build

ru/docs/chapter_tree/avl_tree.md

@@ -4,7 +4,7 @@ comments: true
 
 # 7.5   AVL-дерево *
 
-В разделе "Двоичное дерево поиска" мы упоминали, что после многократных операций вставки и удаления узлов двоичное дерево поиска может выродиться в связный список. В таком случае временная сложность всех операций ухудшается с $O(\log n)$ до $O(n)$ .
+В разделе «Двоичное дерево поиска» мы упоминали, что после многократных операций вставки и удаления узлов двоичное дерево поиска может выродиться в связный список. В таком случае временная сложность всех операций ухудшается с $O(\log n)$ до $O(n)$ .
 
 Как показано на рисунке 7-24, после двух операций удаления узлов это двоичное дерево поиска вырождается в связный список.
 
@@ -18,7 +18,7 @@ comments: true
 
 <p align="center"> Рисунок 7-25 &nbsp; Деградация AVL-дерева после вставки узлов </p>
 
-В 1962 году Г. М. Adelson-Velsky и Е. М. Landis в статье "An algorithm for the organization of information" предложили <u>AVL-дерево</u>. В статье подробно описан набор операций, гарантирующий, что при непрерывном добавлении и удалении узлов AVL-дерево не вырождается, благодаря чему временная сложность различных операций сохраняется на уровне $O(\log n)$ . Иначе говоря, в сценариях, где часто выполняются вставка, удаление, поиск и изменение, AVL-дерево всегда поддерживает эффективную работу с данными и потому имеет высокую практическую ценность.
+В 1962 году Г. М. Adelson-Velsky и Е. М. Landis в статье «An algorithm for the organization of information» предложили <u>AVL-дерево</u>. В статье подробно описан набор операций, гарантирующий, что при непрерывном добавлении и удалении узлов AVL-дерево не вырождается, благодаря чему временная сложность различных операций сохраняется на уровне $O(\log n)$ . Иначе говоря, в сценариях, где часто выполняются вставка, удаление, поиск и изменение, AVL-дерево всегда поддерживает эффективную работу с данными и потому имеет высокую практическую ценность.
 
 ## 7.5.1 &nbsp; Распространенные термины AVL-дерева
 
@@ -236,7 +236,7 @@ AVL-дерево одновременно является и двоичным
     end
     ```
 
-"Высота узла" означает расстояние от этого узла до самого удаленного листового узла, то есть число пройденных "ребер". Особенно важно помнить, что высота листового узла равна $0$ , а высота пустого узла равна $-1$ . Мы создадим две вспомогательные функции: одну для получения высоты узла, другую для ее обновления:
+«Высота узла» означает расстояние от этого узла до самого удаленного листового узла, то есть число пройденных «ребер». Особенно важно помнить, что высота листового узла равна $0$ , а высота пустого узла равна $-1$ . Мы создадим две вспомогательные функции: одну для получения высоты узла, другую для ее обновления:
 
 === "Python"
 
@@ -477,7 +477,7 @@ AVL-дерево одновременно является и двоичным
 
 ### 2. &nbsp; Баланс-фактор узла
 
-<u>Баланс-фактор (balance factor)</u> узла определяется как высота левого поддерева минус высота правого поддерева; при этом баланс-фактор пустого узла считается равным $0$ . Мы также инкапсулируем получение баланс-фактора в отдельную функцию, чтобы потом было удобнее ее использовать:
+<u>Баланс-фактор (balance factor)</u> узла определяется как высота левого поддерева минус высота правого поддерева. При этом баланс-фактор пустого узла считается равным $0$ . Мы также инкапсулируем получение баланс-фактора в отдельную функцию, чтобы потом было удобнее ее использовать:
 
 === "Python"
 
@@ -648,17 +648,17 @@ AVL-дерево одновременно является и двоичным
 
 !!! tip
 
-    Пусть баланс-фактор равен $f$ ; тогда для любого узла AVL-дерева выполняется $-1 \le f \le 1$ .
+    Пусть баланс-фактор равен $f$. Тогда для любого узла AVL-дерева выполняется $-1 \le f \le 1$ .
 
 ## 7.5.2 &nbsp; Вращения AVL-дерева
 
-Особенность AVL-дерева заключается в операции "вращения", которая позволяет заново сбалансировать разбалансированный узел, не нарушая последовательность симметричного обхода двоичного дерева. Иначе говоря, **операция вращения одновременно сохраняет свойство "двоичного дерева поиска" и возвращает дерево в состояние "сбалансированного двоичного дерева"**.
+Особенность AVL-дерева заключается в операции «вращения», которая позволяет заново сбалансировать разбалансированный узел, не нарушая последовательность симметричного обхода двоичного дерева. Иначе говоря, **операция вращения одновременно сохраняет свойство «двоичного дерева поиска» и возвращает дерево в состояние «сбалансированного двоичного дерева»**.
 
-Узлы, для которых абсолютное значение баланс-фактора больше $1$ , мы называем "разбалансированными узлами". В зависимости от вида разбаланса вращения делятся на четыре типа: правое вращение, левое вращение, сначала левое затем правое, и сначала правое затем левое. Ниже разберем их подробно.
+Узлы, для которых абсолютное значение баланс-фактора больше $1$ , мы называем «разбалансированными узлами». В зависимости от вида разбаланса вращения делятся на четыре типа: правое вращение, левое вращение, сначала левое затем правое, и сначала правое затем левое. Ниже разберем их подробно.
 
 ### 1. &nbsp; Правое вращение
 
-Как показано на рисунках ниже, под узлом указан его баланс-фактор. Если двигаться снизу вверх, то первым разбалансированным узлом в двоичном дереве будет "узел 3". Рассмотрим поддерево с этим узлом в качестве корня, обозначим данный узел как `node` , его левого дочернего узла как `child` и выполним "правое вращение". После завершения правого вращения поддерево снова станет сбалансированным и при этом сохранит свойство двоичного дерева поиска.
+Как показано на рисунке 7-26, под узлом указан его баланс-фактор. Если двигаться снизу вверх, то первым разбалансированным узлом в двоичном дереве будет «узел 3». Рассмотрим поддерево с этим узлом в качестве корня, обозначим данный узел как `node` , его левого дочернего узла как `child` и выполним «правое вращение». После завершения правого вращения поддерево снова станет сбалансированным и при этом сохранит свойство двоичного дерева поиска.
 
 === "<1>"
     ![Шаги правого вращения](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step1.png){ class="animation-figure" }
@@ -680,7 +680,7 @@ AVL-дерево одновременно является и двоичным
 
 <p align="center"> Рисунок 7-27 &nbsp; Правое вращение при наличии grand_child </p>
 
-"Поворот вправо" - это лишь образное описание; в реальности он реализуется через изменение указателей узлов. Код приведен ниже:
+«Поворот вправо» - это лишь образное описание. В реальности он реализуется через изменение указателей узлов. Код приведен ниже:
 
 === "Python"
 
@@ -923,13 +923,13 @@ AVL-дерево одновременно является и двоичным
 
 ### 2. &nbsp; Левое вращение
 
-Соответственно, если рассмотреть "зеркальную" версию приведенного выше разбалансированного двоичного дерева, то понадобится выполнить "левое вращение", показанное на рисунке 7-28.
+Соответственно, если рассмотреть «зеркальную» версию приведенного выше разбалансированного двоичного дерева, то понадобится выполнить «левое вращение», показанное на рисунке 7-28.
 
 ![Левое вращение](avl_tree.assets/avltree_left_rotate.png){ class="animation-figure" }
 
 <p align="center"> Рисунок 7-28 &nbsp; Левое вращение </p>
 
-По той же причине, когда у узла `child` есть левый дочерний узел, который обозначим как `grand_child` , в левое вращение также требуется добавить шаг: сделать `grand_child` правым дочерним узлом `node` .
+Аналогичная ситуация показана на рисунке 7-29. Если у узла `child` есть левый дочерний узел, который обозначим как `grand_child` , то в левое вращение также требуется добавить шаг: сделать `grand_child` правым дочерним узлом `node` .
 
 ![Левое вращение при наличии grand_child](avl_tree.assets/avltree_left_rotate_with_grandchild.png){ class="animation-figure" }
 
@@ -1178,7 +1178,7 @@ AVL-дерево одновременно является и двоичным
 
 ### 3. &nbsp; Сначала левое, затем правое вращение
 
-Для разбалансированного узла 3 на рисунке 7-30 ни одно лишь левое вращение, ни одно лишь правое вращение не способны вернуть поддерево в баланс. В этом случае нужно сначала выполнить "левое вращение" для `child` , а затем выполнить "правое вращение" для `node` .
+Для разбалансированного узла 3 на рисунке 7-30 ни одно лишь левое вращение, ни одно лишь правое вращение не способны вернуть поддерево в баланс. В этом случае нужно сначала выполнить «левое вращение» для `child` , а затем выполнить «правое вращение» для `node` .
 
 ![Сначала левое, затем правое вращение](avl_tree.assets/avltree_left_right_rotate.png){ class="animation-figure" }
 
@@ -1186,7 +1186,7 @@ AVL-дерево одновременно является и двоичным
 
 ### 4. &nbsp; Сначала правое, затем левое вращение
 
-Как показано на рисунке 7-31, для зеркальной ситуации предыдущего разбалансированного двоичного дерева нужно сначала выполнить "правое вращение" для `child` , а затем "левое вращение" для `node` .
+Как показано на рисунке 7-31, для зеркальной ситуации предыдущего разбалансированного двоичного дерева нужно сначала выполнить «правое вращение» для `child` , а затем «левое вращение» для `node` .
 
 ![Сначала правое, затем левое вращение](avl_tree.assets/avltree_right_left_rotate.png){ class="animation-figure" }
 
@@ -1194,13 +1194,13 @@ AVL-дерево одновременно является и двоичным
 
 ### 5. &nbsp; Выбор вращения
 
-Четыре вида разбаланса, показанные на рисунке 7-32, по одному соответствуют рассмотренным выше случаям; для них соответственно требуются правое вращение, сначала левое затем правое, сначала правое затем левое и левое вращение.
+Четыре вида разбаланса, показанные на рисунке 7-32, по одному соответствуют рассмотренным выше случаям. Для них соответственно требуются правое вращение, сначала левое затем правое, сначала правое затем левое и левое вращение.
 
 ![Четыре случая вращений AVL-дерева](avl_tree.assets/avltree_rotation_cases.png){ class="animation-figure" }
 
 <p align="center"> Рисунок 7-32 &nbsp; Четыре случая вращений AVL-дерева </p>
 
-Как показано в таблице 7-3, мы определяем, какому из этих четырех случаев соответствует разбалансированный узел, по знаку баланс-фактора самого разбалансированного узла и по знаку баланс-фактора дочернего узла на более высокой стороне.
+Как показано в таблице 7-3, мы определяем, какому из случаев на рисунке 7-32 соответствует разбалансированный узел, по знаку баланс-фактора самого разбалансированного узла и по знаку баланс-фактора дочернего узла на более высокой стороне.
 
 <p align="center"> Таблица 7-3 &nbsp; Условия выбора для четырех случаев вращений </p>