xinyin025/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2026-07-13 23:56:07 +00:00
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity

build

Browse Source
This commit is contained in:
krahets
2023-08-21 19:32:37 +08:00
parent 02ac0aa9fe
commit fb9ace3a95
62 changed files with 291 additions and 254 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files
chapter_graph/graph.md
+12 -12
View File
@@ -14,15 +14,15 @@ G & = \{ V, E \} \newline
\end{aligned}
$$
如果将顶点看作节点，将边看作连接各个节点的引用（指针），我们就可以将图看作是一种从链表拓展而来的数据结构。如下图所示，**相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高**，从而更为复杂。
![链表、树、图之间的关系](graph.assets/linkedlist_tree_graph.png)
<p align="center"> 图：链表、树、图之间的关系 </p>
那么，图与其他数据结构的关系是什么？如果我们把顶点看作节点，把边看作连接各个节点的指针，则可将图看作是一种从链表拓展而来的数据结构。**相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，从而更为复杂**。
## 9.1.1 &nbsp; 图常见类型与术语
## 9.1.1 &nbsp; 图常见类型
根据边是否具有方向，可分为「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph」。
根据边是否具有方向，可分为下图所示的「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph」。
- 在无向图中，边表示两顶点之间的“双向”连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”。
- 在有向图中，边具有方向性，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系。
@@ -31,7 +31,7 @@ $$
<p align="center"> 图：有向图与无向图 </p>
根据所有顶点是否连通，可分为「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」。
根据所有顶点是否连通，可分为下图所示的「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」。
- 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点。
- 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。
@@ -40,21 +40,21 @@ $$
<p align="center"> 图：连通图与非连通图 </p>
我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到「有权图 weighted graph」。例如，在王者荣耀等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。
我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到下图所示的「有权图 weighted graph」。例如在王者荣耀等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。
![有权图与无权图](graph.assets/weighted_graph.png)
<p align="center"> 图：有权图与无权图 </p>
## 9.1.2 &nbsp; 图常用术语
图的常用术语包括：
- 「邻接 adjacency」：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。在上图中，顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。
- 「路径 path」：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。在上图中，边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。
- 「度 degree」：一个顶点拥有的边数。对于有向图，「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。
## 9.1.3 &nbsp; 图的表示
## 9.1.2 &nbsp; 图的表示
图的常用表示方法包括“邻接矩阵”和“邻接表”。以下使用无向图进行举例。
图的常用表示方式包括“邻接矩阵”和“邻接表”。以下使用无向图进行举例。
### 1. &nbsp; 邻接矩阵
@@ -76,7 +76,7 @@ $$
### 2. &nbsp; 邻接表
「邻接表 adjacency list」使用 $n$ 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。
「邻接表 adjacency list」使用 $n$ 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。下图展示了一个使用邻接表存储的图的示例。
![图的邻接表表示](graph.assets/adjacency_list.png)
@@ -86,9 +86,9 @@ $$
观察上图，**邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，因此我们也可以采用类似方法来优化效率**。比如当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 $O(n)$ 优化至 $O(\log n)$ ；还可以把链表转换为哈希表，从而将时间复杂度降低至 $O(1)$ 。
## 9.1.4 &nbsp; 图常见应用
## 9.1.3 &nbsp; 图常见应用
实际应用中，许多系统都可以用图来建模，相应的待求解问题也可以约化为图计算问题。
如下图所示，许多现实系统都可以用图来建模，相应的问题也可以约化为图计算问题。
<p align="center"> 表：现实生活中常见的图 </p>
chapter_graph/graph_operations.md
+3 -3
View File
@@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
## 9.2.1 &nbsp; 基于邻接矩阵的实现
给定一个顶点数量为 $n$ 的无向图，则有：
给定一个顶点数量为 $n$ 的无向图，则各种操作的实现方式如下图所示。
- **添加或删除边**：直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用 $O(1)$ 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
- **添加顶点**：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 $0$ 即可，使用 $O(n)$ 时间。
@@ -1126,7 +1126,7 @@ comments: true
## 9.2.2 &nbsp; 基于邻接表的实现
设无向图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则有：
设无向图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则可根据下图所示的方法实现各种操作。
- **添加边**：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 $O(1)$ 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
- **删除边**：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 $O(m)$ 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
@@ -2114,7 +2114,7 @@ comments: true
## 9.2.3 &nbsp; 效率对比
设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，下表为邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率对比。
设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，下表对比了邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率。
<p align="center"> 表：邻接矩阵与邻接表对比 </p>
chapter_graph/graph_traversal.md
+4 -4
View File
@@ -14,7 +14,7 @@ comments: true
## 9.3.1 &nbsp; 广度优先遍历
**广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从距离最近的顶点开始访问，并一层层向外扩张**。具体来说，从某个顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。
**广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张**。如下图所示，从左上角顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。
![图的广度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_bfs.png)
@@ -392,7 +392,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
}
```
代码相对抽象，建议对照以下动画图示来加深理解。
代码相对抽象，建议对照下图来加深理解。
=== "<1>"
![图的广度优先遍历步骤](graph_traversal.assets/graph_bfs_step1.png)
@@ -441,7 +441,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
## 9.3.2 &nbsp; 深度优先遍历
**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。具体地，从某个顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。
**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。如下图所示，从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。
![图的深度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_dfs.png)
@@ -449,7 +449,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
### 1. &nbsp; 算法实现
这种“走到尽头 + 回溯”的算法形式通常基于递归来实现。与 BFS 类似，在 DFS 中我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
=== "Java"