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chapter_searching/binary_search_edge/index.html

@@ -1354,14 +1354,21 @@
       
         <li class="md-nav__item">
   <a href="#1021" class="md-nav__link">
-    10.2.1. &nbsp; 查找最左一个元素
+    10.2.1. &nbsp; 简单方法
   </a>
   
 </li>
       
         <li class="md-nav__item">
   <a href="#1022" class="md-nav__link">
-    10.2.2. &nbsp; 查找最右一个元素
+    10.2.2. &nbsp; 二分方法
+  </a>
+  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#1023" class="md-nav__link">
+    10.2.3. &nbsp; 查找右边界
   </a>
   
 </li>
@@ -1839,14 +1846,21 @@
       
         <li class="md-nav__item">
   <a href="#1021" class="md-nav__link">
-    10.2.1. &nbsp; 查找最左一个元素
+    10.2.1. &nbsp; 简单方法
   </a>
   
 </li>
       
         <li class="md-nav__item">
   <a href="#1022" class="md-nav__link">
-    10.2.2. &nbsp; 查找最右一个元素
+    10.2.2. &nbsp; 二分方法
+  </a>
+  
+</li>
+      
+        <li class="md-nav__item">
+  <a href="#1023" class="md-nav__link">
+    10.2.3. &nbsp; 查找右边界
   </a>
   
