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chapter_heap/build_heap/index.html

@@ -1780,13 +1780,13 @@
 
 
 <h1 id="82">8.2. &nbsp; 建堆操作 *<a class="headerlink" href="#82" title="Permanent link">&para;</a></h1>
-<p>如果我们想要根据输入列表来生成一个堆，这样的操作被称为「建堆」。</p>
+<p>如果我们想要根据输入列表生成一个堆，这个过程被称为「建堆」。</p>
 <h2 id="821">8.2.1. &nbsp; 两种建堆方法<a class="headerlink" href="#821" title="Permanent link">&para;</a></h2>
 <h3 id="_1">借助入堆方法实现<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>最直接地，考虑借助「元素入堆」方法，先建立一个空堆，<strong>再将列表元素依次入堆即可</strong>。</p>
-<p>设元素数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，则最后一个元素入堆的时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> ，在依次入堆时，堆的平均长度为 <span class="arithmatex">\(\frac{n}{2}\)</span> ，因此该方法的总体时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> 。</p>
+<p>最直接的方法是借助“元素入堆操作”实现，首先创建一个空堆，然后将列表元素依次添加到堆中。</p>
+<p>设元素数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，则最后一个元素入堆的时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 。在依次添加元素时，堆的平均长度为 <span class="arithmatex">\(\frac{n}{2}\)</span> ，因此该方法的总体时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> 。</p>
 <h3 id="_2">基于堆化操作实现<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
-<p>有趣的是，存在一种更加高效的建堆方法，时间复杂度可以达到 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，<strong>然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」</strong>。当然，<strong>无需对叶结点执行堆化</strong>，因为其没有子结点。</p>
+<p>有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度仅为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，<strong>然后迭代地对各个结点执行“从顶至底堆化”</strong>。当然，<strong>我们不需要对叶结点执行堆化操作</strong>，因为它们没有子结点。</p>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:10"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_1_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">
@@ -1909,21 +1909,21 @@
 </div>
 </div>
 <h2 id="822">8.2.2. &nbsp; 复杂度分析<a class="headerlink" href="#822" title="Permanent link">&para;</a></h2>
-<p>第二种建堆方法的时间复杂度为什么是 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 呢？我们来展开推算一下。</p>
+<p>为什么第二种建堆方法的时间复杂度是 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ？我们来展开推算一下。</p>
 <ul>
-<li>完全二叉树中，设结点总数为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，则叶结点数量为 <span class="arithmatex">\((n + 1) / 2\)</span> ，其中 <span class="arithmatex">\(/\)</span> 为向下整除。因此在排除叶结点后，需要堆化结点数量为 <span class="arithmatex">\((n - 1)/2\)</span> ，即为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ；</li>
-<li>从顶至底堆化中，每个结点最多堆化至叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> ；</li>
+<li>完全二叉树中，设结点总数为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，则叶结点数量为 <span class="arithmatex">\((n + 1) / 2\)</span> ，其中 <span class="arithmatex">\(/\)</span> 为向下整除。因此，在排除叶结点后，需要堆化的结点数量为 <span class="arithmatex">\((n - 1)/2\)</span> ，复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ；</li>
+<li>在从顶至底堆化的过程中，每个结点最多堆化到叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> ；</li>
 </ul>
-<p>将上述两者相乘，可得时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> 。这个估算结果不够准确，因为我们没有考虑到 <strong>二叉树底层结点远多于顶层结点</strong> 的性质。</p>
-<p>下面我们来展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，树高度为 <span class="arithmatex">\(h\)</span> 。上文提到，<strong>结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”</strong>。</p>
+<p>将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span>。<strong>然而，这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层结点数量远多于顶层结点的特性</strong>。</p>
+<p>接下来我们来进行更为详细的计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，树高度为 <span class="arithmatex">\(h\)</span> 。上文提到，<strong>结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而该距离正是“结点高度”</strong>。</p>
 <p><img alt="完美二叉树的各层结点数量" src="../build_heap.assets/heapify_operations_count.png" /></p>
 <p align="center"> Fig. 完美二叉树的各层结点数量 </p>
 
-<p>因此，我们将各层的“结点数量 <span class="arithmatex">\(\times\)</span> 结点高度”求和，即可得到 <strong>所有结点的堆化的迭代次数总和</strong>。</p>
+<p>因此，我们可以将各层的“结点数量 <span class="arithmatex">\(\times\)</span> 结点高度”求和，<strong>从而得到所有结点的堆化迭代次数的总和</strong>。</p>
 <div class="arithmatex">\[
 T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
 \]</div>
-<p>化简上式需要借助中学的数列知识，先对 <span class="arithmatex">\(T(h)\)</span> 乘以 <span class="arithmatex">\(2\)</span> ，易得</p>
+<p>化简上式需要借助中学的数列知识，先对 <span class="arithmatex">\(T(h)\)</span> 乘以 <span class="arithmatex">\(2\)</span> ，得到</p>
 <div class="arithmatex">\[
 \begin{aligned}
 T(h) &amp; = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline
@@ -1934,7 +1934,7 @@ T(h) &amp; = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline
 <div class="arithmatex">\[
 2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h
 \]</div>
-<p>观察上式，<span class="arithmatex">\(T(h)\)</span> 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为</p>
+<p>观察上式，发现 <span class="arithmatex">\(T(h)\)</span> 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为</p>
 <div class="arithmatex">\[
 \begin{aligned}
 T(h) &amp; = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline