mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-25 04:26:07 +00:00
build
This commit is contained in:
krahets
@@ -22,7 +22,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
## 7.3.2 Представление произвольного двоичного дерева
|
||||
|
||||
Идеальное двоичное дерево - лишь частный случай; в обычной двоичной структуре на промежуточных уровнях часто существует множество `None` . Поскольку последовательность обхода по уровням не содержит этих `None` , мы не можем по одной лишь этой последовательности определить их количество и расположение. **Это означает, что одному и тому же обходу по уровням может соответствовать сразу несколько различных структур двоичного дерева**.
|
||||
Идеальное двоичное дерево - лишь частный случай. В обычной двоичной структуре на промежуточных уровнях часто существует множество `None` . Поскольку последовательность обхода по уровням не содержит этих `None` , мы не можем по одной лишь этой последовательности определить их количество и расположение. **Это означает, что одному и тому же обходу по уровням может соответствовать сразу несколько различных структур двоичного дерева**.
|
||||
|
||||
Как показано на рисунке 7-13, для неполной двоичной структуры описанный выше способ представления массивом уже перестает работать.
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -4,7 +4,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
# 7.5 AVL-дерево *
|
||||
|
||||
В разделе "Двоичное дерево поиска" мы упоминали, что после многократных операций вставки и удаления узлов двоичное дерево поиска может выродиться в связный список. В таком случае временная сложность всех операций ухудшается с $O(\log n)$ до $O(n)$ .
|
||||
В разделе «Двоичное дерево поиска» мы упоминали, что после многократных операций вставки и удаления узлов двоичное дерево поиска может выродиться в связный список. В таком случае временная сложность всех операций ухудшается с $O(\log n)$ до $O(n)$ .
|
||||
|
||||
Как показано на рисунке 7-24, после двух операций удаления узлов это двоичное дерево поиска вырождается в связный список.
|
||||
|
||||
@@ -18,7 +18,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
<p align="center"> Рисунок 7-25 Деградация AVL-дерева после вставки узлов </p>
|
||||
|
||||
В 1962 году Г. М. Adelson-Velsky и Е. М. Landis в статье "An algorithm for the organization of information" предложили <u>AVL-дерево</u>. В статье подробно описан набор операций, гарантирующий, что при непрерывном добавлении и удалении узлов AVL-дерево не вырождается, благодаря чему временная сложность различных операций сохраняется на уровне $O(\log n)$ . Иначе говоря, в сценариях, где часто выполняются вставка, удаление, поиск и изменение, AVL-дерево всегда поддерживает эффективную работу с данными и потому имеет высокую практическую ценность.
|
||||
В 1962 году Г. М. Adelson-Velsky и Е. М. Landis в статье «An algorithm for the organization of information» предложили <u>AVL-дерево</u>. В статье подробно описан набор операций, гарантирующий, что при непрерывном добавлении и удалении узлов AVL-дерево не вырождается, благодаря чему временная сложность различных операций сохраняется на уровне $O(\log n)$ . Иначе говоря, в сценариях, где часто выполняются вставка, удаление, поиск и изменение, AVL-дерево всегда поддерживает эффективную работу с данными и потому имеет высокую практическую ценность.
|
||||
|
||||
## 7.5.1 Распространенные термины AVL-дерева
|
||||
|
||||
@@ -236,7 +236,7 @@ AVL-дерево одновременно является и двоичным
|
||||
end
|
||||
```
|
||||
|
||||
"Высота узла" означает расстояние от этого узла до самого удаленного листового узла, то есть число пройденных "ребер". Особенно важно помнить, что высота листового узла равна $0$ , а высота пустого узла равна $-1$ . Мы создадим две вспомогательные функции: одну для получения высоты узла, другую для ее обновления:
|
||||
«Высота узла» означает расстояние от этого узла до самого удаленного листового узла, то есть число пройденных «ребер». Особенно важно помнить, что высота листового узла равна $0$ , а высота пустого узла равна $-1$ . Мы создадим две вспомогательные функции: одну для получения высоты узла, другую для ее обновления:
|
||||
|
||||
=== "Python"
|
||||
|
||||
@@ -477,7 +477,7 @@ AVL-дерево одновременно является и двоичным
|
||||
|
||||
### 2. Баланс-фактор узла
|
||||
|
||||
<u>Баланс-фактор (balance factor)</u> узла определяется как высота левого поддерева минус высота правого поддерева; при этом баланс-фактор пустого узла считается равным $0$ . Мы также инкапсулируем получение баланс-фактора в отдельную функцию, чтобы потом было удобнее ее использовать:
|
||||
<u>Баланс-фактор (balance factor)</u> узла определяется как высота левого поддерева минус высота правого поддерева. При этом баланс-фактор пустого узла считается равным $0$ . Мы также инкапсулируем получение баланс-фактора в отдельную функцию, чтобы потом было удобнее ее использовать:
|
||||
|
||||
=== "Python"
|
||||
|
||||
@@ -648,17 +648,17 @@ AVL-дерево одновременно является и двоичным
|
||||
|
||||
!!! tip
|
||||
|
||||
Пусть баланс-фактор равен $f$ ; тогда для любого узла AVL-дерева выполняется $-1 \le f \le 1$ .
|
||||
Пусть баланс-фактор равен $f$. Тогда для любого узла AVL-дерева выполняется $-1 \le f \le 1$ .
|
||||
|
||||
## 7.5.2 Вращения AVL-дерева
|
||||
|
||||
Особенность AVL-дерева заключается в операции "вращения", которая позволяет заново сбалансировать разбалансированный узел, не нарушая последовательность симметричного обхода двоичного дерева. Иначе говоря, **операция вращения одновременно сохраняет свойство "двоичного дерева поиска" и возвращает дерево в состояние "сбалансированного двоичного дерева"**.
|
||||
Особенность AVL-дерева заключается в операции «вращения», которая позволяет заново сбалансировать разбалансированный узел, не нарушая последовательность симметричного обхода двоичного дерева. Иначе говоря, **операция вращения одновременно сохраняет свойство «двоичного дерева поиска» и возвращает дерево в состояние «сбалансированного двоичного дерева»**.
|
||||
|
||||
Узлы, для которых абсолютное значение баланс-фактора больше $1$ , мы называем "разбалансированными узлами". В зависимости от вида разбаланса вращения делятся на четыре типа: правое вращение, левое вращение, сначала левое затем правое, и сначала правое затем левое. Ниже разберем их подробно.
|
||||
Узлы, для которых абсолютное значение баланс-фактора больше $1$ , мы называем «разбалансированными узлами». В зависимости от вида разбаланса вращения делятся на четыре типа: правое вращение, левое вращение, сначала левое затем правое, и сначала правое затем левое. Ниже разберем их подробно.
|
||||
|
||||
### 1. Правое вращение
|
||||
|
||||
Как показано на рисунках ниже, под узлом указан его баланс-фактор. Если двигаться снизу вверх, то первым разбалансированным узлом в двоичном дереве будет "узел 3". Рассмотрим поддерево с этим узлом в качестве корня, обозначим данный узел как `node` , его левого дочернего узла как `child` и выполним "правое вращение". После завершения правого вращения поддерево снова станет сбалансированным и при этом сохранит свойство двоичного дерева поиска.
|
||||
Как показано на рисунке 7-26, под узлом указан его баланс-фактор. Если двигаться снизу вверх, то первым разбалансированным узлом в двоичном дереве будет «узел 3». Рассмотрим поддерево с этим узлом в качестве корня, обозначим данный узел как `node` , его левого дочернего узла как `child` и выполним «правое вращение». После завершения правого вращения поддерево снова станет сбалансированным и при этом сохранит свойство двоичного дерева поиска.
|
||||
|
||||
=== "<1>"
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
@@ -680,7 +680,7 @@ AVL-дерево одновременно является и двоичным
|
||||
|
||||
<p align="center"> Рисунок 7-27 Правое вращение при наличии grand_child </p>
|
||||
|
||||
"Поворот вправо" - это лишь образное описание; в реальности он реализуется через изменение указателей узлов. Код приведен ниже:
|
||||
«Поворот вправо» - это лишь образное описание. В реальности он реализуется через изменение указателей узлов. Код приведен ниже:
|
||||
|
||||
=== "Python"
|
||||
|
||||
@@ -923,13 +923,13 @@ AVL-дерево одновременно является и двоичным
|
||||
|
||||
### 2. Левое вращение
|
||||
|
||||
Соответственно, если рассмотреть "зеркальную" версию приведенного выше разбалансированного двоичного дерева, то понадобится выполнить "левое вращение", показанное на рисунке 7-28.
|
||||
Соответственно, если рассмотреть «зеркальную» версию приведенного выше разбалансированного двоичного дерева, то понадобится выполнить «левое вращение», показанное на рисунке 7-28.
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
<p align="center"> Рисунок 7-28 Левое вращение </p>
|
||||
|
||||
По той же причине, когда у узла `child` есть левый дочерний узел, который обозначим как `grand_child` , в левое вращение также требуется добавить шаг: сделать `grand_child` правым дочерним узлом `node` .
|
||||
Аналогичная ситуация показана на рисунке 7-29. Если у узла `child` есть левый дочерний узел, который обозначим как `grand_child` , то в левое вращение также требуется добавить шаг: сделать `grand_child` правым дочерним узлом `node` .
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
@@ -1178,7 +1178,7 @@ AVL-дерево одновременно является и двоичным
|
||||
|
||||
### 3. Сначала левое, затем правое вращение
|
||||
|
||||
Для разбалансированного узла 3 на рисунке 7-30 ни одно лишь левое вращение, ни одно лишь правое вращение не способны вернуть поддерево в баланс. В этом случае нужно сначала выполнить "левое вращение" для `child` , а затем выполнить "правое вращение" для `node` .
|
||||
Для разбалансированного узла 3 на рисунке 7-30 ни одно лишь левое вращение, ни одно лишь правое вращение не способны вернуть поддерево в баланс. В этом случае нужно сначала выполнить «левое вращение» для `child` , а затем выполнить «правое вращение» для `node` .
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
@@ -1186,7 +1186,7 @@ AVL-дерево одновременно является и двоичным
|
||||
|
||||
### 4. Сначала правое, затем левое вращение
|
||||
|
||||
Как показано на рисунке 7-31, для зеркальной ситуации предыдущего разбалансированного двоичного дерева нужно сначала выполнить "правое вращение" для `child` , а затем "левое вращение" для `node` .
|
||||
Как показано на рисунке 7-31, для зеркальной ситуации предыдущего разбалансированного двоичного дерева нужно сначала выполнить «правое вращение» для `child` , а затем «левое вращение» для `node` .
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
@@ -1194,13 +1194,13 @@ AVL-дерево одновременно является и двоичным
|
||||
|
||||
### 5. Выбор вращения
|
||||
|
||||
Четыре вида разбаланса, показанные на рисунке 7-32, по одному соответствуют рассмотренным выше случаям; для них соответственно требуются правое вращение, сначала левое затем правое, сначала правое затем левое и левое вращение.
|
||||
Четыре вида разбаланса, показанные на рисунке 7-32, по одному соответствуют рассмотренным выше случаям. Для них соответственно требуются правое вращение, сначала левое затем правое, сначала правое затем левое и левое вращение.
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
<p align="center"> Рисунок 7-32 Четыре случая вращений AVL-дерева </p>
|
||||
|
||||
Как показано в таблице 7-3, мы определяем, какому из этих четырех случаев соответствует разбалансированный узел, по знаку баланс-фактора самого разбалансированного узла и по знаку баланс-фактора дочернего узла на более высокой стороне.
|
||||
Как показано в таблице 7-3, мы определяем, какому из случаев на рисунке 7-32 соответствует разбалансированный узел, по знаку баланс-фактора самого разбалансированного узла и по знаку баланс-фактора дочернего узла на более высокой стороне.
|
||||
|
||||
<p align="center"> Таблица 7-3 Условия выбора для четырех случаев вращений </p>
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -19,7 +19,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
### 1. Поиск узла
|
||||
|
||||
Для заданного целевого значения узла `num` можно выполнить поиск, опираясь на свойства двоичного дерева поиска. Как показано на рисунках ниже, мы объявляем узел `cur` , стартуем от корня дерева `root` и циклически сравниваем значения `cur.val` и `num` .
|
||||
Для заданного целевого значения узла `num` можно выполнить поиск, опираясь на свойства двоичного дерева поиска. Как показано на рисунке 7-17, мы объявляем узел `cur` , стартуем от корня дерева `root` и циклически сравниваем значения `cur.val` и `num` .
|
||||
|
||||
- Если `cur.val < num` , это означает, что целевой узел находится в правом поддереве `cur` , поэтому выполняем `cur = cur.right` .
|
||||
- Если `cur.val > num` , это означает, что целевой узел находится в левом поддереве `cur` , поэтому выполняем `cur = cur.left` .
|
||||
@@ -345,7 +345,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
### 2. Вставка узла
|
||||
|
||||
Пусть дан элемент `num` , который нужно вставить. Чтобы сохранить свойство двоичного дерева поиска "левое поддерево < корень < правое поддерево", процесс вставки выглядит следующим образом.
|
||||
Пусть дан элемент `num` , который нужно вставить. Чтобы сохранить свойство двоичного дерева поиска «левое поддерево < корень < правое поддерево», процесс вставки показан на рисунке 7-18.
|
||||
|
||||
1. **Найти позицию для вставки**: как и в операции поиска, начиная от корня, мы циклически спускаемся вниз в зависимости от соотношения между текущим значением узла и `num` , пока не выйдем за листовой узел (то есть не дойдем до `None` ).
|
||||
2. **Вставить узел в найденную позицию**: инициализировать узел `num` и поставить его на место этого `None` .
|
||||
@@ -811,7 +811,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
### 3. Удаление узла
|
||||
|
||||
Сначала нужно найти в двоичном дереве целевой узел, а затем удалить его. Как и при вставке, после удаления необходимо сохранить свойство двоичного дерева поиска: "левое поддерево < корень < правое поддерево". Поэтому в зависимости от числа дочерних узлов у удаляемого узла, то есть для случаев со степенью 0, 1 и 2, выполняются разные операции удаления.
|
||||
Сначала нужно найти в двоичном дереве целевой узел, а затем удалить его. Как и при вставке, после удаления необходимо сохранить свойство двоичного дерева поиска: «левое поддерево < корень < правое поддерево». Поэтому в зависимости от числа дочерних узлов у удаляемого узла, то есть для случаев со степенью 0, 1 и 2, выполняются разные операции удаления.
|
||||
|
||||
Как показано на рисунке 7-19, когда степень удаляемого узла равна $0$ , это значит, что узел является листом и может быть удален напрямую.
|
||||
|
||||
@@ -825,11 +825,11 @@ comments: true
|
||||
|
||||
<p align="center"> Рисунок 7-20 Удаление узла в двоичном дереве поиска (степень 1) </p>
|
||||
|
||||
Когда степень удаляемого узла равна $2$ , мы уже не можем удалить его напрямую и должны использовать для замены другой узел. Чтобы сохранить свойство двоичного дерева поиска "левое поддерево $<$ корень $<$ правое поддерево", **этим узлом может быть минимальный узел правого поддерева или максимальный узел левого поддерева**.
|
||||
Когда степень удаляемого узла равна $2$ , мы уже не можем удалить его напрямую и должны использовать для замены другой узел. Чтобы сохранить свойство двоичного дерева поиска «левое поддерево $<$ корень $<$ правое поддерево», **этим узлом может быть минимальный узел правого поддерева или максимальный узел левого поддерева**.
|
||||
|
||||
Предположим, мы выбираем минимальный узел правого поддерева, то есть следующий узел в симметричном обходе. Тогда процесс удаления выглядит так.
|
||||
Предположим, мы выбираем минимальный узел правого поддерева, то есть следующий узел в симметричном обходе. Тогда процесс удаления показан на рисунке 7-21.
|
||||
|
||||
1. Найти следующий узел в "последовательности симметричного обхода" для удаляемого узла и обозначить его как `tmp` .
|
||||
1. Найти следующий узел в «последовательности симметричного обхода» для удаляемого узла и обозначить его как `tmp` .
|
||||
2. Значением `tmp` перезаписать значение удаляемого узла, а затем рекурсивно удалить узел `tmp` из дерева.
|
||||
|
||||
=== "<1>"
|
||||
@@ -1595,7 +1595,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
### 4. Упорядоченность симметричного обхода
|
||||
|
||||
Как показано на рисунке 7-22, симметричный обход двоичного дерева следует порядку "лево $\rightarrow$ корень $\rightarrow$ право", а двоичное дерево поиска удовлетворяет соотношению "левый дочерний узел $<$ корень $<$ правый дочерний узел".
|
||||
Как показано на рисунке 7-22, симметричный обход двоичного дерева следует порядку «лево $\rightarrow$ корень $\rightarrow$ право», а двоичное дерево поиска удовлетворяет соотношению «левый дочерний узел $<$ корень $<$ правый дочерний узел».
|
||||
|
||||
Это означает, что при симметричном обходе двоичного дерева поиска мы всегда сначала будем посещать следующий минимальный узел, и отсюда получается важное свойство: **последовательность симметричного обхода двоичного дерева поиска является возрастающей**.
|
||||
|
||||
@@ -1607,7 +1607,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
## 7.4.2 Эффективность двоичного дерева поиска
|
||||
|
||||
Для заданного набора данных можно рассмотреть хранение либо в массиве, либо в двоичном дереве поиска. Из таблицы ниже видно, что временная сложность операций двоичного дерева поиска имеет логарифмический порядок и обеспечивает стабильную высокую производительность. Только в сценариях с очень частыми вставками и редкими поисками и удалениями массив может быть эффективнее, чем двоичное дерево поиска.
|
||||
Для заданного набора данных можно рассмотреть хранение либо в массиве, либо в двоичном дереве поиска. Как видно по данным в таблице 7-2, временная сложность операций двоичного дерева поиска имеет логарифмический порядок и обеспечивает стабильную высокую производительность. Только в сценариях с очень частыми вставками и редкими поисками и удалениями массив может быть эффективнее, чем двоичное дерево поиска.
|
||||
|
||||
<p align="center"> Таблица 7-2 Сравнение эффективности массива и дерева поиска </p>
|
||||
|
||||
@@ -1621,7 +1621,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
</div>
|
||||
|
||||
В идеальном случае двоичное дерево поиска является "сбалансированным", и тогда любой узел можно найти за $\log n$ итераций.
|
||||
В идеальном случае двоичное дерево поиска является «сбалансированным», и тогда любой узел можно найти за $\log n$ итераций.
|
||||
|
||||
Однако если в двоичное дерево поиска непрерывно вставлять и удалять узлы, оно может выродиться в связный список, как показано на рисунке 7-23. Тогда временная сложность различных операций тоже вырождается до $O(n)$ .
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -4,7 +4,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
# 7.1 Двоичное дерево
|
||||
|
||||
<u>Двоичное дерево (binary tree)</u> - это нелинейная структура данных, представляющая отношения между "предками" и "потомками" и отражающая логику "разделяй и властвуй". Подобно связному списку, базовой единицей двоичного дерева является узел; каждый узел содержит значение, ссылку на левого дочернего узла и ссылку на правого дочернего узла.
|
||||
<u>Двоичное дерево (binary tree)</u> - это нелинейная структура данных, представляющая отношения между «предками» и «потомками» и отражающая логику «разделяй и властвуй». Подобно связному списку, базовой единицей двоичного дерева является узел. Каждый узел содержит значение, ссылку на левого дочернего узла и ссылку на правого дочернего узла.
|
||||
|
||||
=== "Python"
|
||||
|
||||
@@ -205,9 +205,9 @@ comments: true
|
||||
end
|
||||
```
|
||||
|
||||
Каждый узел имеет две ссылки (указателя), которые соответственно указывают на <u>левого дочернего узла (left-child node)</u> и <u>правого дочернего узла (right-child node)</u>; данный узел называется <u>родительским узлом (parent node)</u> для этих двух дочерних узлов. Если задан некоторый узел двоичного дерева, то дерево, образованное его левым дочерним узлом и всеми узлами ниже него, называется <u>левым поддеревом (left subtree)</u> этого узла; аналогично определяется <u>правое поддерево (right subtree)</u>.
|
||||
Каждый узел имеет две ссылки (указателя), которые соответственно указывают на <u>левого дочернего узла (left-child node)</u> и <u>правого дочернего узла (right-child node)</u>. Данный узел называется <u>родительским узлом (parent node)</u> для этих двух дочерних узлов. Если задан некоторый узел двоичного дерева, то дерево, образованное его левым дочерним узлом и всеми узлами ниже него, называется <u>левым поддеревом (left subtree)</u> этого узла. Аналогично определяется <u>правое поддерево (right subtree)</u>.
|
||||
|
||||
**Узлы, не имеющие дочерних узлов, называют листьями, а все остальные узлы содержат дочерние узлы и непустые поддеревья**. Как показано на рисунке 7-1, если рассматривать "узел 2" как родительский, то его левым и правым дочерними узлами будут "узел 4" и "узел 5"; левое поддерево - это "узел 4 и дерево ниже него", а правое поддерево - это "узел 5 и дерево ниже него".
|
||||
**Узлы, не имеющие дочерних узлов, называют листьями, а все остальные узлы содержат дочерние узлы и непустые поддеревья**. Как показано на рисунке 7-1, если рассматривать «узел 2» как родительский, то его левым и правым дочерними узлами будут «узел 4» и «узел 5». Левое поддерево - это «узел 4 и дерево ниже него», а правое поддерево - это «узел 5 и дерево ниже него».
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
@@ -218,9 +218,9 @@ comments: true
|
||||
Распространенные термины двоичного дерева показаны на рисунке 7-2.
|
||||
|
||||
- <u>Корневой узел (root node)</u>: узел, расположенный на верхнем уровне двоичного дерева и не имеющий родительского узла.
|
||||
- <u>Листовой узел (leaf node)</u>: узел без дочерних узлов; оба его указателя направлены на `None` .
|
||||
- <u>Листовой узел (leaf node)</u>: узел без дочерних узлов. Оба его указателя направлены на `None` .
|
||||
- <u>Ребро (edge)</u>: отрезок, соединяющий два узла, то есть ссылка (указатель) между узлами.
|
||||
- <u>Уровень (level)</u> узла: увеличивается сверху вниз; уровень корневого узла равен 1 .
|
||||
- <u>Уровень (level)</u> узла: увеличивается сверху вниз. Уровень корневого узла равен 1 .
|
||||
- <u>Степень (degree)</u> узла: число дочерних узлов данного узла. В двоичном дереве возможны степени 0, 1, 2 .
|
||||
- <u>Высота (height)</u> двоичного дерева: число ребер от корневого узла до самого удаленного листового узла.
|
||||
- <u>Глубина (depth)</u> узла: число ребер от корневого узла до данного узла.
|
||||
@@ -232,7 +232,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
!!! tip
|
||||
|
||||
Обычно под "высотой" и "глубиной" понимают "число пройденных ребер", но в некоторых задачах или учебниках их могут определять как "число пройденных узлов". В таком случае и высоту, и глубину нужно увеличить на 1 .
|
||||
Обычно под «высотой» и «глубиной» понимают «число пройденных ребер», но в некоторых задачах или учебниках их могут определять как «число пройденных узлов». В таком случае и высоту, и глубину нужно увеличить на 1 .
|
||||
|
||||
## 7.1.2 Базовые операции двоичного дерева
|
||||
|
||||
@@ -637,7 +637,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
### 1. Идеальное двоичное дерево
|
||||
|
||||
Как показано на рисунке 7-4, <u>идеальное двоичное дерево (perfect binary tree)</u> полностью заполнено на всех уровнях. В идеальном двоичном дереве степень листовых узлов равна $0$ , а у всех остальных узлов степень равна $2$ ; если высота дерева равна $h$ , то общее число узлов равно $2^{h+1} - 1$ , что образует стандартную экспоненциальную зависимость и отражает часто встречающееся в природе явление клеточного деления.
|
||||
Как показано на рисунке 7-4, <u>идеальное двоичное дерево (perfect binary tree)</u> полностью заполнено на всех уровнях. В идеальном двоичном дереве степень листовых узлов равна $0$ , а у всех остальных узлов степень равна $2$. Если высота дерева равна $h$ , то общее число узлов равно $2^{h+1} - 1$ , что образует стандартную экспоненциальную зависимость и отражает часто встречающееся в природе явление клеточного деления.
|
||||
|
||||
!!! tip
|
||||
|
||||
@@ -673,9 +673,9 @@ comments: true
|
||||
|
||||
## 7.1.4 Вырождение двоичного дерева
|
||||
|
||||
На рисунке 7-8 показаны идеальная структура двоичного дерева и вырожденная структура. Когда каждый уровень двоичного дерева полностью заполнен узлами, мы получаем "идеальное двоичное дерево"; когда же все узлы смещаются к одной стороне, двоичное дерево вырождается в "связный список".
|
||||
На рисунке 7-8 показаны идеальная структура двоичного дерева и вырожденная структура. Когда каждый уровень двоичного дерева полностью заполнен узлами, мы получаем «идеальное двоичное дерево». Когда же все узлы смещаются к одной стороне, двоичное дерево вырождается в «связный список».
|
||||
|
||||
- Идеальное двоичное дерево соответствует лучшему случаю и позволяет в полной мере раскрыть преимущества подхода "разделяй и властвуй".
|
||||
- Идеальное двоичное дерево соответствует лучшему случаю и позволяет в полной мере раскрыть преимущества подхода «разделяй и властвуй».
|
||||
- Связный список представляет противоположную крайность: все операции становятся линейными, а временная сложность деградирует до $O(n)$ .
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
@@ -12,7 +12,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
Как показано на рисунке 7-9, <u>обход по уровням (level-order traversal)</u> проходит двоичное дерево сверху вниз по уровням и на каждом уровне посещает узлы слева направо.
|
||||
|
||||
По своей сути обход по уровням относится к <u>обходу в ширину (breadth-first traversal)</u>, также называемому <u>поиском в ширину (breadth-first search, BFS)</u>; он отражает идею "расширяться от центра к периферии слой за слоем".
|
||||
По своей сути обход по уровням относится к <u>обходу в ширину (breadth-first traversal)</u>, также называемому <u>поиском в ширину (breadth-first search, BFS)</u>. Он отражает идею «расширяться от центра к периферии слой за слоем».
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
@@ -20,7 +20,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
### 1. Код реализации
|
||||
|
||||
Обход в ширину обычно реализуется с помощью "очереди". Очередь подчиняется правилу "первым пришел - первым вышел", а обход в ширину подчиняется правилу "продвигаться по уровням", поэтому стоящая за ними идея согласована. Код реализации приведен ниже:
|
||||
Обход в ширину обычно реализуется с помощью «очереди». Очередь подчиняется правилу «первым пришел - первым вышел», а обход в ширину подчиняется правилу «продвигаться по уровням», поэтому стоящая за ними идея согласована. Код реализации приведен ниже:
|
||||
|
||||
=== "Python"
|
||||
|
||||
@@ -346,7 +346,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
## 7.2.2 Прямой, симметричный и обратный обходы
|
||||
|
||||
Соответственно, прямой, симметричный и обратный обходы относятся к <u>обходу в глубину (depth-first traversal)</u>, также называемому <u>поиском в глубину (depth-first search, DFS)</u>; он отражает идею "сначала идти до конца, затем возвращаться и продолжать".
|
||||
Соответственно, прямой, симметричный и обратный обходы относятся к <u>обходу в глубину (depth-first traversal)</u>, также называемому <u>поиском в глубину (depth-first search, DFS)</u>. Он отражает идею «сначала идти до конца, затем возвращаться и продолжать».
|
||||
|
||||
На рисунке 7-10 показан принцип работы обхода двоичного дерева в глубину. **Обход в глубину можно представить как обход всей двоичной структуры по внешнему контуру** , и у каждого узла встречаются три позиции, соответствующие прямому, симметричному и обратному обходам.
|
||||
|
||||
@@ -826,12 +826,12 @@ comments: true
|
||||
|
||||
!!! tip
|
||||
|
||||
Поиск в глубину можно реализовать и итеративно; заинтересованные читатели могут изучить это самостоятельно.
|
||||
Поиск в глубину можно реализовать и итеративно. Заинтересованные читатели могут изучить это самостоятельно.
|
||||
|
||||
На рисунках ниже показан рекурсивный процесс прямого обхода двоичного дерева. Его можно разделить на две противоположные части: "вход в рекурсию" и "возврат".
|
||||
На рисунке 7-11 показан рекурсивный процесс прямого обхода двоичного дерева. Его можно разделить на две противоположные части: «вход в рекурсию» и «возврат».
|
||||
|
||||
1. "Вход в рекурсию" означает запуск нового вызова функции; в этом процессе программа переходит к следующему узлу.
|
||||
2. "Возврат" означает завершение вызова функции и возврат назад, то есть текущий узел уже полностью обработан.
|
||||
1. «Вход в рекурсию» означает запуск нового вызова функции. В этом процессе программа переходит к следующему узлу.
|
||||
2. «Возврат» означает завершение вызова функции и возврат назад, то есть текущий узел уже полностью обработан.
|
||||
|
||||
=== "<1>"
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
@@ -10,8 +10,8 @@ icon: material/graph-outline
|
||||
!!! abstract
|
||||
|
||||
Высокое дерево полно жизни: мощные корни, густая листва и раскидистые ветви.
|
||||
|
||||
Оно наглядно показывает нам живую форму данных, построенную на принципе "разделяй и властвуй".
|
||||
|
||||
Оно наглядно показывает нам живую форму данных, построенную на принципе «разделяй и властвуй».
|
||||
|
||||
## Содержание главы
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -6,15 +6,15 @@ comments: true
|
||||
|
||||
### 1. Основные моменты
|
||||
|
||||
- Двоичное дерево - это нелинейная структура данных, отражающая логику "разделяй и властвуй". Каждый узел двоичного дерева содержит значение и два указателя, которые соответственно ведут к левому и правому дочерним узлам.
|
||||
- Двоичное дерево - это нелинейная структура данных, отражающая логику «разделяй и властвуй». Каждый узел двоичного дерева содержит значение и два указателя, которые соответственно ведут к левому и правому дочерним узлам.
|
||||
- Для любого узла двоичного дерева дерево, образованное его левым (правым) дочерним узлом и всеми нижележащими узлами, называется левым (правым) поддеревом этого узла.
|
||||
- К связанным с двоичным деревом терминам относятся корневой узел, листовой узел, уровень, степень, ребро, высота, глубина и так далее.
|
||||
- Инициализация двоичного дерева, вставка узлов и удаление узлов аналогичны операциям со связным списком.
|
||||
- К распространенным видам двоичного дерева относятся идеальное двоичное дерево, полное двоичное дерево, строгое двоичное дерево и сбалансированное двоичное дерево. Идеальное двоичное дерево - наиболее желательное состояние, а связный список - худший случай после вырождения.
|
||||
- Двоичное дерево можно представить массивом: значения узлов и пустые позиции располагаются в порядке обхода по уровням, а связи между родителем и детьми реализуются через индексацию.
|
||||
- Обход двоичного дерева по уровням является методом поиска в ширину; он отражает идею "расширяться от центра к периферии слой за слоем" и обычно реализуется через очередь.
|
||||
- Прямой, симметричный и обратный обходы относятся к поиску в глубину; они отражают идею "сначала дойти до конца, затем вернуться и продолжить" и обычно реализуются рекурсивно.
|
||||
- Двоичное дерево поиска - это эффективная структура данных для поиска элементов; его поиск, вставка и удаление имеют временную сложность $O(\log n)$ . Когда двоичное дерево поиска вырождается в связный список, все эти сложности деградируют до $O(n)$ .
|
||||
- Обход двоичного дерева по уровням является методом поиска в ширину. Он отражает идею «расширяться от центра к периферии слой за слоем» и обычно реализуется через очередь.
|
||||
- Прямой, симметричный и обратный обходы относятся к поиску в глубину. Они отражают идею «сначала дойти до конца, затем вернуться и продолжить» и обычно реализуются рекурсивно.
|
||||
- Двоичное дерево поиска - это эффективная структура данных для поиска элементов. Его поиск, вставка и удаление имеют временную сложность $O(\log n)$ . Когда двоичное дерево поиска вырождается в связный список, все эти сложности деградируют до $O(n)$ .
|
||||
- AVL-дерево, также называемое сбалансированным двоичным деревом поиска, с помощью вращений гарантирует, что после постоянных вставок и удалений узлов дерево остается сбалансированным.
|
||||
- Вращения AVL-дерева включают правое вращение, левое вращение, сначала правое затем левое и сначала левое затем правое. После вставки или удаления узла AVL-дерево выполняет вращения снизу вверх, чтобы снова восстановить баланс.
|
||||
|
||||
@@ -22,15 +22,15 @@ comments: true
|
||||
|
||||
**Q**: Для двоичного дерева, состоящего из одного узла, высота дерева и глубина корня обе равны $0$ ?
|
||||
|
||||
Да, потому что высота и глубина обычно определяются как "число пройденных ребер".
|
||||
Да, потому что высота и глубина обычно определяются как «число пройденных ребер».
|
||||
|
||||
**Q**: Вставка и удаление в двоичном дереве обычно выполняются в составе набора операций. Что именно означает этот "набор операций"? Можно ли понимать это как освобождение ресурсов у дочерних узлов ресурса?
|
||||
**Q**: Вставка и удаление в двоичном дереве обычно выполняются в составе набора операций. Что именно означает этот «набор операций»? Можно ли понимать это как освобождение ресурсов у дочерних узлов ресурса?
|
||||
|
||||
Возьмем в качестве примера двоичное дерево поиска: операция удаления узла делится на три случая, и каждый из этих случаев требует нескольких последовательных шагов работы с узлами.
|
||||
|
||||
**Q**: Почему у DFS для двоичного дерева есть три порядка: прямой, симметричный и обратный? Для чего они нужны?
|
||||
|
||||
Подобно прямому и обратному обходу массива, прямой, симметричный и обратный обходы - это три способа обхода двоичного дерева, с помощью которых можно получить результаты в определенном порядке. Например, в двоичном дереве поиска, где соблюдается отношение `значение левого дочернего узла < значение корня < значение правого дочернего узла` , если обходить дерево с приоритетом "лево $\rightarrow$ корень $\rightarrow$ право", то получится упорядоченная последовательность узлов.
|
||||
Подобно прямому и обратному обходу массива, прямой, симметричный и обратный обходы - это три способа обхода двоичного дерева, с помощью которых можно получить результаты в определенном порядке. Например, в двоичном дереве поиска, где соблюдается отношение `значение левого дочернего узла < значение корня < значение правого дочернего узла` , если обходить дерево с приоритетом «лево $\rightarrow$ корень $\rightarrow$ право», то получится упорядоченная последовательность узлов.
|
||||
|
||||
**Q**: Правое вращение работает с отношениями между `node` , `child` и `grand_child` . А связь между `node` и его исходным родителем разве не нужно поддерживать? После правого вращения она ведь не оборвется?
|
||||
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user