 </li>
@@ -1876,29 +1890,31 @@
 
 <h1 id="102">10.2. &nbsp; 二分查找边界<a class="headerlink" href="#102" title="Permanent link">&para;</a></h1>
 <p>上一节规定目标元素在数组中是唯一的。如果目标元素在数组中多次出现，上节介绍的方法只能保证返回其中一个目标元素的索引，<strong>而无法确定该索引的左边和右边还有多少目标元素</strong>。</p>
-<p>为了查找最左一个 <code>target</code> ，我们可以先进行二分查找，找到任意一个目标元素，<strong>再加一个向左遍历的线性查找</strong>，找到最左的 <code>target</code> 返回即可。然而，由于加入了线性查找，这个方法的时间复杂度可能会劣化至 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。</p>
-<p><img alt="线性查找最左元素" src="../binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_naive.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 线性查找最左元素 </p>
-
-<h2 id="1021">10.2.1. &nbsp; 查找最左一个元素<a class="headerlink" href="#1021" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <div class="admonition question">
 <p class="admonition-title">Question</p>
-<p>给定一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的有序数组 <code>nums</code> 。请查找并返回元素 <code>target</code> 在该数组中首次出现的索引。若数组中不包含该元素，则返回 <span class="arithmatex">\(-1\)</span> 。数组可能包含重复元素。</p>
+<p>给定一个长度为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 的有序数组 <code>nums</code> ，数组可能包含重复元素。请查找并返回元素 <code>target</code> 在数组中首次出现的索引。若数组中不包含该元素，则返回 <span class="arithmatex">\(-1\)</span> 。</p>
 </div>
-<p>实际上，我们可以仅通过二分查找解决以上问题。方法的整体框架不变，先计算中点索引 <code>m</code> ，再判断 <code>target</code> 和 <code>nums[m]</code> 大小关系：</p>
+<h2 id="1021">10.2.1. &nbsp; 简单方法<a class="headerlink" href="#1021" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<p>为了查找数组中最左边的 <code>target</code> ，我们可以分为两步：</p>
+<ol>
+<li>进行二分查找，定位到任意一个 <code>target</code> 的索引，记为 <span class="arithmatex">\(k\)</span> ；</li>
+<li>以索引 <span class="arithmatex">\(k\)</span> 为起始点，向左进行线性遍历，找到最左边的 <code>target</code> 返回即可。</li>
+</ol>
+<p><img alt="线性查找最左边的元素" src="../binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_naive.png" /></p>
+<p align="center"> Fig. 线性查找最左边的元素 </p>
+
+<p>这个方法虽然有效，但由于包含线性查找，<strong>其时间复杂度可能会劣化至 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span></strong> 。</p>
+<h2 id="1022">10.2.2. &nbsp; 二分方法<a class="headerlink" href="#1022" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<p>实际上，我们可以仅通过二分查找解决以上问题。整体算法流程不变，先计算中点索引 <span class="arithmatex">\(m\)</span> ，再判断 <code>target</code> 和 <code>nums[m]</code> 大小关系：</p>
 <ul>
-<li>当 <code>nums[m] &lt; target</code> 或 <code>nums[m] &gt; target</code> 时，说明还没有找到 <code>target</code> ，因此采取与上节代码相同的缩小区间操作。</li>
-<li>当 <code>nums[m] == target</code> 时，说明找到了一个目标元素，此时应该如何缩小区间？</li>
-</ul>
-<p>对于该情况，<strong>我们可以将查找目标想象为 <code>leftarget</code></strong>，其中 <code>leftarget</code> 表示从右到左首个小于 <code>target</code> 的元素。具体来说：</p>
-<ul>
-<li>当 <code>nums[m] == target</code> 时，说明 <code>leftarget</code> 在区间 <code>[i, m - 1]</code> 中，因此采用 <code>j = m - 1</code> 来缩小区间，<strong>从而使指针 <code>j</code> 向 <code>leftarget</code> 收缩靠近</strong>。</li>
-<li>二分查找完成后，<code>i</code> 指向最左一个 <code>target</code> ，<code>j</code> 指向 <code>leftarget</code> ，因此最终返回索引 <code>i</code> 即可。</li>
+<li>当 <code>nums[m] &lt; target</code> 或 <code>nums[m] &gt; target</code> 时，说明还没有找到 <code>target</code> ，因此采取与上节代码相同的缩小区间操作，<strong>从而使指针 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 向 <code>target</code> 靠近</strong>。</li>
+<li>当 <code>nums[m] == target</code> 时，说明“小于 <code>target</code> 的元素”在区间 <span class="arithmatex">\([i, m - 1]\)</span> 中，因此采用 <span class="arithmatex">\(j = m - 1\)</span> 来缩小区间，<strong>从而使指针 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 向小于 <code>target</code> 的元素靠近</strong>。</li>
 </ul>
+<p>二分查找完成后，<strong><span class="arithmatex">\(i\)</span> 指向最左边的 <code>target</code> ，<span class="arithmatex">\(j\)</span> 指向首个小于 <code>target</code> 的元素</strong>，因此返回索引 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 即可。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:8"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">&lt;1&gt;</label><label for="__tabbed_1_2">&lt;2&gt;</label><label for="__tabbed_1_3">&lt;3&gt;</label><label for="__tabbed_1_4">&lt;4&gt;</label><label for="__tabbed_1_5">&lt;5&gt;</label><label for="__tabbed_1_6">&lt;6&gt;</label><label for="__tabbed_1_7">&lt;7&gt;</label><label for="__tabbed_1_8">&lt;8&gt;</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
-<p><img alt="二分查找最左元素的步骤" src="../binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step1.png" /></p>
+<p><img alt="二分查找最左边元素的步骤" src="../binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step1.png" /></p>
 </div>
 <div class="tabbed-block">
 <p><img alt="binary_search_left_edge_step2" src="../binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step2.png" /></p>
@@ -1923,7 +1939,7 @@
 </div>
 </div>
 </div>
-<p>注意，数组可能不包含目标元素 <code>target</code> 。因此在函数返回前，我们需要先判断 <code>nums[i]</code> 与 <code>target</code> 是否相等。另外，当 <code>target</code> 大于数组中的所有元素时，索引 <code>i</code> 会越界，因此也需要额外判断。</p>
+<p>注意，数组可能不包含目标元素 <code>target</code> 。因此在函数返回前，我们需要先判断 <code>nums[i]</code> 与 <code>target</code> 是否相等，以及索引 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 是否越界。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="2:10"><input checked="checked" id="__tabbed_2_1" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_2" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_3" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_4" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_5" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_6" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_7" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_8" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_9" name="__tabbed_2" type="radio" /><input id="__tabbed_2_10" name="__tabbed_2" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_2_1">Java</label><label for="__tabbed_2_2">C++</label><label for="__tabbed_2_3">Python</label><label for="__tabbed_2_4">Go</label><label for="__tabbed_2_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_2_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_2_7">C</label><label for="__tabbed_2_8">C#</label><label for="__tabbed_2_9">Swift</label><label for="__tabbed_2_10">Zig</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -2012,12 +2028,9 @@
 </div>
 </div>
 </div>
-<h2 id="1022">10.2.2. &nbsp; 查找最右一个元素<a class="headerlink" href="#1022" title="Permanent link">&para;</a></h2>
-<p>类似地，我们也可以二分查找最右一个元素。设首个大于 <code>target</code> 的元素为 <code>rightarget</code> 。</p>
-<ul>
-<li>当 <code>nums[m] == target</code> 时，说明 <code>rightarget</code> 在区间 <code>[m + 1, j]</code> 中，因此执行 <code>i = m + 1</code> 将搜索区间向右收缩。</li>
-<li>完成二分后，<code>i</code> 指向 <code>rightarget</code> ，<code>j</code> 指向最右一个 <code>target</code> ，因此最终返回索引 <code>j</code> 即可。</li>
-</ul>
+<h2 id="1023">10.2.3. &nbsp; 查找右边界<a class="headerlink" href="#1023" title="Permanent link">&para;</a></h2>
+<p>类似地，我们也可以二分查找最右边的 <code>target</code> 。当 <code>nums[m] == target</code> 时，说明大于 <code>target</code> 的元素在区间 <span class="arithmatex">\([m + 1, j]\)</span> 中，因此执行 <code>i = m + 1</code> ，<strong>使得指针 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 向大于 <code>target</code> 的元素靠近</strong>。</p>
+<p>完成二分后，<strong><span class="arithmatex">\(i\)</span> 指向首个大于 <code>target</code> 的元素，<span class="arithmatex">\(j\)</span> 指向最右边的 <code>target</code></strong> ，因此返回索引 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 即可。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="3:10"><input checked="checked" id="__tabbed_3_1" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_2" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_3" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_4" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_5" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_6" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_7" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_8" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_9" name="__tabbed_3" type="radio" /><input id="__tabbed_3_10" name="__tabbed_3" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_3_1">Java</label><label for="__tabbed_3_2">C++</label><label for="__tabbed_3_3">Python</label><label for="__tabbed_3_4">Go</label><label for="__tabbed_3_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_3_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_3_7">C</label><label for="__tabbed_3_8">C#</label><label for="__tabbed_3_9">Swift</label><label for="__tabbed_3_10">Zig</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -2106,9 +2119,9 @@
 </div>
 </div>
 </div>
-<p>观察下图，搜索最右元素时指针 <code>j</code> 起到了搜索最左元素时指针 <code>i</code> 的作用，反之亦然。本质上看，<strong>搜索最左元素和最右元素的实现是镜像对称的</strong>。</p>
-<p><img alt="二分查找最左元素和最右元素" src="../binary_search_edge.assets/binary_search_left_right_edge.png" /></p>
-<p align="center"> Fig. 二分查找最左元素和最右元素 </p>
+<p>观察下图，搜索最右边元素时指针 <span class="arithmatex">\(j\)</span> 的作用与搜索最左边元素时指针 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 的作用一致，反之亦然。也就是说，<strong>搜索最左边元素和最右边元素的实现是镜像对称的</strong>。</p>
+<p><img alt="查找最左边和最右边元素的对称性" src="../binary_search_edge.assets/binary_search_left_right_edge.png" /></p>
+<p align="center"> Fig. 查找最左边和最右边元素的对称性 </p>
 
 <div class="admonition tip">
 <p class="admonition-title">Tip</p>