый столбец соответствуют вершине, а элементы матрицы показывают наличие или отсутствие ребра.
Пусть число вершин графа равно $n$. Тогда <u>матрица смежности (adjacency matrix)</u> использует матрицу размера $n \times n$ для представления графа, где каждая строка и каждый столбец соответствуют вершине, а элементы матрицы показывают наличие или отсутствие ребра.
Как показано на рисунке 9-5, обозначим матрицу смежности через $M$ , а список вершин через $V$ ; тогда элемент матрицы $M[i, j] = 1$ означает наличие ребра между вершинами $V[i]$ и $V[j]$ , а элемент $M[i, j] = 0$ означает отсутствие ребра.
Как показано на рисунке 9-5, обозначим матрицу смежности через $M$ , а список вершин через $V$. Тогда элемент матрицы $M[i, j] = 1$ означает наличие ребра между вершинами $V[i]$ и $V[j]$ , а элемент $M[i, j] = 0$ означает отсутствие ребра.
{ class="animation-figure" }
@@ -84,7 +84,7 @@ $$
Список смежности хранит только реально существующие ребра, а общее число ребер обычно значительно меньше $n^2$ , поэтому он лучше экономит память. Однако для поиска ребра в списке смежности требуется обходить список, поэтому по времени он уступает матрице смежности.
Если посмотреть на рисунок 9-6, можно заметить, что**структура списка смежности очень похожа на цепную адресацию в хеш-таблицах, поэтому здесь можно использовать похожие методы оптимизации эффективности**. Например, если список слишком длинный, его можно преобразовать в AVL-дерево или красно-черное дерево, чтобы снизить временную сложность с $O(n)$ до $O(\log n)$ ; также список можно преобразовать в хеш-таблицу, чтобы довести временную сложность до $O(1)$ .
Как видно на рисунке 9-6, **структура списка смежности очень похожа на цепную адресацию в хеш-таблицах, поэтому здесь можно использовать похожие методы оптимизации эффективности**. Например, если список слишком длинный, его можно преобразовать в AVL-дерево или красно-черное дерево, чтобы снизить временную сложность с $O(n)$ до $O(\log n)$. Также список можно преобразовать в хеш-таблицу, чтобы довести временную сложность до $O(1)$ .
Базовые операции графа можно разделить на операции над "ребрами" и операции над "вершинами". При двух способах представления, "матрице смежности" и "списке смежности", реализация этих операций различается.
Базовые операции графа можно разделить на операции над «ребрами» и операции над «вершинами». При двух способах представления, «матрице смежности» и «списке смежности», реализация этих операций различается.
## 9.2.1 Реализация на основе матрицы смежности
Пусть дан неориентированный граф с числом вершин $n$ . Тогда способы реализации различных операций показаны на рисунках ниже.
Пусть дан неориентированный граф с числом вершин $n$ . Тогда способы реализации различных операций показаны на рисунке 9-7.
- **Добавление или удаление ребра**: достаточно изменить соответствующее ребро в матрице смежности, что требует $O(1)$ времени. Поскольку граф неориентированный, необходимо одновременно обновить ребра в обоих направлениях.
- **Добавление вершины**: в конец матрицы смежности добавляется строка и столбец, полностью заполненные нулями; это требует $O(n)$ времени.
- **Удаление вершины**: из матрицы смежности удаляется строка и столбец. При удалении первой строки и первого столбца достигается худший случай, когда требуется "сдвинуть влево вверх" $(n-1)^2$ элементов, поэтому используется $O(n^2)$ времени.
- **Инициализация**: передаются $n$ вершин, затем инициализируется список вершин `vertices` длины $n$ , что требует $O(n)$ времени; после этого инициализируется матрица смежности `adjMat` размера $n \times n$ , что требует $O(n^2)$ времени.
- **Добавление вершины**: в конец матрицы смежности добавляется строка и столбец, полностью заполненные нулями. Это требует $O(n)$ времени.
- **Удаление вершины**: из матрицы смежности удаляется строка и столбец. При удалении первой строки и первого столбца достигается худший случай, когда требуется «сдвинуть влево вверх» $(n-1)^2$ элементов, поэтому используется $O(n^2)$ времени.
- **Инициализация**: передаются $n$ вершин, затем инициализируется список вершин `vertices` длины $n$ , что требует $O(n)$ времени. После этого инициализируется матрица смежности `adjMat` размера $n \times n$ , что требует $O(n^2)$ времени.
=== "<1>"
{ class="animation-figure" }
@@ -1213,13 +1213,13 @@ comments: true
## 9.2.2 Реализация на основе списка смежности
Пусть неориентированный граф содержит в сумме $n$ вершин и $m$ ребер. Тогда различные операции можно реализовать способом, показанным на рисунках ниже.
Пусть неориентированный граф содержит в сумме $n$ вершин и $m$ ребер. Тогда различные операции можно реализовать способом, показанным на рисунке 9-8.
- **Добавление ребра**: достаточно добавить ребро в конец списка, соответствующего вершине; это требует $O(1)$ времени. Поскольку граф неориентированный, необходимо одновременно добавить ребра в обоих направлениях.
- **Удаление ребра**: нужно найти и удалить указанное ребро в списке, соответствующем вершине; это требует $O(m)$ времени. В неориентированном графе необходимо удалить ребра в обоих направлениях.
- **Добавление вершины**: в список смежности добавляется еще один список, а новая вершина становится его головным узлом; это требует $O(1)$ времени.
- **Удаление вершины**: требуется пройти по всему списку смежности и удалить все ребра, содержащие указанную вершину; это требует $O(n + m)$ времени.
- **Инициализация**: в списке смежности создаются $n$ вершин и $2m$ ребер; это требует $O(n + m)$ времени.
- **Добавление ребра**: достаточно добавить ребро в конец списка, соответствующего вершине. Это требует $O(1)$ времени. Поскольку граф неориентированный, необходимо одновременно добавить ребра в обоих направлениях.
- **Удаление ребра**: нужно найти и удалить указанное ребро в списке, соответствующем вершине. Это требует $O(m)$ времени. В неориентированном графе необходимо удалить ребра в обоих направлениях.
- **Добавление вершины**: в список смежности добавляется еще один список, а новая вершина становится его головным узлом. Это требует $O(1)$ времени.
- **Удаление вершины**: требуется пройти по всему списку смежности и удалить все ребра, содержащие указанную вершину. Это требует $O(n + m)$ времени.
- **Инициализация**: в списке смежности создаются $n$ вершин и $2m$ ребер. Это требует $O(n + m)$ времени.
=== "<1>"
{ class="animation-figure" }
@@ -1238,7 +1238,7 @@ comments: true
<p align="center"> Рисунок 9-8 Инициализация списка смежности, добавление и удаление ребер и вершин </p>
Ниже приведен код списка смежности. По сравнению с рисунками выше, реальная реализация имеет следующие отличия.
Ниже приведен код списка смежности. По сравнению с тем, что показано на рисунке 9-8, реальная реализация имеет следующие отличия.
- Чтобы упростить добавление и удаление вершин, а также сделать код проще, мы используем список, то есть динамический массив, вместо связного списка.
- Для хранения списка смежности используется хеш-таблица, где `key` - это экземпляр вершины, а `value` - список смежных вершин данной вершины.
@@ -2388,4 +2388,4 @@ comments: true
</div>
Если смотреть только на таблицу, может показаться, что список смежности на основе хеш-таблицы является лучшим и по времени, и по памяти. Но на практике операции над ребрами в матрице смежности обычно выполняются быстрее, потому что там нужен лишь один доступ к массиву или одно присваивание. В целом матрица смежности воплощает принцип "обмена пространства на время", а список смежности - принцип "обмена времени на пространство".
Если судить только по данным в таблице 9-2, может показаться, что список смежности на основе хеш-таблицы является лучшим и по времени, и по памяти. Но на практике операции над ребрами в матрице смежности обычно выполняются быстрее, потому что там нужен лишь один доступ к массиву или одно присваивание. В целом матрица смежности воплощает принцип «обмена пространства на время», а список смежности - принцип «обмена времени на пространство».
Дерево представляет отношение "один ко многим", тогда как граф обладает большей свободой и может выражать произвольные отношения "многие ко многим". Поэтому дерево можно рассматривать как частный случай графа. Очевидно, что **операции обхода дерева также являются частным случаем операций обхода графа**.
Дерево представляет отношение «один ко многим», тогда как граф обладает большей свободой и может выражать произвольные отношения «многие ко многим». Поэтому дерево можно рассматривать как частный случай графа. Очевидно, что **операции обхода дерева также являются частным случаем операций обхода графа**.
И графы, и деревья требуют применения алгоритмов обхода. Способы обхода графа также делятся на два типа: <u>обход в ширину</u> и <u>обход в глубину</u>.
@@ -18,7 +18,7 @@ comments: true
### 1. Реализация алгоритма
BFS обычно реализуется с помощью очереди, код приведен ниже. Очередь обладает свойством "первым пришел - первым вышел", что хорошо соответствует идее BFS "от ближнего к дальнему".
BFS обычно реализуется с помощью очереди, код приведен ниже. Очередь обладает свойством «первым пришел - первым вышел», что хорошо соответствует идее BFS «от ближнего к дальнему».
1. Поместить стартовую вершину обхода `startVet` в очередь и запустить цикл.
2. На каждой итерации цикла извлекать вершину из головы очереди и записывать ее посещение, после чего добавлять все смежные вершины этой вершины в хвост очереди.
@@ -480,7 +480,7 @@ BFS обычно реализуется с помощью очереди, код
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20collections%20import%20deque%0A%0Aclass%20Vertex%3A%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%0Adef%20vals_to_vets%28vals%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5B%27Vertex%27%5D%3A%0A%20%20%20%20return%20%5BVertex%28val%29%20for%20val%20in%20vals%5D%0A%0Aclass%20GraphAdjList%3A%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20edges%3A%20list%5Blist%5BVertex%5D%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%20%3D%20dict%5BVertex%2C%20list%5BVertex%5D%5D%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20edge%20in%20edges%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B1%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_edge%28edge%5B0%5D%2C%20edge%5B1%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_edge%28self%2C%20vet1%3A%20Vertex%2C%20vet2%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet1%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet2%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet1%20%3D%3D%20vet2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet1%5D.append%28vet2%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet2%5D.append%28vet1%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_vertex%28self%2C%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet%20in%20self.adj_list%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet%5D%20%3D%20%5B%5D%0A%0Adef%20graph_bfs%28graph%3A%20GraphAdjList%2C%20start_vet%3A%20Vertex%29%20-%3E%20list%5BVertex%5D%3A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20visited%20%3D%20set%5BVertex%5D%28%5Bstart_vet%5D%29%0A%20%20%20%20que%20%3D%20deque%5BVertex%5D%28%5Bstart_vet%5D%29%0A%20%20%20%20while%20len%28que%29%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20vet%20%3D%20que.popleft%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28vet%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20adj_vet%20in%20graph.adj_list%5Bvet%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20adj_vet%20in%20visited%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20que.append%28adj_vet%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20visited.add%28adj_vet%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%27Driver%20Code%27%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%27__main__%27%3A%0A%20%20%20%20v%20%3D%20vals_to_vets%28%5B0%2C%201%2C%202%2C%203%2C%204%5D%29%0A%20%20%20%20edges%20%3D%20%5B%5Bv%5B0%5D%2C%20v%5B1%5D%5D%2C%20%5Bv%5B0%5D%2C%20v%5B3%5D%5D%2C%20%5Bv%5B1%5D%2C%20v%5B2%5D%5D%2C%20%5Bv%5B1%5D%2C%20v%5B4%5D%5D%2C%20%5Bv%5B3%5D%2C%20v%5B4%5D%5D%5D%0A%20%20%20%20graph%20%3D%20GraphAdjList%28edges%29%0A%20%20%20%20del%20edges%0A%20%20%20%20res%20%3D%20graph_bfs%28graph%2C%20v%5B0%5D%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=131&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
Код сравнительно абстрактен, поэтому рекомендуется сверяться с рисунками ниже для лучшего понимания.
