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chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md

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-# 13.3.   动态规划解题思路
+# 14.3.   动态规划解题思路
 
 上两节介绍了动态规划问题的主要特征，接下来我们一起探究两个更加实用的问题：
 
 1. 如何判断一个问题是不是动态规划问题？
 2. 求解动态规划问题该从何处入手，完整步骤是什么？
 
-## 13.3.1.   问题判断
+## 14.3.1.   问题判断
 
 总的来说，如果一个问题包含重叠子问题、最优子结构，并满足无后效性，那么它通常就适合用动态规划求解，但我们很难从问题描述上直接提取出这些特性。因此我们通常会放宽条件，**先观察问题是否适合使用回溯（穷举）解决**。
 
@@ -29,7 +29,7 @@ comments: true
 
 如果一个问题满足决策树模型，并具有较为明显的“加分项“，我们就可以假设它是一个动态规划问题，并尝试求解它。
 
-## 13.3.2.   问题求解
+## 14.3.2.   问题求解
 
 动态规划的解题流程可能会因问题的性质和难度而有所不同，但通常遵循以下步骤：描述决策，定义状态，建立 $dp$ 表，推导状态转移方程，确定边界条件等。
 
@@ -99,7 +99,7 @@ $$
 
 接下来，我们就可以实现动态规划代码了。然而，由于子问题分解是一种从顶至底的思想，因此按照“暴力搜索 $\rightarrow$ 记忆化搜索 $\rightarrow$ 动态规划”的顺序实现更加符合思维习惯。
 
-## 13.3.3.   方法一：暴力搜索
+## 14.3.3.   方法一：暴力搜索
 
 从状态 $[i, j]$ 开始搜索，不断分解为更小的状态 $[i-1, j]$ 和 $[i, j-1]$ ，包括以下递归要素：
 
@@ -240,7 +240,7 @@ $$
 
 每个状态都有向下和向右两种选择，从左上角走到右下角总共需要 $m + n - 2$ 步，所以最差时间复杂度为 $O(2^{m + n})$ 。请注意，这种计算方式未考虑临近网格边界的情况，当到达网络边界时只剩下一种选择。因此实际的路径数量会少一些。
 
-## 13.3.4.   方法二：记忆化搜索
+## 14.3.4.   方法二：记忆化搜索
 
 为了避免重复计算重叠子问题，我们引入一个和网格 `grid` 相同尺寸的记忆列表 `mem` ，用于记录各个子问题的解，提升搜索效率。
 
@@ -394,7 +394,7 @@ $$
 
 <p align="center"> Fig. 记忆化搜索递归树 </p>
 
-## 13.3.5. &nbsp; 方法三：动态规划
+## 14.3.5. &nbsp; 方法三：动态规划
 
 动态规划代码是从底至顶的，仅需循环即可实现。