Код сравнительно абстрактен, поэтому для лучшего понимания рекомендуется сопоставлять его с тем, что показано на рисунке 9-10.
=== "<1>"
{ class="animation-figure" }
@@ -519,11 +519,11 @@ BFS обычно реализуется с помощью очереди, код
!!! question "Является ли последовательность обхода в ширину единственной?"
Нет. Обход в ширину требует только соблюдения порядка "от ближнего к дальнему", **а порядок обхода нескольких вершин на одинаковом расстоянии может произвольно меняться**. Например, на рисунке 9-10 можно поменять местами порядок посещения вершин $1$ и $3$ , а вершины $2$, $4$, $6$ также можно переставлять произвольно.
Нет. Обход в ширину требует только соблюдения порядка «от ближнего к дальнему», **а порядок обхода нескольких вершин на одинаковом расстоянии может произвольно меняться**. Например, на рисунке 9-10 можно поменять местами порядок посещения вершин $1$ и $3$ , а вершины $2$, $4$, $6$ также можно переставлять произвольно.
### 2. Анализ сложности
**Временная сложность**: все вершины по одному разу помещаются в очередь и извлекаются из нее, что требует $O(|V|)$ времени; при обходе смежных вершин, поскольку граф неориентированный, все ребра будут посещены по $2$ раза, что требует $O(2|E|)$ времени; в сумме получается $O(|V| + |E|)$ .
**Временная сложность**: все вершины по одному разу помещаются в очередь и извлекаются из нее, что требует $O(|V|)$ времени. При обходе смежных вершин, поскольку граф неориентированный, все ребра будут посещены по $2$ раза, что требует $O(2|E|)$ времени. В сумме получается $O(|V| + |E|)$ .
**Пространственная сложность**: список `res` , хеш-множество `visited` и очередь `que` в худшем случае могут содержать до $|V|$ вершин, поэтому требуется $O(|V|)$ памяти.
@@ -537,7 +537,7 @@ BFS обычно реализуется с помощью очереди, код
### 1. Реализация алгоритма
Такой алгоритмический шаблон "дойти до конца и вернуться" обычно реализуется через рекурсию. Подобно обходу в ширину, в обходе в глубину мы также используем хеш-множество `visited` для записи уже посещенных вершин и тем самым избегаем повторного посещения.
Такой алгоритмический шаблон «дойти до конца и вернуться» обычно реализуется через рекурсию. Подобно обходу в ширину, в обходе в глубину мы также используем хеш-множество `visited` для записи уже посещенных вершин и тем самым избегаем повторного посещения.
=== "Python"
@@ -940,12 +940,12 @@ BFS обычно реализуется с помощью очереди, код
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20Vertex%3A%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%0Adef%20vals_to_vets%28vals%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5B%27Vertex%27%5D%3A%0A%20%20%20%20return%20%5BVertex%28val%29%20for%20val%20in%20vals%5D%0A%0Aclass%20GraphAdjList%3A%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20edges%3A%20list%5Blist%5BVertex%5D%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%20%3D%20dict%5BVertex%2C%20list%5BVertex%5D%5D%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20edge%20in%20edges%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B1%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_edge%28edge%5B0%5D%2C%20edge%5B1%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_edge%28self%2C%20vet1%3A%20Vertex%2C%20vet2%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet1%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet2%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet1%20%3D%3D%20vet2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet1%5D.append%28vet2%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet2%5D.append%28vet1%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_vertex%28self%2C%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet%20in%20self.adj_list%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet%5D%20%3D%20%5B%5D%0A%0Adef%20dfs%28graph%3A%20GraphAdjList%2C%20visited%3A%20set%5BVertex%5D%2C%20res%3A%20list%5BVertex%5D%2C%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20res.append%28vet%29%0A%20%20%20%20visited.add%28vet%29%0A%20%20%20%20for%20adjVet%20in%20graph.adj_list%5Bvet%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20adjVet%20in%20visited%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dfs%28graph%2C%20visited%2C%20res%2C%20adjVet%29%0A%0Adef%20graph_dfs%28graph%3A%20GraphAdjList%2C%20start_vet%3A%20Vertex%29%20-%3E%20list%5BVertex%5D%3A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20visited%20%3D%20set%5BVertex%5D%28%29%0A%20%20%20%20dfs%28graph%2C%20visited%2C%20res%2C%20start_vet%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%27Driver%20Code%27%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%27__main__%27%3A%0A%20%20%20%20v%20%3D%20vals_to_vets%28%5B0%2C%201%2C%202%2C%203%2C%204%5D%29%0A%20%20%20%20edges%20%3D%20%5B%5Bv%5B0%5D%2C%20v%5B1%5D%5D%2C%20%5Bv%5B0%5D%2C%20v%5B3%5D%5D%2C%20%5Bv%5B1%5D%2C%20v%5B2%5D%5D%2C%20%5Bv%5B1%5D%2C%20v%5B4%5D%5D%2C%20%5Bv%5B3%5D%2C%20v%5B4%5D%5D%5D%0A%20%20%20%20graph%20%3D%20GraphAdjList%28edges%29%0A%20%20%20%20res%20%3D%20graph_dfs%28graph%2C%20v%5B0%5D%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=130&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
Алгоритмический процесс обхода в глубину показан на рисунках ниже.
Алгоритмический процесс обхода в глубину показан на рисунке 9-12.
- **Прямая пунктирная линия обозначает нисходящую рекурсию** , то есть запуск нового рекурсивного метода для посещения новой вершины.
- **Изогнутая пунктирная линия обозначает восходящую рекурсию** , то есть данный рекурсивный метод завершился и управление вернулось туда, откуда он был вызван.
Чтобы лучше понять алгоритм, рекомендуется совместить рисунки ниже с кодом и мысленно проследить весь процесс DFS, включая моменты запуска и возврата каждого рекурсивного вызова.
Чтобы лучше понять алгоритм, рекомендуется сопоставить код с тем, что показано на рисунке 9-12, и мысленно проследить весь процесс DFS, включая моменты запуска и возврата каждого рекурсивного вызова.
=== "<1>"
{ class="animation-figure" }
@@ -985,11 +985,11 @@ BFS обычно реализуется с помощью очереди, код
!!! question "Является ли последовательность обхода в глубину единственной?"
Как и в случае обхода в ширину, последовательность DFS тоже не является единственной. Для заданной вершины допустимо сначала углубиться в любое направление, то есть порядок смежных вершин может быть произвольным, и все такие варианты будут корректными обходами в глубину.
Если взять в качестве примера обход дерева, то варианты "корень $\rightarrow$ лево $\rightarrow$ право", "лево $\rightarrow$ корень $\rightarrow$ право" и "лево $\rightarrow$ право $\rightarrow$ корень" соответствуют прямому, симметричному и обратному обходам соответственно. Они показывают три разных приоритета обхода, но все они относятся к обходу в глубину.
Если взять в качестве примера обход дерева, то варианты «корень $\rightarrow$ лево $\rightarrow$ право», «лево $\rightarrow$ корень $\rightarrow$ право» и «лево $\rightarrow$ право $\rightarrow$ корень» соответствуют прямому, симметричному и обратному обходам соответственно. Они показывают три разных приоритета обхода, но все они относятся к обходу в глубину.
### 2. Анализ сложности
**Временная сложность**: все вершины будут посещены по $1$ разу, что требует $O(|V|)$ времени; все ребра будут посещены по $2$ раза, что требует $O(2|E|)$ времени; суммарно получается $O(|V| + |E|)$ .
**Временная сложность**: все вершины будут посещены по $1$ разу, что требует $O(|V|)$ времени. Все ребра будут посещены по $2$ раза, что требует $O(2|E|)$ времени. Суммарно получается $O(|V| + |E|)$ .
**Пространственная сложность**: число вершин в списке `res` и хеш-множестве `visited` в худшем случае достигает $|V|$ , максимальная глубина рекурсии тоже равна $|V|$ , поэтому требуется $O(|V|)$ памяти.
- По сравнению с линейными отношениями (связный список) и отношениями разделения (дерево), сетевые отношения (граф) обладают большей свободой и потому более сложны.
- Ребра ориентированного графа имеют направление, в связном графе любые вершины достижимы, а во взвешенном графе каждое ребро содержит переменную веса.
- Матрица смежности использует матрицу для представления графа: каждая строка и каждый столбец соответствуют вершине, а элементы матрицы показывают, есть между двумя вершинами ребро или нет. Матрица смежности эффективна в операциях добавления, удаления, поиска и изменения, но расходует больше памяти.
- Список смежности использует несколько списков для представления графа; $i$-й список соответствует вершине $i$ и хранит все ее смежные вершины. По сравнению с матрицей смежности список смежности экономит пространство, но для поиска ребра в нем приходится обходить список, поэтому по времени он уступает.
- Список смежности использует несколько списков для представления графа. $i$-й список соответствует вершине $i$ и хранит все ее смежные вершины. По сравнению с матрицей смежности список смежности экономит пространство, но для поиска ребра в нем приходится обходить список, поэтому по времени он уступает.
- Когда списки в списке смежности становятся слишком длинными, их можно преобразовать в красно-черное дерево или хеш-таблицу, чтобы повысить эффективность поиска.
- С точки зрения алгоритмической идеи матрица смежности отражает принцип "обмена пространства на время", а список смежности - принцип "обмена времени на пространство".
- С точки зрения алгоритмической идеи матрица смежности отражает принцип «обмена пространства на время», а список смежности - принцип «обмена времени на пространство».
- Графы можно использовать для моделирования различных реальных систем, таких как социальные сети, линии метро и так далее.
- Дерево является частным случаем графа, а обход дерева - частным случаем обхода графа.
- Обход графа в ширину представляет собой способ поиска, который расширяется от ближнего к дальнему и обычно реализуется с помощью очереди.
- Обход графа в глубину представляет собой способ поиска, который сначала идет до самого конца, а затем возвращается назад, когда путь исчерпан; обычно он реализуется на основе рекурсии.
- Обход графа в глубину представляет собой способ поиска, который сначала идет до самого конца, а затем возвращается назад, когда путь исчерпан. Обычно он реализуется на основе рекурсии.
### 2. Q & A
**Q**: Что считается путем: последовательность вершин или последовательность ребер?
Определение в разных языковых версиях Википедии различается: в английской версии путь определяется как "последовательность ребер", а в русской версии - как "последовательность вершин". В английской версии исходная формулировка выглядит так: In graph theory, a path in a graph is a finite or infinite sequence of edges which joins a sequence of vertices.
Определение в разных языковых версиях Википедии различается: в английской версии путь определяется как «последовательность ребер», а в русской версии - как «последовательность вершин». В английской версии исходная формулировка выглядит так: In graph theory, a path in a graph is a finite or infinite sequence of edges which joins a sequence of vertices.
В этой книге путь рассматривается как последовательность ребер, а не как последовательность вершин. Причина в том, что между двумя вершинами может существовать несколько ребер, и в таком случае каждому ребру соответствует свой путь.
@@ -30,6 +30,6 @@ comments: true
В несвязном графе, начиная из некоторой вершины, по крайней мере одна вершина оказывается недостижимой. Чтобы обойти весь несвязный граф, нужно задать несколько стартовых точек и обойти все связные компоненты графа.
**Q**: Есть ли требования к порядку вершин в списке "всех вершин, соединенных с данной вершиной" в списке смежности?
**Q**: Есть ли требования к порядку вершин в списке «всех вершин, соединенных с данной вершиной» в списке смежности?
Порядок может быть произвольным. Но на практике может понадобиться сортировка по определенному правилу, например по порядку добавления вершин или по возрастанию значений вершин; это помогает быстро находить вершины с некоторым экстремальным свойством.
Порядок может быть произвольным. Но на практике может понадобиться сортировка по определенному правилу, например по порядку добавления вершин или по возрастанию значений вершин. Это помогает быстро находить вершины с некоторым экстремальным свойством.
Reference in New Issue
Block a user
Blocking a user prevents them from interacting with repositories, such as opening or commenting on pull requests or issues. Learn more about blocking a user.
krahets